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Theorem nmoolb 22264
Description: A lower bound for an operator norm. (Contributed by NM, 8-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmolb.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nmolb.2  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
nmolb.l  |-  L  =  ( normCV `  U )
nmolb.m  |-  M  =  ( normCV `  W )
nmolb.3  |-  N  =  ( U normOp OLD W
)
Assertion
Ref Expression
nmoolb  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X --> Y )  /\  ( A  e.  X  /\  ( L `  A
)  <_  1 ) )  ->  ( M `  ( T `  A
) )  <_  ( N `  T )
)

Proof of Theorem nmoolb
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmolb.2 . . . . . 6  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
2 nmolb.m . . . . . 6  |-  M  =  ( normCV `  W )
31, 2nmosetre 22257 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  T : X --> Y )  ->  { x  |  E. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( M `  ( T `  y
) ) ) } 
C_  RR )
4 ressxr 9121 . . . . 5  |-  RR  C_  RR*
53, 4syl6ss 3352 . . . 4  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  T : X --> Y )  ->  { x  |  E. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( M `  ( T `  y
) ) ) } 
C_  RR* )
653adant1 975 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X
--> Y )  ->  { x  |  E. y  e.  X  ( ( L `  y )  <_  1  /\  x  =  ( M `  ( T `  y ) ) ) }  C_  RR* )
7 fveq2 5720 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  ( L `  y )  =  ( L `  A ) )
87breq1d 4214 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  (
( L `  y
)  <_  1  <->  ( L `  A )  <_  1
) )
9 fveq2 5720 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  ( T `  y )  =  ( T `  A ) )
109fveq2d 5724 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  ( M `  ( T `  y ) )  =  ( M `  ( T `  A )
) )
1110eqeq2d 2446 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  (
( M `  ( T `  A )
)  =  ( M `
 ( T `  y ) )  <->  ( M `  ( T `  A
) )  =  ( M `  ( T `
 A ) ) ) )
128, 11anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  (
( ( L `  y )  <_  1  /\  ( M `  ( T `  A )
)  =  ( M `
 ( T `  y ) ) )  <-> 
( ( L `  A )  <_  1  /\  ( M `  ( T `  A )
)  =  ( M `
 ( T `  A ) ) ) ) )
13 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( M `
 ( T `  A ) )  =  ( M `  ( T `  A )
)
1413biantru 492 . . . . . 6  |-  ( ( L `  A )  <_  1  <->  ( ( L `  A )  <_  1  /\  ( M `
 ( T `  A ) )  =  ( M `  ( T `  A )
) ) )
1512, 14syl6bbr 255 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  (
( ( L `  y )  <_  1  /\  ( M `  ( T `  A )
)  =  ( M `
 ( T `  y ) ) )  <-> 
( L `  A
)  <_  1 ) )
1615rspcev 3044 . . . 4  |-  ( ( A  e.  X  /\  ( L `  A )  <_  1 )  ->  E. y  e.  X  ( ( L `  y )  <_  1  /\  ( M `  ( T `  A )
)  =  ( M `
 ( T `  y ) ) ) )
17 fvex 5734 . . . . 5  |-  ( M `
 ( T `  A ) )  e. 
_V
18 eqeq1 2441 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( M `  ( T `  A ) )  ->  ( x  =  ( M `  ( T `  y ) )  <->  ( M `  ( T `  A ) )  =  ( M `
 ( T `  y ) ) ) )
1918anbi2d 685 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( M `  ( T `  A ) )  ->  ( (
( L `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( M `  ( T `  y
) ) )  <->  ( ( L `  y )  <_  1  /\  ( M `
 ( T `  A ) )  =  ( M `  ( T `  y )
) ) ) )
2019rexbidv 2718 . . . . 5  |-  ( x  =  ( M `  ( T `  A ) )  ->  ( E. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( M `  ( T `  y
) ) )  <->  E. y  e.  X  ( ( L `  y )  <_  1  /\  ( M `
 ( T `  A ) )  =  ( M `  ( T `  y )
) ) ) )
2117, 20elab 3074 . . . 4  |-  ( ( M `  ( T `
 A ) )  e.  { x  |  E. y  e.  X  ( ( L `  y )  <_  1  /\  x  =  ( M `  ( T `  y ) ) ) }  <->  E. y  e.  X  ( ( L `  y )  <_  1  /\  ( M `  ( T `  A )
)  =  ( M `
 ( T `  y ) ) ) )
2216, 21sylibr 204 . . 3  |-  ( ( A  e.  X  /\  ( L `  A )  <_  1 )  -> 
( M `  ( T `  A )
)  e.  { x  |  E. y  e.  X  ( ( L `  y )  <_  1  /\  x  =  ( M `  ( T `  y ) ) ) } )
23 supxrub 10895 . . 3  |-  ( ( { x  |  E. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( M `  ( T `  y
) ) ) } 
C_  RR*  /\  ( M `
 ( T `  A ) )  e. 
{ x  |  E. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( M `  ( T `  y
) ) ) } )  ->  ( M `  ( T `  A
) )  <_  sup ( { x  |  E. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( M `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
246, 22, 23syl2an 464 . 2  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X --> Y )  /\  ( A  e.  X  /\  ( L `  A
)  <_  1 ) )  ->  ( M `  ( T `  A
) )  <_  sup ( { x  |  E. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( M `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
25 nmolb.1 . . . 4  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
26 nmolb.l . . . 4  |-  L  =  ( normCV `  U )
27 nmolb.3 . . . 4  |-  N  =  ( U normOp OLD W
)
2825, 1, 26, 2, 27nmooval 22256 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X
--> Y )  ->  ( N `  T )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  X  ( ( L `  y )  <_  1  /\  x  =  ( M `  ( T `  y ) ) ) } ,  RR* ,  <  ) )
2928adantr 452 . 2  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X --> Y )  /\  ( A  e.  X  /\  ( L `  A
)  <_  1 ) )  ->  ( N `  T )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( M `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
3024, 29breqtrrd 4230 1  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X --> Y )  /\  ( A  e.  X  /\  ( L `  A
)  <_  1 ) )  ->  ( M `  ( T `  A
) )  <_  ( N `  T )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2421   E.wrex 2698    C_ wss 3312   class class class wbr 4204   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   supcsup 7437   RRcr 8981   1c1 8983   RR*cxr 9111    < clt 9112    <_ cle 9113   NrmCVeccnv 22055   BaseSetcba 22057   normCVcnmcv 22061   normOp OLDcnmoo 22234
This theorem is referenced by:  nmblolbii  22292
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-vc 22017  df-nv 22063  df-va 22066  df-ba 22067  df-sm 22068  df-0v 22069  df-nmcv 22071  df-nmoo 22238
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