HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmopge0 Unicode version

Theorem nmopge0 23402
Description: The norm of any Hilbert space operator is nonnegative. (Contributed by NM, 9-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmopge0  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  0  <_  ( normop `  T
) )

Proof of Theorem nmopge0
StepHypRef Expression
1 ax-hv0cl 22494 . . . 4  |-  0h  e.  ~H
2 ffvelrn 5859 . . . 4  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  0h  e.  ~H )  -> 
( T `  0h )  e.  ~H )
31, 2mpan2 653 . . 3  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  ( T `  0h )  e.  ~H )
4 normge0 22616 . . 3  |-  ( ( T `  0h )  e.  ~H  ->  0  <_  (
normh `  ( T `  0h ) ) )
53, 4syl 16 . 2  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  0  <_  ( normh `  ( T `  0h )
) )
6 norm0 22618 . . . 4  |-  ( normh `  0h )  =  0
7 0le1 9540 . . . 4  |-  0  <_  1
86, 7eqbrtri 4223 . . 3  |-  ( normh `  0h )  <_  1
9 nmoplb 23398 . . 3  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  0h  e.  ~H  /\  ( normh `  0h )  <_ 
1 )  ->  ( normh `  ( T `  0h ) )  <_  ( normop `  T ) )
101, 8, 9mp3an23 1271 . 2  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  (
normh `  ( T `  0h ) )  <_  ( normop `  T ) )
11 normcl 22615 . . . . 5  |-  ( ( T `  0h )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( T `  0h ) )  e.  RR )
123, 11syl 16 . . . 4  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  (
normh `  ( T `  0h ) )  e.  RR )
1312rexrd 9123 . . 3  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  (
normh `  ( T `  0h ) )  e.  RR* )
14 nmopxr 23357 . . 3  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  (
normop `  T )  e. 
RR* )
15 0xr 9120 . . . 4  |-  0  e.  RR*
16 xrletr 10737 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  ( normh `  ( T `  0h ) )  e.  RR*  /\  ( normop `  T )  e.  RR* )  ->  (
( 0  <_  ( normh `  ( T `  0h ) )  /\  ( normh `  ( T `  0h ) )  <_  ( normop `  T ) )  -> 
0  <_  ( normop `  T
) ) )
1715, 16mp3an1 1266 . . 3  |-  ( ( ( normh `  ( T `  0h ) )  e. 
RR*  /\  ( normop `  T
)  e.  RR* )  ->  ( ( 0  <_ 
( normh `  ( T `  0h ) )  /\  ( normh `  ( T `  0h ) )  <_ 
( normop `  T )
)  ->  0  <_  (
normop `  T ) ) )
1813, 14, 17syl2anc 643 . 2  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  ( ( 0  <_  ( normh `  ( T `  0h ) )  /\  ( normh `  ( T `  0h ) )  <_  ( normop `  T ) )  -> 
0  <_  ( normop `  T
) ) )
195, 10, 18mp2and 661 1  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  0  <_  ( normop `  T
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1725   class class class wbr 4204   -->wf 5441   ` cfv 5445   RRcr 8978   0cc0 8979   1c1 8980   RR*cxr 9108    <_ cle 9110   ~Hchil 22410   normhcno 22414   0hc0v 22415   normopcnop 22436
This theorem is referenced by:  nmopgt0  23403  nmophmi  23522  cnlnadjlem7  23564  nmopadjlem  23580  nmopcoadji  23592  opsqrlem1  23631
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056  ax-pre-sup 9057  ax-hilex 22490  ax-hfvadd 22491  ax-hvcom 22492  ax-hvass 22493  ax-hv0cl 22494  ax-hvaddid 22495  ax-hfvmul 22496  ax-hvmulid 22497  ax-hvmulass 22498  ax-hvdistr1 22499  ax-hvdistr2 22500  ax-hvmul0 22501  ax-hfi 22569  ax-his1 22572  ax-his2 22573  ax-his3 22574  ax-his4 22575
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-er 6896  df-map 7011  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-sup 7437  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-4 10049  df-n0 10211  df-z 10272  df-uz 10478  df-rp 10602  df-seq 11312  df-exp 11371  df-cj 11892  df-re 11893  df-im 11894  df-sqr 12028  df-abs 12029  df-grpo 21767  df-gid 21768  df-ablo 21858  df-vc 22013  df-nv 22059  df-va 22062  df-ba 22063  df-sm 22064  df-0v 22065  df-nmcv 22067  df-hnorm 22459  df-hba 22460  df-hvsub 22462  df-nmop 23330
  Copyright terms: Public domain W3C validator