HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmopge0 Unicode version

Theorem nmopge0 23262
Description: The norm of any Hilbert space operator is nonnegative. (Contributed by NM, 9-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmopge0  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  0  <_  ( normop `  T
) )

Proof of Theorem nmopge0
StepHypRef Expression
1 ax-hv0cl 22354 . . . 4  |-  0h  e.  ~H
2 ffvelrn 5807 . . . 4  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  0h  e.  ~H )  -> 
( T `  0h )  e.  ~H )
31, 2mpan2 653 . . 3  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  ( T `  0h )  e.  ~H )
4 normge0 22476 . . 3  |-  ( ( T `  0h )  e.  ~H  ->  0  <_  (
normh `  ( T `  0h ) ) )
53, 4syl 16 . 2  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  0  <_  ( normh `  ( T `  0h )
) )
6 norm0 22478 . . . 4  |-  ( normh `  0h )  =  0
7 0le1 9483 . . . 4  |-  0  <_  1
86, 7eqbrtri 4172 . . 3  |-  ( normh `  0h )  <_  1
9 nmoplb 23258 . . 3  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  0h  e.  ~H  /\  ( normh `  0h )  <_ 
1 )  ->  ( normh `  ( T `  0h ) )  <_  ( normop `  T ) )
101, 8, 9mp3an23 1271 . 2  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  (
normh `  ( T `  0h ) )  <_  ( normop `  T ) )
11 normcl 22475 . . . . 5  |-  ( ( T `  0h )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( T `  0h ) )  e.  RR )
123, 11syl 16 . . . 4  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  (
normh `  ( T `  0h ) )  e.  RR )
1312rexrd 9067 . . 3  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  (
normh `  ( T `  0h ) )  e.  RR* )
14 nmopxr 23217 . . 3  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  (
normop `  T )  e. 
RR* )
15 0xr 9064 . . . 4  |-  0  e.  RR*
16 xrletr 10680 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  ( normh `  ( T `  0h ) )  e.  RR*  /\  ( normop `  T )  e.  RR* )  ->  (
( 0  <_  ( normh `  ( T `  0h ) )  /\  ( normh `  ( T `  0h ) )  <_  ( normop `  T ) )  -> 
0  <_  ( normop `  T
) ) )
1715, 16mp3an1 1266 . . 3  |-  ( ( ( normh `  ( T `  0h ) )  e. 
RR*  /\  ( normop `  T
)  e.  RR* )  ->  ( ( 0  <_ 
( normh `  ( T `  0h ) )  /\  ( normh `  ( T `  0h ) )  <_ 
( normop `  T )
)  ->  0  <_  (
normop `  T ) ) )
1813, 14, 17syl2anc 643 . 2  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  ( ( 0  <_  ( normh `  ( T `  0h ) )  /\  ( normh `  ( T `  0h ) )  <_  ( normop `  T ) )  -> 
0  <_  ( normop `  T
) ) )
195, 10, 18mp2and 661 1  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  0  <_  ( normop `  T
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1717   class class class wbr 4153   -->wf 5390   ` cfv 5394   RRcr 8922   0cc0 8923   1c1 8924   RR*cxr 9052    <_ cle 9054   ~Hchil 22270   normhcno 22274   0hc0v 22275   normopcnop 22296
This theorem is referenced by:  nmopgt0  23263  nmophmi  23382  cnlnadjlem7  23424  nmopadjlem  23440  nmopcoadji  23452  opsqrlem1  23491
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001  ax-hilex 22350  ax-hfvadd 22351  ax-hvcom 22352  ax-hvass 22353  ax-hv0cl 22354  ax-hvaddid 22355  ax-hfvmul 22356  ax-hvmulid 22357  ax-hvmulass 22358  ax-hvdistr1 22359  ax-hvdistr2 22360  ax-hvmul0 22361  ax-hfi 22429  ax-his1 22432  ax-his2 22433  ax-his3 22434  ax-his4 22435
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-map 6956  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-sup 7381  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-rp 10545  df-seq 11251  df-exp 11310  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-grpo 21627  df-gid 21628  df-ablo 21718  df-vc 21873  df-nv 21919  df-va 21922  df-ba 21923  df-sm 21924  df-0v 21925  df-nmcv 21927  df-hnorm 22319  df-hba 22320  df-hvsub 22322  df-nmop 23190
  Copyright terms: Public domain W3C validator