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Theorem nmopcoi 22691
Description: Upper bound for the norm of the composition of two bounded linear operators. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoptri.1  |-  S  e.  BndLinOp
nmoptri.2  |-  T  e.  BndLinOp
Assertion
Ref Expression
nmopcoi  |-  ( normop `  ( S  o.  T
) )  <_  (
( normop `  S )  x.  ( normop `  T )
)

Proof of Theorem nmopcoi
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmoptri.1 . . . . . 6  |-  S  e.  BndLinOp
2 bdopln 22457 . . . . . 6  |-  ( S  e.  BndLinOp  ->  S  e.  LinOp )
31, 2ax-mp 8 . . . . 5  |-  S  e. 
LinOp
4 nmoptri.2 . . . . . 6  |-  T  e.  BndLinOp
5 bdopln 22457 . . . . . 6  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  T  e.  LinOp )
64, 5ax-mp 8 . . . . 5  |-  T  e. 
LinOp
73, 6lnopcoi 22599 . . . 4  |-  ( S  o.  T )  e. 
LinOp
87lnopfi 22565 . . 3  |-  ( S  o.  T ) : ~H --> ~H
9 nmopre 22466 . . . . . 6  |-  ( S  e.  BndLinOp  ->  ( normop `  S
)  e.  RR )
101, 9ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( normop `  S )  e.  RR
11 nmopre 22466 . . . . . 6  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  ( normop `  T
)  e.  RR )
124, 11ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( normop `  T )  e.  RR
1310, 12remulcli 8867 . . . 4  |-  ( (
normop `  S )  x.  ( normop `  T )
)  e.  RR
14 rexr 8893 . . . 4  |-  ( ( ( normop `  S )  x.  ( normop `  T )
)  e.  RR  ->  ( ( normop `  S )  x.  ( normop `  T )
)  e.  RR* )
1513, 14ax-mp 8 . . 3  |-  ( (
normop `  S )  x.  ( normop `  T )
)  e.  RR*
16 nmopub 22504 . . 3  |-  ( ( ( S  o.  T
) : ~H --> ~H  /\  ( ( normop `  S
)  x.  ( normop `  T ) )  e. 
RR* )  ->  (
( normop `  ( S  o.  T ) )  <_ 
( ( normop `  S
)  x.  ( normop `  T ) )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  <_ 
( ( normop `  S
)  x.  ( normop `  T ) ) ) ) )
178, 15, 16mp2an 653 . 2  |-  ( (
normop `  ( S  o.  T ) )  <_ 
( ( normop `  S
)  x.  ( normop `  T ) )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  <_ 
( ( normop `  S
)  x.  ( normop `  T ) ) ) )
18 0le0 9843 . . . . . . 7  |-  0  <_  0
1918a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( ( normop `  T )  =  0  /\  x  e.  ~H )  ->  0  <_  0 )
203, 6lnopco0i 22600 . . . . . . . 8  |-  ( (
normop `  T )  =  0  ->  ( normop `  ( S  o.  T )
)  =  0 )
217nmlnop0iHIL 22592 . . . . . . . 8  |-  ( (
normop `  ( S  o.  T ) )  =  0  <->  ( S  o.  T )  =  0hop )
2220, 21sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( (
normop `  T )  =  0  ->  ( S  o.  T )  =  0hop )
23 fveq1 5540 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  o.  T )  =  0hop  ->  ( ( S  o.  T ) `
 x )  =  ( 0hop `  x
) )
2423fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  o.  T )  =  0hop  ->  ( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x
) )  =  (
normh `  ( 0hop `  x
) ) )
25 ho0val 22346 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( 0hop `  x )  =  0h )
2625fveq2d 5545 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( 0hop `  x
) )  =  (
normh `  0h ) )
27 norm0 21723 . . . . . . . . 9  |-  ( normh `  0h )  =  0
2826, 27syl6eq 2344 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( 0hop `  x
) )  =  0 )
2924, 28sylan9eq 2348 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  o.  T
)  =  0hop  /\  x  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  =  0 )
3022, 29sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( normop `  T )  =  0  /\  x  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  =  0 )
31 oveq2 5882 . . . . . . . 8  |-  ( (
normop `  T )  =  0  ->  ( ( normop `  S )  x.  ( normop `  T ) )  =  ( ( normop `  S
)  x.  0 ) )
3210recni 8865 . . . . . . . . 9  |-  ( normop `  S )  e.  CC
3332mul01i 9018 . . . . . . . 8  |-  ( (
normop `  S )  x.  0 )  =  0
3431, 33syl6eq 2344 . . . . . . 7  |-  ( (
normop `  T )  =  0  ->  ( ( normop `  S )  x.  ( normop `  T ) )  =  0 )
3534adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( normop `  T )  =  0  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( normop `  S )  x.  ( normop `  T )
)  =  0 )
3619, 30, 353brtr4d 4069 . . . . 5  |-  ( ( ( normop `  T )  =  0  /\  x  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  <_ 
( ( normop `  S
)  x.  ( normop `  T ) ) )
3736adantrr 697 . . . 4  |-  ( ( ( normop `  T )  =  0  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  <_ 
( ( normop `  S
)  x.  ( normop `  T ) ) )
38 df-ne 2461 . . . . 5  |-  ( (
normop `  T )  =/=  0  <->  -.  ( normop `  T
)  =  0 )
398ffvelrni 5680 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( S  o.  T
) `  x )  e.  ~H )
40 normcl 21720 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  o.  T
) `  x )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x
) )  e.  RR )
4139, 40syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  e.  RR )
4241recnd 8877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  e.  CC )
4312recni 8865 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( normop `  T )  e.  CC
44 divrec2 9457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  e.  CC  /\  ( normop `  T )  e.  CC  /\  ( normop `  T )  =/=  0 )  ->  (
( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  / 
( normop `  T )
)  =  ( ( 1  /  ( normop `  T ) )  x.  ( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) ) ) )
4543, 44mp3an2 1265 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  e.  CC  /\  ( normop `  T )  =/=  0
)  ->  ( ( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  / 
( normop `  T )
)  =  ( ( 1  /  ( normop `  T ) )  x.  ( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) ) ) )
4642, 45sylan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normop `  T )  =/=  0 )  ->  (
( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  / 
( normop `  T )
)  =  ( ( 1  /  ( normop `  T ) )  x.  ( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) ) ) )
4746ancoms 439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  / 
( normop `  T )
)  =  ( ( 1  /  ( normop `  T ) )  x.  ( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) ) ) )
4812rerecclzi 9540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
normop `  T )  =/=  0  ->  ( 1  /  ( normop `  T
) )  e.  RR )
49 bdopf 22458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  T : ~H --> ~H )
504, 49ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  T : ~H
--> ~H
51 nmopgt0 22508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  ( ( normop `  T )  =/=  0  <->  0  <  ( normop `  T ) ) )
5250, 51ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
normop `  T )  =/=  0  <->  0  <  ( normop `  T ) )
5312recgt0i 9677 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0  <  ( normop `  T
)  ->  0  <  ( 1  /  ( normop `  T ) ) )
5452, 53sylbi 187 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
normop `  T )  =/=  0  ->  0  <  ( 1  /  ( normop `  T ) ) )
55 0re 8854 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR
56 ltle 8926 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( 1  /  ( normop `  T ) )  e.  RR )  ->  (
0  <  ( 1  /  ( normop `  T
) )  ->  0  <_  ( 1  /  ( normop `  T ) ) ) )
5755, 56mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  /  ( normop `  T ) )  e.  RR  ->  ( 0  <  ( 1  / 
( normop `  T )
)  ->  0  <_  ( 1  /  ( normop `  T ) ) ) )
5848, 54, 57sylc 56 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
normop `  T )  =/=  0  ->  0  <_  ( 1  /  ( normop `  T ) ) )
5948, 58absidd 11921 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
normop `  T )  =/=  0  ->  ( abs `  ( 1  /  ( normop `  T ) ) )  =  ( 1  / 
( normop `  T )
) )
6059adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  x  e.  ~H )  ->  ( abs `  ( 1  / 
( normop `  T )
) )  =  ( 1  /  ( normop `  T ) ) )
6160oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( abs `  (
1  /  ( normop `  T ) ) )  x.  ( normh `  (
( S  o.  T
) `  x )
) )  =  ( ( 1  /  ( normop `  T ) )  x.  ( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) ) ) )
6247, 61eqtr4d 2331 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  / 
( normop `  T )
)  =  ( ( abs `  ( 1  /  ( normop `  T
) ) )  x.  ( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) ) ) )
6343recclzi 9501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
normop `  T )  =/=  0  ->  ( 1  /  ( normop `  T
) )  e.  CC )
64 norm-iii 21735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1  /  ( normop `  T ) )  e.  CC  /\  ( ( S  o.  T ) `
 x )  e. 
~H )  ->  ( normh `  ( ( 1  /  ( normop `  T
) )  .h  (
( S  o.  T
) `  x )
) )  =  ( ( abs `  (
1  /  ( normop `  T ) ) )  x.  ( normh `  (
( S  o.  T
) `  x )
) ) )
6563, 39, 64syl2an 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  x  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( ( 1  /  ( normop `  T
) )  .h  (
( S  o.  T
) `  x )
) )  =  ( ( abs `  (
1  /  ( normop `  T ) ) )  x.  ( normh `  (
( S  o.  T
) `  x )
) ) )
6662, 65eqtr4d 2331 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  / 
( normop `  T )
)  =  ( normh `  ( ( 1  / 
( normop `  T )
)  .h  ( ( S  o.  T ) `
 x ) ) ) )
6750ffvelrni 5680 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( T `  x )  e.  ~H )
683lnopmuli 22568 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  ( normop `  T ) )  e.  CC  /\  ( T `
 x )  e. 
~H )  ->  ( S `  ( (
1  /  ( normop `  T ) )  .h  ( T `  x
) ) )  =  ( ( 1  / 
( normop `  T )
)  .h  ( S `
 ( T `  x ) ) ) )
6963, 67, 68syl2an 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  x  e.  ~H )  ->  ( S `  ( (
1  /  ( normop `  T ) )  .h  ( T `  x
) ) )  =  ( ( 1  / 
( normop `  T )
)  .h  ( S `
 ( T `  x ) ) ) )
70 bdopf 22458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  e.  BndLinOp  ->  S : ~H --> ~H )
711, 70ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  S : ~H
--> ~H
7271, 50hocoi 22360 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( S  o.  T
) `  x )  =  ( S `  ( T `  x ) ) )
7372oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( 1  /  ( normop `  T ) )  .h  ( ( S  o.  T ) `  x
) )  =  ( ( 1  /  ( normop `  T ) )  .h  ( S `  ( T `  x )
) ) )
7473adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( 1  /  ( normop `  T ) )  .h  ( ( S  o.  T ) `  x
) )  =  ( ( 1  /  ( normop `  T ) )  .h  ( S `  ( T `  x )
) ) )
7569, 74eqtr4d 2331 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  x  e.  ~H )  ->  ( S `  ( (
1  /  ( normop `  T ) )  .h  ( T `  x
) ) )  =  ( ( 1  / 
( normop `  T )
)  .h  ( ( S  o.  T ) `
 x ) ) )
7675fveq2d 5545 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  x  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( S `  ( ( 1  / 
( normop `  T )
)  .h  ( T `
 x ) ) ) )  =  (
normh `  ( ( 1  /  ( normop `  T
) )  .h  (
( S  o.  T
) `  x )
) ) )
7766, 76eqtr4d 2331 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  / 
( normop `  T )
)  =  ( normh `  ( S `  (
( 1  /  ( normop `  T ) )  .h  ( T `  x
) ) ) ) )
7877adantrr 697 . . . . . . 7  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( ( normh `  (
( S  o.  T
) `  x )
)  /  ( normop `  T ) )  =  ( normh `  ( S `  ( ( 1  / 
( normop `  T )
)  .h  ( T `
 x ) ) ) ) )
79 hvmulcl 21609 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  /  ( normop `  T ) )  e.  CC  /\  ( T `
 x )  e. 
~H )  ->  (
( 1  /  ( normop `  T ) )  .h  ( T `  x
) )  e.  ~H )
8063, 67, 79syl2an 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( 1  /  ( normop `  T ) )  .h  ( T `  x
) )  e.  ~H )
8180adantrr 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( ( 1  / 
( normop `  T )
)  .h  ( T `
 x ) )  e.  ~H )
82 norm-iii 21735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  ( normop `  T ) )  e.  CC  /\  ( T `
 x )  e. 
~H )  ->  ( normh `  ( ( 1  /  ( normop `  T
) )  .h  ( T `  x )
) )  =  ( ( abs `  (
1  /  ( normop `  T ) ) )  x.  ( normh `  ( T `  x )
) ) )
8363, 67, 82syl2an 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  x  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( ( 1  /  ( normop `  T
) )  .h  ( T `  x )
) )  =  ( ( abs `  (
1  /  ( normop `  T ) ) )  x.  ( normh `  ( T `  x )
) ) )
84 normcl 21720 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( T `  x )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  e.  RR )
8567, 84syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  e.  RR )
8685recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  e.  CC )
87 divrec2 9457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( normh `  ( T `  x ) )  e.  CC  /\  ( normop `  T )  e.  CC  /\  ( normop `  T )  =/=  0 )  ->  (
( normh `  ( T `  x ) )  / 
( normop `  T )
)  =  ( ( 1  /  ( normop `  T ) )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) ) )
8843, 87mp3an2 1265 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( normh `  ( T `  x ) )  e.  CC  /\  ( normop `  T )  =/=  0
)  ->  ( ( normh `  ( T `  x ) )  / 
( normop `  T )
)  =  ( ( 1  /  ( normop `  T ) )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) ) )
8986, 88sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normop `  T )  =/=  0 )  ->  (
( normh `  ( T `  x ) )  / 
( normop `  T )
)  =  ( ( 1  /  ( normop `  T ) )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) ) )
9089ancoms 439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( normh `  ( T `  x ) )  / 
( normop `  T )
)  =  ( ( 1  /  ( normop `  T ) )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) ) )
9160oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( abs `  (
1  /  ( normop `  T ) ) )  x.  ( normh `  ( T `  x )
) )  =  ( ( 1  /  ( normop `  T ) )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) ) )
9290, 91eqtr4d 2331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( normh `  ( T `  x ) )  / 
( normop `  T )
)  =  ( ( abs `  ( 1  /  ( normop `  T
) ) )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) ) )
9383, 92eqtr4d 2331 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  x  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( ( 1  /  ( normop `  T
) )  .h  ( T `  x )
) )  =  ( ( normh `  ( T `  x ) )  / 
( normop `  T )
) )
9493adantrr 697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( normh `  ( (
1  /  ( normop `  T ) )  .h  ( T `  x
) ) )  =  ( ( normh `  ( T `  x )
)  /  ( normop `  T ) ) )
95 nmoplb 22503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_ 
1 )  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( normop `  T )
)
9650, 95mp3an1 1264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( normop `  T )
)
9743mulid2i 8856 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  x.  ( normop `  T
) )  =  (
normop `  T )
9896, 97syl6breqr 4079 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( 1  x.  ( normop `  T ) ) )
9998adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( 1  x.  ( normop `  T ) ) )
10085adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normop `  T )  =/=  0 )  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  e.  RR )
101 1re 8853 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR
102101a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normop `  T )  =/=  0 )  ->  1  e.  RR )
10312a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normop `  T )  =/=  0 )  ->  ( normop `  T )  e.  RR )
10452biimpi 186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
normop `  T )  =/=  0  ->  0  <  (
normop `  T ) )
105104adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normop `  T )  =/=  0 )  ->  0  <  ( normop `  T )
)
106 ledivmul2 9649 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( normh `  ( T `  x ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( (
normop `  T )  e.  RR  /\  0  < 
( normop `  T )
) )  ->  (
( ( normh `  ( T `  x )
)  /  ( normop `  T ) )  <_ 
1  <->  ( normh `  ( T `  x )
)  <_  ( 1  x.  ( normop `  T
) ) ) )
107100, 102, 103, 105, 106syl112anc 1186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normop `  T )  =/=  0 )  ->  (
( ( normh `  ( T `  x )
)  /  ( normop `  T ) )  <_ 
1  <->  ( normh `  ( T `  x )
)  <_  ( 1  x.  ( normop `  T
) ) ) )
108107ancoms 439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( ( normh `  ( T `  x )
)  /  ( normop `  T ) )  <_ 
1  <->  ( normh `  ( T `  x )
)  <_  ( 1  x.  ( normop `  T
) ) ) )
109108adantrr 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( ( ( normh `  ( T `  x
) )  /  ( normop `  T ) )  <_ 
1  <->  ( normh `  ( T `  x )
)  <_  ( 1  x.  ( normop `  T
) ) ) )
11099, 109mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( ( normh `  ( T `  x )
)  /  ( normop `  T ) )  <_ 
1 )
11194, 110eqbrtrd 4059 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( normh `  ( (
1  /  ( normop `  T ) )  .h  ( T `  x
) ) )  <_ 
1 )
112 nmoplb 22503 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S : ~H --> ~H  /\  ( ( 1  / 
( normop `  T )
)  .h  ( T `
 x ) )  e.  ~H  /\  ( normh `  ( ( 1  /  ( normop `  T
) )  .h  ( T `  x )
) )  <_  1
)  ->  ( normh `  ( S `  (
( 1  /  ( normop `  T ) )  .h  ( T `  x
) ) ) )  <_  ( normop `  S
) )
11371, 112mp3an1 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( 1  / 
( normop `  T )
)  .h  ( T `
 x ) )  e.  ~H  /\  ( normh `  ( ( 1  /  ( normop `  T
) )  .h  ( T `  x )
) )  <_  1
)  ->  ( normh `  ( S `  (
( 1  /  ( normop `  T ) )  .h  ( T `  x
) ) ) )  <_  ( normop `  S
) )
11481, 111, 113syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( normh `  ( S `  ( ( 1  / 
( normop `  T )
)  .h  ( T `
 x ) ) ) )  <_  ( normop `  S ) )
11578, 114eqbrtrd 4059 . . . . . 6  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( ( normh `  (
( S  o.  T
) `  x )
)  /  ( normop `  T ) )  <_ 
( normop `  S )
)
11641ad2antrl 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  e.  RR )
11710a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( normop `  S )  e.  RR )
118104adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
0  <  ( normop `  T
) )
119118, 12jctil 523 . . . . . . 7  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( ( normop `  T
)  e.  RR  /\  0  <  ( normop `  T
) ) )
120 ledivmul2 9649 . . . . . . 7  |-  ( ( ( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  e.  RR  /\  ( normop `  S )  e.  RR  /\  ( ( normop `  T
)  e.  RR  /\  0  <  ( normop `  T
) ) )  -> 
( ( ( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x
) )  /  ( normop `  T ) )  <_ 
( normop `  S )  <->  (
normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  <_ 
( ( normop `  S
)  x.  ( normop `  T ) ) ) )
121116, 117, 119, 120syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( ( ( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x
) )  /  ( normop `  T ) )  <_ 
( normop `  S )  <->  (
normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  <_ 
( ( normop `  S
)  x.  ( normop `  T ) ) ) )
122115, 121mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ( ( normop `  T )  =/=  0  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  <_ 
( ( normop `  S
)  x.  ( normop `  T ) ) )
12338, 122sylanbr 459 . . . 4  |-  ( ( -.  ( normop `  T
)  =  0  /\  ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  <_ 
( ( normop `  S
)  x.  ( normop `  T ) ) )
12437, 123pm2.61ian 765 . . 3  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x ) )  <_ 
( ( normop `  S
)  x.  ( normop `  T ) ) )
125124ex 423 . 2  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( ( S  o.  T ) `  x
) )  <_  (
( normop `  S )  x.  ( normop `  T )
) ) )
12617, 125mprgbir 2626 1  |-  ( normop `  ( S  o.  T
) )  <_  (
( normop `  S )  x.  ( normop `  T )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   class class class wbr 4039    o. ccom 4709   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    x. cmul 8758   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884    / cdiv 9439   abscabs 11735   ~Hchil 21515    .h csm 21517   normhcno 21519   0hc0v 21520   0hopch0o 21539   normopcnop 21541   LinOpclo 21543   BndLinOpcbo 21544
This theorem is referenced by:  bdopcoi  22694  unierri  22700
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cc 8077  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833  ax-hilex 21595  ax-hfvadd 21596  ax-hvcom 21597  ax-hvass 21598  ax-hv0cl 21599  ax-hvaddid 21600  ax-hfvmul 21601  ax-hvmulid 21602  ax-hvmulass 21603  ax-hvdistr1 21604  ax-hvdistr2 21605  ax-hvmul0 21606  ax-hfi 21674  ax-his1 21677  ax-his2 21678  ax-his3 21679  ax-his4 21680  ax-hcompl 21797
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-acn 7591  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-lm 16975  df-haus 17059  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cfil 18697  df-cau 18698  df-cmet 18699  df-grpo 20874  df-gid 20875  df-ginv 20876  df-gdiv 20877  df-ablo 20965  df-subgo 20985  df-vc 21118  df-nv 21164  df-va 21167  df-ba 21168  df-sm 21169  df-0v 21170  df-vs 21171  df-nmcv 21172  df-ims 21173  df-dip 21290  df-ssp 21314  df-lno 21338  df-nmoo 21339  df-0o 21341  df-ph 21407  df-cbn 21458  df-hnorm 21564  df-hba 21565  df-hvsub 21567  df-hlim 21568  df-hcau 21569  df-sh 21802  df-ch 21817  df-oc 21847  df-ch0 21848  df-shs 21903  df-pjh 21990  df-h0op 22344  df-nmop 22435  df-lnop 22437  df-bdop 22438  df-hmop 22440
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