HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmopge0 Structured version   Unicode version

Theorem nmopge0 23419
Description: The norm of any Hilbert space operator is nonnegative. (Contributed by NM, 9-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmopge0  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  0  <_  ( normop `  T
) )

Proof of Theorem nmopge0
StepHypRef Expression
1 ax-hv0cl 22511 . . . 4  |-  0h  e.  ~H
2 ffvelrn 5871 . . . 4  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  0h  e.  ~H )  -> 
( T `  0h )  e.  ~H )
31, 2mpan2 654 . . 3  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  ( T `  0h )  e.  ~H )
4 normge0 22633 . . 3  |-  ( ( T `  0h )  e.  ~H  ->  0  <_  (
normh `  ( T `  0h ) ) )
53, 4syl 16 . 2  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  0  <_  ( normh `  ( T `  0h )
) )
6 norm0 22635 . . . 4  |-  ( normh `  0h )  =  0
7 0le1 9556 . . . 4  |-  0  <_  1
86, 7eqbrtri 4234 . . 3  |-  ( normh `  0h )  <_  1
9 nmoplb 23415 . . 3  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  0h  e.  ~H  /\  ( normh `  0h )  <_ 
1 )  ->  ( normh `  ( T `  0h ) )  <_  ( normop `  T ) )
101, 8, 9mp3an23 1272 . 2  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  (
normh `  ( T `  0h ) )  <_  ( normop `  T ) )
11 normcl 22632 . . . . 5  |-  ( ( T `  0h )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( T `  0h ) )  e.  RR )
123, 11syl 16 . . . 4  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  (
normh `  ( T `  0h ) )  e.  RR )
1312rexrd 9139 . . 3  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  (
normh `  ( T `  0h ) )  e.  RR* )
14 nmopxr 23374 . . 3  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  (
normop `  T )  e. 
RR* )
15 0xr 9136 . . . 4  |-  0  e.  RR*
16 xrletr 10753 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  ( normh `  ( T `  0h ) )  e.  RR*  /\  ( normop `  T )  e.  RR* )  ->  (
( 0  <_  ( normh `  ( T `  0h ) )  /\  ( normh `  ( T `  0h ) )  <_  ( normop `  T ) )  -> 
0  <_  ( normop `  T
) ) )
1715, 16mp3an1 1267 . . 3  |-  ( ( ( normh `  ( T `  0h ) )  e. 
RR*  /\  ( normop `  T
)  e.  RR* )  ->  ( ( 0  <_ 
( normh `  ( T `  0h ) )  /\  ( normh `  ( T `  0h ) )  <_ 
( normop `  T )
)  ->  0  <_  (
normop `  T ) ) )
1813, 14, 17syl2anc 644 . 2  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  ( ( 0  <_  ( normh `  ( T `  0h ) )  /\  ( normh `  ( T `  0h ) )  <_  ( normop `  T ) )  -> 
0  <_  ( normop `  T
) ) )
195, 10, 18mp2and 662 1  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  0  <_  ( normop `  T
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    e. wcel 1726   class class class wbr 4215   -->wf 5453   ` cfv 5457   RRcr 8994   0cc0 8995   1c1 8996   RR*cxr 9124    <_ cle 9126   ~Hchil 22427   normhcno 22431   0hc0v 22432   normopcnop 22453
This theorem is referenced by:  nmopgt0  23420  nmophmi  23539  cnlnadjlem7  23581  nmopadjlem  23597  nmopcoadji  23609  opsqrlem1  23648
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-hilex 22507  ax-hfvadd 22508  ax-hvcom 22509  ax-hvass 22510  ax-hv0cl 22511  ax-hvaddid 22512  ax-hfvmul 22513  ax-hvmulid 22514  ax-hvmulass 22515  ax-hvdistr1 22516  ax-hvdistr2 22517  ax-hvmul0 22518  ax-hfi 22586  ax-his1 22589  ax-his2 22590  ax-his3 22591  ax-his4 22592
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-seq 11329  df-exp 11388  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-grpo 21784  df-gid 21785  df-ablo 21875  df-vc 22030  df-nv 22076  df-va 22079  df-ba 22080  df-sm 22081  df-0v 22082  df-nmcv 22084  df-hnorm 22476  df-hba 22477  df-hvsub 22479  df-nmop 23347
  Copyright terms: Public domain W3C validator