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Theorem nmoolb 22120
Description: A lower bound for an operator norm. (Contributed by NM, 8-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmolb.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nmolb.2  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
nmolb.l  |-  L  =  ( normCV `  U )
nmolb.m  |-  M  =  ( normCV `  W )
nmolb.3  |-  N  =  ( U normOp OLD W
)
Assertion
Ref Expression
nmoolb  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X --> Y )  /\  ( A  e.  X  /\  ( L `  A
)  <_  1 ) )  ->  ( M `  ( T `  A
) )  <_  ( N `  T )
)

Proof of Theorem nmoolb
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmolb.2 . . . . . 6  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
2 nmolb.m . . . . . 6  |-  M  =  ( normCV `  W )
31, 2nmosetre 22113 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  T : X --> Y )  ->  { x  |  E. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( M `  ( T `  y
) ) ) } 
C_  RR )
4 ressxr 9062 . . . . 5  |-  RR  C_  RR*
53, 4syl6ss 3303 . . . 4  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  T : X --> Y )  ->  { x  |  E. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( M `  ( T `  y
) ) ) } 
C_  RR* )
653adant1 975 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X
--> Y )  ->  { x  |  E. y  e.  X  ( ( L `  y )  <_  1  /\  x  =  ( M `  ( T `  y ) ) ) }  C_  RR* )
7 fveq2 5668 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  ( L `  y )  =  ( L `  A ) )
87breq1d 4163 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  (
( L `  y
)  <_  1  <->  ( L `  A )  <_  1
) )
9 fveq2 5668 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  ( T `  y )  =  ( T `  A ) )
109fveq2d 5672 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  ( M `  ( T `  y ) )  =  ( M `  ( T `  A )
) )
1110eqeq2d 2398 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  (
( M `  ( T `  A )
)  =  ( M `
 ( T `  y ) )  <->  ( M `  ( T `  A
) )  =  ( M `  ( T `
 A ) ) ) )
128, 11anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  (
( ( L `  y )  <_  1  /\  ( M `  ( T `  A )
)  =  ( M `
 ( T `  y ) ) )  <-> 
( ( L `  A )  <_  1  /\  ( M `  ( T `  A )
)  =  ( M `
 ( T `  A ) ) ) ) )
13 eqid 2387 . . . . . . 7  |-  ( M `
 ( T `  A ) )  =  ( M `  ( T `  A )
)
1413biantru 492 . . . . . 6  |-  ( ( L `  A )  <_  1  <->  ( ( L `  A )  <_  1  /\  ( M `
 ( T `  A ) )  =  ( M `  ( T `  A )
) ) )
1512, 14syl6bbr 255 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  (
( ( L `  y )  <_  1  /\  ( M `  ( T `  A )
)  =  ( M `
 ( T `  y ) ) )  <-> 
( L `  A
)  <_  1 ) )
1615rspcev 2995 . . . 4  |-  ( ( A  e.  X  /\  ( L `  A )  <_  1 )  ->  E. y  e.  X  ( ( L `  y )  <_  1  /\  ( M `  ( T `  A )
)  =  ( M `
 ( T `  y ) ) ) )
17 fvex 5682 . . . . 5  |-  ( M `
 ( T `  A ) )  e. 
_V
18 eqeq1 2393 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( M `  ( T `  A ) )  ->  ( x  =  ( M `  ( T `  y ) )  <->  ( M `  ( T `  A ) )  =  ( M `
 ( T `  y ) ) ) )
1918anbi2d 685 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( M `  ( T `  A ) )  ->  ( (
( L `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( M `  ( T `  y
) ) )  <->  ( ( L `  y )  <_  1  /\  ( M `
 ( T `  A ) )  =  ( M `  ( T `  y )
) ) ) )
2019rexbidv 2670 . . . . 5  |-  ( x  =  ( M `  ( T `  A ) )  ->  ( E. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( M `  ( T `  y
) ) )  <->  E. y  e.  X  ( ( L `  y )  <_  1  /\  ( M `
 ( T `  A ) )  =  ( M `  ( T `  y )
) ) ) )
2117, 20elab 3025 . . . 4  |-  ( ( M `  ( T `
 A ) )  e.  { x  |  E. y  e.  X  ( ( L `  y )  <_  1  /\  x  =  ( M `  ( T `  y ) ) ) }  <->  E. y  e.  X  ( ( L `  y )  <_  1  /\  ( M `  ( T `  A )
)  =  ( M `
 ( T `  y ) ) ) )
2216, 21sylibr 204 . . 3  |-  ( ( A  e.  X  /\  ( L `  A )  <_  1 )  -> 
( M `  ( T `  A )
)  e.  { x  |  E. y  e.  X  ( ( L `  y )  <_  1  /\  x  =  ( M `  ( T `  y ) ) ) } )
23 supxrub 10835 . . 3  |-  ( ( { x  |  E. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( M `  ( T `  y
) ) ) } 
C_  RR*  /\  ( M `
 ( T `  A ) )  e. 
{ x  |  E. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( M `  ( T `  y
) ) ) } )  ->  ( M `  ( T `  A
) )  <_  sup ( { x  |  E. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( M `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
246, 22, 23syl2an 464 . 2  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X --> Y )  /\  ( A  e.  X  /\  ( L `  A
)  <_  1 ) )  ->  ( M `  ( T `  A
) )  <_  sup ( { x  |  E. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( M `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
25 nmolb.1 . . . 4  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
26 nmolb.l . . . 4  |-  L  =  ( normCV `  U )
27 nmolb.3 . . . 4  |-  N  =  ( U normOp OLD W
)
2825, 1, 26, 2, 27nmooval 22112 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X
--> Y )  ->  ( N `  T )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  X  ( ( L `  y )  <_  1  /\  x  =  ( M `  ( T `  y ) ) ) } ,  RR* ,  <  ) )
2928adantr 452 . 2  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X --> Y )  /\  ( A  e.  X  /\  ( L `  A
)  <_  1 ) )  ->  ( N `  T )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( M `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
3024, 29breqtrrd 4179 1  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X --> Y )  /\  ( A  e.  X  /\  ( L `  A
)  <_  1 ) )  ->  ( M `  ( T `  A
) )  <_  ( N `  T )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   {cab 2373   E.wrex 2650    C_ wss 3263   class class class wbr 4153   -->wf 5390   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   supcsup 7380   RRcr 8922   1c1 8924   RR*cxr 9052    < clt 9053    <_ cle 9054   NrmCVeccnv 21911   BaseSetcba 21913   normCVcnmcv 21917   normOp OLDcnmoo 22090
This theorem is referenced by:  nmblolbii  22148
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-er 6841  df-map 6956  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-sup 7381  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-vc 21873  df-nv 21919  df-va 21922  df-ba 21923  df-sm 21924  df-0v 21925  df-nmcv 21927  df-nmoo 22094
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