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Theorem nmopcoadji 22681
Description: The norm of an operator composed with its adjoint. Part of Theorem 3.11(vi) of [Beran] p. 106. (Contributed by NM, 8-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
nmopcoadj.1  |-  T  e.  BndLinOp
Assertion
Ref Expression
nmopcoadji  |-  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )  =  ( (
normop `  T ) ^
2 )

Proof of Theorem nmopcoadji
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmopcoadj.1 . . . . . . 7  |-  T  e.  BndLinOp
2 adjbdlnb 22664 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  BndLinOp 
<->  ( adjh `  T
)  e.  BndLinOp )
31, 2mpbi 199 . . . . . 6  |-  ( adjh `  T )  e.  BndLinOp
4 bdopf 22442 . . . . . 6  |-  ( (
adjh `  T )  e. 
BndLinOp  ->  ( adjh `  T
) : ~H --> ~H )
53, 4ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( adjh `  T ) : ~H --> ~H
6 bdopf 22442 . . . . . 6  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  T : ~H --> ~H )
71, 6ax-mp 8 . . . . 5  |-  T : ~H
--> ~H
85, 7hocofi 22346 . . . 4  |-  ( (
adjh `  T )  o.  T ) : ~H --> ~H
9 nmopre 22450 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  ( normop `  T
)  e.  RR )
101, 9ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( normop `  T )  e.  RR
1110resqcli 11189 . . . . 5  |-  ( (
normop `  T ) ^
2 )  e.  RR
12 rexr 8877 . . . . 5  |-  ( ( ( normop `  T ) ^ 2 )  e.  RR  ->  ( ( normop `  T ) ^ 2 )  e.  RR* )
1311, 12ax-mp 8 . . . 4  |-  ( (
normop `  T ) ^
2 )  e.  RR*
14 nmopub 22488 . . . 4  |-  ( ( ( ( adjh `  T
)  o.  T ) : ~H --> ~H  /\  ( ( normop `  T
) ^ 2 )  e.  RR* )  ->  (
( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) )  <_ 
( ( normop `  T
) ^ 2 )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  ->  (
normh `  ( ( (
adjh `  T )  o.  T ) `  x
) )  <_  (
( normop `  T ) ^ 2 ) ) ) )
158, 13, 14mp2an 653 . . 3  |-  ( (
normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T
) )  <_  (
( normop `  T ) ^ 2 )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( (
( adjh `  T )  o.  T ) `  x
) )  <_  (
( normop `  T ) ^ 2 ) ) )
165, 7hocoi 22344 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( adjh `  T
)  o.  T ) `
 x )  =  ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) ) )
1716fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( (
adjh `  T )  o.  T ) `  x
) )  =  (
normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
) ) )
1817adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( (
adjh `  T )  o.  T ) `  x
) )  =  (
normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
) ) )
197ffvelrni 5664 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( T `  x )  e.  ~H )
205ffvelrni 5664 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T `  x )  e.  ~H  ->  (
( adjh `  T ) `  ( T `  x
) )  e.  ~H )
21 normcl 21704 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) )  e. 
~H  ->  ( normh `  (
( adjh `  T ) `  ( T `  x
) ) )  e.  RR )
2219, 20, 213syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
) )  e.  RR )
2322adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
) )  e.  RR )
24 nmopre 22450 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
adjh `  T )  e. 
BndLinOp  ->  ( normop `  ( adjh `  T ) )  e.  RR )
253, 24ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( normop `  ( adjh `  T
) )  e.  RR
26 normcl 21704 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T `  x )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  e.  RR )
2719, 26syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  e.  RR )
28 remulcl 8822 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( normop `  ( adjh `  T ) )  e.  RR  /\  ( normh `  ( T `  x
) )  e.  RR )  ->  ( ( normop `  ( adjh `  T
) )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) )  e.  RR )
2925, 27, 28sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normop `  ( adjh `  T ) )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) )  e.  RR )
3029adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normop `  ( adjh `  T ) )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) )  e.  RR )
3125, 10remulcli 8851 . . . . . . . 8  |-  ( (
normop `  ( adjh `  T
) )  x.  ( normop `  T ) )  e.  RR
3231a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normop `  ( adjh `  T ) )  x.  ( normop `  T )
)  e.  RR )
333nmbdoplbi 22604 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T `  x )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
) )  <_  (
( normop `  ( adjh `  T ) )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) ) )
3419, 33syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
) )  <_  (
( normop `  ( adjh `  T ) )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) ) )
3534adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
) )  <_  (
( normop `  ( adjh `  T ) )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) ) )
3627adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  e.  RR )
3710a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normop `  T )  e.  RR )
38 normcl 21704 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  x )  e.  RR )
39 remulcl 8822 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( normop `  T )  e.  RR  /\  ( normh `  x )  e.  RR )  ->  ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  x ) )  e.  RR )
4010, 38, 39sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normop `  T )  x.  ( normh `  x )
)  e.  RR )
4140adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normop `  T )  x.  ( normh `  x )
)  e.  RR )
421nmbdoplbi 22604 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  x ) ) )
4342adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  x ) ) )
44 1re 8837 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
45 nmopge0 22491 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  0  <_  ( normop `  T
) )
461, 6, 45mp2b 9 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <_  ( normop `  T )
4710, 46pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
normop `  T )  e.  RR  /\  0  <_ 
( normop `  T )
)
48 lemul2a 9611 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( normh `  x
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
( normop `  T )  e.  RR  /\  0  <_ 
( normop `  T )
) )  /\  ( normh `  x )  <_ 
1 )  ->  (
( normop `  T )  x.  ( normh `  x )
)  <_  ( ( normop `  T )  x.  1 ) )
4947, 48mp3anl3 1273 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( normh `  x
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normop `  T )  x.  ( normh `  x )
)  <_  ( ( normop `  T )  x.  1 ) )
5044, 49mpanl2 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( normh `  x )  e.  RR  /\  ( normh `  x )  <_  1
)  ->  ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  x ) )  <_  ( ( normop `  T )  x.  1 ) )
5138, 50sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normop `  T )  x.  ( normh `  x )
)  <_  ( ( normop `  T )  x.  1 ) )
5210recni 8849 . . . . . . . . . . 11  |-  ( normop `  T )  e.  CC
5352mulid1i 8839 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
normop `  T )  x.  1 )  =  (
normop `  T )
5451, 53syl6breq 4062 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normop `  T )  x.  ( normh `  x )
)  <_  ( normop `  T
) )
5536, 41, 37, 43, 54letrd 8973 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( normop `  T )
)
56 nmopge0 22491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
adjh `  T ) : ~H --> ~H  ->  0  <_ 
( normop `  ( adjh `  T ) ) )
573, 4, 56mp2b 9 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_  ( normop `  ( adjh `  T ) )
5825, 57pm3.2i 441 . . . . . . . . 9  |-  ( (
normop `  ( adjh `  T
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( normop `  ( adjh `  T ) ) )
59 lemul2a 9611 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( normh `  ( T `  x )
)  e.  RR  /\  ( normop `  T )  e.  RR  /\  ( (
normop `  ( adjh `  T
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( normop `  ( adjh `  T ) ) ) )  /\  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( normop `  T )
)  ->  ( ( normop `  ( adjh `  T
) )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) )  <_  ( ( normop `  ( adjh `  T
) )  x.  ( normop `  T ) ) )
6058, 59mp3anl3 1273 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( normh `  ( T `  x )
)  e.  RR  /\  ( normop `  T )  e.  RR )  /\  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( normop `  T )
)  ->  ( ( normop `  ( adjh `  T
) )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) )  <_  ( ( normop `  ( adjh `  T
) )  x.  ( normop `  T ) ) )
6136, 37, 55, 60syl21anc 1181 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normop `  ( adjh `  T ) )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) )  <_  ( ( normop `  ( adjh `  T
) )  x.  ( normop `  T ) ) )
6223, 30, 32, 35, 61letrd 8973 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
) )  <_  (
( normop `  ( adjh `  T ) )  x.  ( normop `  T )
) )
6318, 62eqbrtrd 4043 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( (
adjh `  T )  o.  T ) `  x
) )  <_  (
( normop `  ( adjh `  T ) )  x.  ( normop `  T )
) )
641nmopadji 22670 . . . . . . 7  |-  ( normop `  ( adjh `  T
) )  =  (
normop `  T )
6564oveq1i 5868 . . . . . 6  |-  ( (
normop `  ( adjh `  T
) )  x.  ( normop `  T ) )  =  ( ( normop `  T
)  x.  ( normop `  T ) )
6652sqvali 11183 . . . . . 6  |-  ( (
normop `  T ) ^
2 )  =  ( ( normop `  T )  x.  ( normop `  T )
)
6765, 66eqtr4i 2306 . . . . 5  |-  ( (
normop `  ( adjh `  T
) )  x.  ( normop `  T ) )  =  ( ( normop `  T
) ^ 2 )
6863, 67syl6breq 4062 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( (
adjh `  T )  o.  T ) `  x
) )  <_  (
( normop `  T ) ^ 2 ) )
6968ex 423 . . 3  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( ( ( adjh `  T )  o.  T
) `  x )
)  <_  ( ( normop `  T ) ^ 2 ) ) )
7015, 69mprgbir 2613 . 2  |-  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )  <_  ( ( normop `  T ) ^ 2 )
71 nmopge0 22491 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( adjh `  T
)  o.  T ) : ~H --> ~H  ->  0  <_  ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) ) )
728, 71ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  0  <_  ( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) )
733, 1bdopcoi 22678 . . . . . . . . 9  |-  ( (
adjh `  T )  o.  T )  e.  BndLinOp
74 nmopre 22450 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( adjh `  T
)  o.  T )  e.  BndLinOp  ->  ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) )  e.  RR )
7573, 74ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )  e.  RR
7675sqrcli 11855 . . . . . . 7  |-  ( 0  <_  ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) )  -> 
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )  e.  RR )
77 rexr 8877 . . . . . . 7  |-  ( ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )  e.  RR  ->  ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )  e.  RR* )
7872, 76, 77mp2b 9 . . . . . 6  |-  ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) ) )  e.  RR*
79 nmopub 22488 . . . . . 6  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )  e.  RR* )  ->  ( ( normop `  T )  <_  ( sqr `  ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) ) )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  ->  (
normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) ) ) ) )
807, 78, 79mp2an 653 . . . . 5  |-  ( (
normop `  T )  <_ 
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) ) ) )
8119, 20syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( adjh `  T ) `  ( T `  x
) )  e.  ~H )
82 hicl 21659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) )  e. 
~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) )  .ih  x )  e.  CC )
8381, 82mpancom 650 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) )  .ih  x )  e.  CC )
8483abscld 11918 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( abs `  ( ( (
adjh `  T ) `  ( T `  x
) )  .ih  x
) )  e.  RR )
8584adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( abs `  ( ( (
adjh `  T ) `  ( T `  x
) )  .ih  x
) )  e.  RR )
8622, 38remulcld 8863 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  x.  ( normh `  x ) )  e.  RR )
8786adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  x.  ( normh `  x ) )  e.  RR )
8875a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )  e.  RR )
89 bcs 21760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) )  e. 
~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( abs `  ( ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
)  .ih  x )
)  <_  ( ( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
) )  x.  ( normh `  x ) ) )
9081, 89mpancom 650 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( abs `  ( ( (
adjh `  T ) `  ( T `  x
) )  .ih  x
) )  <_  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  x.  ( normh `  x ) ) )
9190adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( abs `  ( ( (
adjh `  T ) `  ( T `  x
) )  .ih  x
) )  <_  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  x.  ( normh `  x ) ) )
925, 7hococli 22345 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( adjh `  T
)  o.  T ) `
 x )  e. 
~H )
93 normcl 21704 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( adjh `  T
)  o.  T ) `
 x )  e. 
~H  ->  ( normh `  (
( ( adjh `  T
)  o.  T ) `
 x ) )  e.  RR )
9492, 93syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( (
adjh `  T )  o.  T ) `  x
) )  e.  RR )
9594adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( (
adjh `  T )  o.  T ) `  x
) )  e.  RR )
9638adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  x )  e.  RR )
97 normge0 21705 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) )  e. 
~H  ->  0  <_  ( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
) ) )
9819, 20, 973syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) ) )
9922, 98jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( normh `  ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) ) ) ) )
10099adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( normh `  ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) ) ) ) )
101 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  x )  <_ 
1 )
102 lemul2a 9611 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( normh `  x
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( normh `  ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) ) ) ) )  /\  ( normh `  x )  <_ 
1 )  ->  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  x.  ( normh `  x ) )  <_  ( ( normh `  ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) ) )  x.  1 ) )
10344, 102mp3anl2 1272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( normh `  x
)  e.  RR  /\  ( ( normh `  (
( adjh `  T ) `  ( T `  x
) ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) ) ) )  /\  ( normh `  x
)  <_  1 )  ->  ( ( normh `  ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) ) )  x.  ( normh `  x
) )  <_  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  x.  1 ) )
10496, 100, 101, 103syl21anc 1181 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  x.  ( normh `  x ) )  <_  ( ( normh `  ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) ) )  x.  1 ) )
10522recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
) )  e.  CC )
106105mulid1d 8852 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  x.  1 )  =  ( normh `  ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) ) ) )
107106, 17eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  x.  1 )  =  ( normh `  ( ( ( adjh `  T )  o.  T
) `  x )
) )
108107adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  x.  1 )  =  ( normh `  ( ( ( adjh `  T )  o.  T
) `  x )
) )
109104, 108breqtrd 4047 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  x.  ( normh `  x ) )  <_  ( normh `  (
( ( adjh `  T
)  o.  T ) `
 x ) ) )
110 remulcl 8822 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) )  e.  RR  /\  ( normh `  x )  e.  RR )  ->  ( ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )  x.  ( normh `  x ) )  e.  RR )
11175, 38, 110sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) )  x.  ( normh `  x )
)  e.  RR )
112111adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) )  x.  ( normh `  x )
)  e.  RR )
11373nmbdoplbi 22604 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( (
adjh `  T )  o.  T ) `  x
) )  <_  (
( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) )  x.  ( normh `  x )
) )
114113adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( (
adjh `  T )  o.  T ) `  x
) )  <_  (
( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) )  x.  ( normh `  x )
) )
11575, 72pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) ) )
116 lemul2a 9611 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( normh `  x
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) ) ) )  /\  ( normh `  x )  <_  1
)  ->  ( ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )  x.  ( normh `  x ) )  <_ 
( ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) )  x.  1 ) )
117115, 116mp3anl3 1273 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( normh `  x
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) )  x.  ( normh `  x )
)  <_  ( ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )  x.  1 ) )
11844, 117mpanl2 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( normh `  x )  e.  RR  /\  ( normh `  x )  <_  1
)  ->  ( ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )  x.  ( normh `  x ) )  <_ 
( ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) )  x.  1 ) )
11938, 118sylan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) )  x.  ( normh `  x )
)  <_  ( ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )  x.  1 ) )
12075recni 8849 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )  e.  CC
121120mulid1i 8839 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T
) )  x.  1 )  =  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )
122119, 121syl6breq 4062 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) )  x.  ( normh `  x )
)  <_  ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) ) )
12395, 112, 88, 114, 122letrd 8973 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( (
adjh `  T )  o.  T ) `  x
) )  <_  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )
12487, 95, 88, 109, 123letrd 8973 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  x.  ( normh `  x ) )  <_  ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) ) )
12585, 87, 88, 91, 124letrd 8973 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( abs `  ( ( (
adjh `  T ) `  ( T `  x
) )  .ih  x
) )  <_  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )
126 resqcl 11171 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
normh `  ( T `  x ) )  e.  RR  ->  ( ( normh `  ( T `  x ) ) ^
2 )  e.  RR )
127 sqge0 11180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
normh `  ( T `  x ) )  e.  RR  ->  0  <_  ( ( normh `  ( T `  x ) ) ^
2 ) )
128126, 127absidd 11905 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
normh `  ( T `  x ) )  e.  RR  ->  ( abs `  ( ( normh `  ( T `  x )
) ^ 2 ) )  =  ( (
normh `  ( T `  x ) ) ^
2 ) )
12919, 26, 1283syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( abs `  ( ( normh `  ( T `  x
) ) ^ 2 ) )  =  ( ( normh `  ( T `  x ) ) ^
2 ) )
130 normsq 21713 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T `  x )  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( T `  x ) ) ^
2 )  =  ( ( T `  x
)  .ih  ( T `  x ) ) )
13119, 130syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( T `  x ) ) ^
2 )  =  ( ( T `  x
)  .ih  ( T `  x ) ) )
132 bdopadj 22662 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
adjh `  T )  e. 
BndLinOp  ->  ( adjh `  T
)  e.  dom  adjh )
1333, 132ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( adjh `  T )  e.  dom  adjh
134 adj2 22514 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( adjh `  T
)  e.  dom  adjh  /\  ( T `  x
)  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
)  .ih  x )  =  ( ( T `
 x )  .ih  ( ( adjh `  ( adjh `  T ) ) `
 x ) ) )
135133, 134mp3an1 1264 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T `  x
)  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
)  .ih  x )  =  ( ( T `
 x )  .ih  ( ( adjh `  ( adjh `  T ) ) `
 x ) ) )
13619, 135mpancom 650 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) )  .ih  x )  =  ( ( T `  x
)  .ih  ( ( adjh `  ( adjh `  T
) ) `  x
) ) )
137 bdopadj 22662 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  T  e.  dom  adjh )
138 adjadj 22516 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  (
adjh `  ( adjh `  T ) )  =  T )
1391, 137, 138mp2b 9 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( adjh `  ( adjh `  T
) )  =  T
140139fveq1i 5526 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
adjh `  ( adjh `  T ) ) `  x )  =  ( T `  x )
141140oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T `  x ) 
.ih  ( ( adjh `  ( adjh `  T
) ) `  x
) )  =  ( ( T `  x
)  .ih  ( T `  x ) )
142136, 141syl6req 2332 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( T `  x
)  .ih  ( T `  x ) )  =  ( ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
)  .ih  x )
)
143131, 142eqtrd 2315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( T `  x ) ) ^
2 )  =  ( ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) )  .ih  x ) )
144143fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( abs `  ( ( normh `  ( T `  x
) ) ^ 2 ) )  =  ( abs `  ( ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) )  .ih  x ) ) )
145129, 144eqtr3d 2317 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( T `  x ) ) ^
2 )  =  ( abs `  ( ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) )  .ih  x ) ) )
146145adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normh `  ( T `  x ) ) ^
2 )  =  ( abs `  ( ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) )  .ih  x ) ) )
14775sqsqri 11859 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  <_  ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) )  -> 
( ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) ) ^ 2 )  =  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )
1488, 71, 147mp2b 9 . . . . . . . . 9  |-  ( ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) ) ^ 2 )  =  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )
149148a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) ) ^ 2 )  =  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )
150125, 146, 1493brtr4d 4053 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normh `  ( T `  x ) ) ^
2 )  <_  (
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) ) ^ 2 ) )
151 normge0 21705 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T `  x )  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  ( T `  x ) ) )
15219, 151syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  ( T `  x ) ) )
1538, 71, 76mp2b 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) ) )  e.  RR
15475sqrge0i 11860 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  <_  ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) )  -> 
0  <_  ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) ) ) )
1558, 71, 154mp2b 9 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_  ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )
156 le2sq 11178 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( normh `  ( T `  x )
)  e.  RR  /\  0  <_  ( normh `  ( T `  x )
) )  /\  (
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) ) ) ) )  ->  (
( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )  <->  ( ( normh `  ( T `  x ) ) ^
2 )  <_  (
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) ) ^ 2 ) ) )
157153, 155, 156mpanr12 666 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( normh `  ( T `  x ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( normh `  ( T `  x ) ) )  ->  ( ( normh `  ( T `  x
) )  <_  ( sqr `  ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) ) )  <-> 
( ( normh `  ( T `  x )
) ^ 2 )  <_  ( ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) ) ) ^ 2 ) ) )
15827, 152, 157syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )  <->  ( ( normh `  ( T `  x ) ) ^
2 )  <_  (
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) ) ^ 2 ) ) )
159158adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )  <->  ( ( normh `  ( T `  x ) ) ^
2 )  <_  (
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) ) ^ 2 ) ) )
160150, 159mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) ) )
161160ex 423 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( T `  x
) )  <_  ( sqr `  ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) ) ) ) )
16280, 161mprgbir 2613 . . . 4  |-  ( normop `  T )  <_  ( sqr `  ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) ) )
16310, 153le2sqi 11193 . . . . 5  |-  ( ( 0  <_  ( normop `  T
)  /\  0  <_  ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) ) )  -> 
( ( normop `  T
)  <_  ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) ) )  <-> 
( ( normop `  T
) ^ 2 )  <_  ( ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) ) ) ^ 2 ) ) )
16446, 155, 163mp2an 653 . . . 4  |-  ( (
normop `  T )  <_ 
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )  <->  ( ( normop `  T ) ^ 2 )  <_  ( ( sqr `  ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) ) ) ^ 2 ) )
165162, 164mpbi 199 . . 3  |-  ( (
normop `  T ) ^
2 )  <_  (
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) ) ^ 2 )
166165, 148breqtri 4046 . 2  |-  ( (
normop `  T ) ^
2 )  <_  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )
16775, 11letri3i 8934 . 2  |-  ( (
normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T
) )  =  ( ( normop `  T ) ^ 2 )  <->  ( ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )  <_  ( ( normop `  T ) ^ 2 )  /\  ( (
normop `  T ) ^
2 )  <_  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) ) )
16870, 166, 167mpbir2an 886 1  |-  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )  =  ( (
normop `  T ) ^
2 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   class class class wbr 4023   dom cdm 4689    o. ccom 4693   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    x. cmul 8742   RR*cxr 8866    <_ cle 8868   2c2 9795   ^cexp 11104   sqrcsqr 11718   abscabs 11719   ~Hchil 21499    .ih csp 21502   normhcno 21503   normopcnop 21525   BndLinOpcbo 21528   adjhcado 21535
This theorem is referenced by:  nmopcoadj2i  22682
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cc 8061  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817  ax-hilex 21579  ax-hfvadd 21580  ax-hvcom 21581  ax-hvass 21582  ax-hv0cl 21583  ax-hvaddid 21584  ax-hfvmul 21585  ax-hvmulid 21586  ax-hvmulass 21587  ax-hvdistr1 21588  ax-hvdistr2 21589  ax-hvmul0 21590  ax-hfi 21658  ax-his1 21661  ax-his2 21662  ax-his3 21663  ax-his4 21664  ax-hcompl 21781
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-lm 16959  df-t1 17042  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cfil 18681  df-cau 18682  df-cmet 18683  df-grpo 20858  df-gid 20859  df-ginv 20860  df-gdiv 20861  df-ablo 20949  df-subgo 20969  df-vc 21102  df-nv 21148  df-va 21151  df-ba 21152  df-sm 21153  df-0v 21154  df-vs 21155  df-nmcv 21156  df-ims 21157  df-dip 21274  df-ssp 21298  df-lno 21322  df-nmoo 21323  df-0o 21325  df-ph 21391  df-cbn 21442  df-hnorm 21548  df-hba 21549  df-hvsub 21551  df-hlim 21552  df-hcau 21553  df-sh 21786  df-ch 21801  df-oc 21831  df-ch0 21832  df-shs 21887  df-pjh 21974  df-h0op 22328  df-nmop 22419  df-cnop 22420  df-lnop 22421  df-bdop 22422  df-unop 22423  df-hmop 22424  df-nmfn 22425  df-nlfn 22426  df-cnfn 22427  df-lnfn 22428  df-adjh 22429
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