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Theorem nmophmi 23539
Description: The norm of the scalar product of a bounded linear operator. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
nmophm.1  |-  T  e.  BndLinOp
Assertion
Ref Expression
nmophmi  |-  ( A  e.  CC  ->  ( normop `  ( A  .op  T
) )  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) ) )

Proof of Theorem nmophmi
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmophm.1 . . . . . . . . . . 11  |-  T  e.  BndLinOp
2 bdopf 23370 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  T : ~H --> ~H )
31, 2ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  T : ~H
--> ~H
4 homval 23249 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  T : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( A  .op  T ) `  x )  =  ( A  .h  ( T `  x ) ) )
53, 4mp3an2 1268 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( A  .op  T ) `  x )  =  ( A  .h  ( T `  x ) ) )
65fveq2d 5735 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( ( A  .op  T ) `  x ) )  =  ( normh `  ( A  .h  ( T `  x
) ) ) )
73ffvelrni 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( T `  x )  e.  ~H )
8 norm-iii 22647 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( T `  x )  e.  ~H )  -> 
( normh `  ( A  .h  ( T `  x
) ) )  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( normh `  ( T `  x
) ) ) )
97, 8sylan2 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( A  .h  ( T `  x
) ) )  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( normh `  ( T `  x
) ) ) )
106, 9eqtrd 2470 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( ( A  .op  T ) `  x ) )  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( normh `  ( T `  x
) ) ) )
1110adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( A 
.op  T ) `  x ) )  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( normh `  ( T `  x
) ) ) )
12 normcl 22632 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T `  x )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  e.  RR )
137, 12syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  e.  RR )
1413ad2antlr 709 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  e.  RR )
15 abscl 12088 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
16 absge0 12097 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  A
) )
1715, 16jca 520 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  A
) ) )
1817ad2antrr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( abs `  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  A
) ) )
19 nmoplb 23415 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_ 
1 )  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( normop `  T )
)
203, 19mp3an1 1267 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( normop `  T )
)
2120adantll 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( normop `  T )
)
22 nmopre 23378 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  ( normop `  T
)  e.  RR )
231, 22ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( normop `  T )  e.  RR
24 lemul2a 9870 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( normh `  ( T `  x )
)  e.  RR  /\  ( normop `  T )  e.  RR  /\  ( ( abs `  A )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  A
) ) )  /\  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( normop `  T )
)  ->  ( ( abs `  A )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) )  <_  ( ( abs `  A )  x.  ( normop `  T ) ) )
2523, 24mp3anl2 1275 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( normh `  ( T `  x )
)  e.  RR  /\  ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  A
) ) )  /\  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( normop `  T )
)  ->  ( ( abs `  A )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) )  <_  ( ( abs `  A )  x.  ( normop `  T ) ) )
2614, 18, 21, 25syl21anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( normh `  ( T `  x
) ) )  <_ 
( ( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) ) )
2711, 26eqbrtrd 4235 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( A 
.op  T ) `  x ) )  <_ 
( ( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) ) )
2827ex 425 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( normh `  x
)  <_  1  ->  (
normh `  ( ( A 
.op  T ) `  x ) )  <_ 
( ( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) ) ) )
2928ralrimiva 2791 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( ( A  .op  T ) `  x ) )  <_ 
( ( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) ) ) )
30 homulcl 23267 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  T : ~H --> ~H )  ->  ( A  .op  T
) : ~H --> ~H )
313, 30mpan2 654 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  .op  T ) : ~H --> ~H )
32 remulcl 9080 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  ( normop `  T )  e.  RR )  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) )  e.  RR )
3315, 23, 32sylancl 645 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) )  e.  RR )
3433rexrd 9139 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) )  e. 
RR* )
35 nmopub 23416 . . . 4  |-  ( ( ( A  .op  T
) : ~H --> ~H  /\  ( ( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) )  e. 
RR* )  ->  (
( normop `  ( A  .op  T ) )  <_ 
( ( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( ( A  .op  T ) `  x ) )  <_ 
( ( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) ) ) ) )
3631, 34, 35syl2anc 644 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( normop `  ( A  .op  T ) )  <_ 
( ( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( ( A  .op  T ) `  x ) )  <_ 
( ( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) ) ) ) )
3729, 36mpbird 225 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( normop `  ( A  .op  T
) )  <_  (
( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) ) )
38 fveq2 5731 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  0  ->  ( abs `  A )  =  ( abs `  0
) )
39 abs0 12095 . . . . . . . 8  |-  ( abs `  0 )  =  0
4038, 39syl6eq 2486 . . . . . . 7  |-  ( A  =  0  ->  ( abs `  A )  =  0 )
4140oveq1d 6099 . . . . . 6  |-  ( A  =  0  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) )  =  ( 0  x.  ( normop `  T ) ) )
4223recni 9107 . . . . . . 7  |-  ( normop `  T )  e.  CC
4342mul02i 9260 . . . . . 6  |-  ( 0  x.  ( normop `  T
) )  =  0
4441, 43syl6eq 2486 . . . . 5  |-  ( A  =  0  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) )  =  0 )
4544adantl 454 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =  0 )  ->  ( ( abs `  A )  x.  ( normop `  T ) )  =  0 )
46 nmopge0 23419 . . . . . 6  |-  ( ( A  .op  T ) : ~H --> ~H  ->  0  <_  ( normop `  ( A  .op  T ) ) )
4731, 46syl 16 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( normop `  ( A  .op  T ) ) )
4847adantr 453 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =  0 )  ->  0  <_  ( normop `  ( A  .op  T
) ) )
4945, 48eqbrtrd 4235 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =  0 )  ->  ( ( abs `  A )  x.  ( normop `  T ) )  <_ 
( normop `  ( A  .op  T ) ) )
50 nmoplb 23415 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  .op  T
) : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_ 
1 )  ->  ( normh `  ( ( A 
.op  T ) `  x ) )  <_ 
( normop `  ( A  .op  T ) ) )
5131, 50syl3an1 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_ 
1 )  ->  ( normh `  ( ( A 
.op  T ) `  x ) )  <_ 
( normop `  ( A  .op  T ) ) )
52513expa 1154 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( A 
.op  T ) `  x ) )  <_ 
( normop `  ( A  .op  T ) ) )
5311, 52eqbrtrrd 4237 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( normh `  ( T `  x
) ) )  <_ 
( normop `  ( A  .op  T ) ) )
5453adantllr 701 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_ 
1 )  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( normh `  ( T `  x
) ) )  <_ 
( normop `  ( A  .op  T ) ) )
5513adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( T `  x )
)  e.  RR )
56 nmopxr 23374 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  .op  T ) : ~H --> ~H  ->  (
normop `  ( A  .op  T ) )  e.  RR* )
5731, 56syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  ( normop `  ( A  .op  T
) )  e.  RR* )
58 nmopgtmnf 23376 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  .op  T ) : ~H --> ~H  ->  -oo 
<  ( normop `  ( A  .op  T ) ) )
5931, 58syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  -oo  <  (
normop `  ( A  .op  T ) ) )
60 xrre 10762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( normop `  ( A  .op  T ) )  e.  RR*  /\  (
( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) )  e.  RR )  /\  (  -oo  <  ( normop `  ( A  .op  T ) )  /\  ( normop `  ( A  .op  T ) )  <_  ( ( abs `  A )  x.  ( normop `  T ) ) ) )  ->  ( normop `  ( A  .op  T ) )  e.  RR )
6157, 33, 59, 37, 60syl22anc 1186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  ( normop `  ( A  .op  T
) )  e.  RR )
6261ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( normop `  ( A  .op  T ) )  e.  RR )
6315ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
64 absgt0 12133 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  =/=  0  <->  0  <  ( abs `  A ) ) )
6564biimpa 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
0  <  ( abs `  A ) )
6665adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  x  e.  ~H )  ->  0  <  ( abs `  A ) )
67 lemuldiv2 9895 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( normh `  ( T `  x ) )  e.  RR  /\  ( normop `  ( A  .op  T
) )  e.  RR  /\  ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  0  <  ( abs `  A
) ) )  -> 
( ( ( abs `  A )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) )  <_  ( normop `  ( A  .op  T ) )  <-> 
( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( ( normop `  ( A  .op  T ) )  /  ( abs `  A
) ) ) )
6855, 62, 63, 66, 67syl112anc 1189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( abs `  A )  x.  ( normh `  ( T `  x )
) )  <_  ( normop `  ( A  .op  T
) )  <->  ( normh `  ( T `  x
) )  <_  (
( normop `  ( A  .op  T ) )  / 
( abs `  A
) ) ) )
6968adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_ 
1 )  ->  (
( ( abs `  A
)  x.  ( normh `  ( T `  x
) ) )  <_ 
( normop `  ( A  .op  T ) )  <->  ( normh `  ( T `  x
) )  <_  (
( normop `  ( A  .op  T ) )  / 
( abs `  A
) ) ) )
7054, 69mpbid 203 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_ 
1 )  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( ( normop `  ( A  .op  T ) )  /  ( abs `  A
) ) )
7170ex 425 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( ( normop `  ( A  .op  T ) )  /  ( abs `  A
) ) ) )
7271ralrimiva 2791 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  ->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  ->  (
normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( ( normop `  ( A  .op  T ) )  /  ( abs `  A
) ) ) )
7361adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( normop `  ( A  .op  T ) )  e.  RR )
7415adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR )
75 abs00 12099 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  =  0  <->  A  =  0 ) )
7675necon3bid 2638 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  =/=  0  <->  A  =/=  0 ) )
7776biimpar 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( abs `  A
)  =/=  0 )
7873, 74, 77redivcld 9847 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( ( normop `  ( A  .op  T ) )  /  ( abs `  A
) )  e.  RR )
7978rexrd 9139 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( ( normop `  ( A  .op  T ) )  /  ( abs `  A
) )  e.  RR* )
80 nmopub 23416 . . . . . 6  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( ( normop `  ( A  .op  T ) )  /  ( abs `  A
) )  e.  RR* )  ->  ( ( normop `  T )  <_  (
( normop `  ( A  .op  T ) )  / 
( abs `  A
) )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( ( normop `  ( A  .op  T ) )  /  ( abs `  A
) ) ) ) )
813, 79, 80sylancr 646 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( ( normop `  T
)  <_  ( ( normop `  ( A  .op  T
) )  /  ( abs `  A ) )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  ->  (
normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( ( normop `  ( A  .op  T ) )  /  ( abs `  A
) ) ) ) )
8272, 81mpbird 225 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( normop `  T )  <_  ( ( normop `  ( A  .op  T ) )  /  ( abs `  A
) ) )
8323a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( normop `  T )  e.  RR )
84 lemuldiv2 9895 . . . . 5  |-  ( ( ( normop `  T )  e.  RR  /\  ( normop `  ( A  .op  T
) )  e.  RR  /\  ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  0  <  ( abs `  A
) ) )  -> 
( ( ( abs `  A )  x.  ( normop `  T ) )  <_ 
( normop `  ( A  .op  T ) )  <->  ( normop `  T
)  <_  ( ( normop `  ( A  .op  T
) )  /  ( abs `  A ) ) ) )
8583, 73, 74, 65, 84syl112anc 1189 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( ( ( abs `  A )  x.  ( normop `  T ) )  <_ 
( normop `  ( A  .op  T ) )  <->  ( normop `  T
)  <_  ( ( normop `  ( A  .op  T
) )  /  ( abs `  A ) ) ) )
8682, 85mpbird 225 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( ( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) )  <_ 
( normop `  ( A  .op  T ) ) )
8749, 86pm2.61dane 2684 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) )  <_ 
( normop `  ( A  .op  T ) ) )
8861, 33letri3d 9220 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( normop `  ( A  .op  T ) )  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) )  <->  ( ( normop `  ( A  .op  T
) )  <_  (
( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) )  /\  ( ( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) )  <_ 
( normop `  ( A  .op  T ) ) ) ) )
8937, 87, 88mpbir2and 890 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( normop `  ( A  .op  T
) )  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   class class class wbr 4215   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   CCcc 8993   RRcr 8994   0cc0 8995   1c1 8996    x. cmul 9000    -oocmnf 9123   RR*cxr 9124    < clt 9125    <_ cle 9126    / cdiv 9682   abscabs 12044   ~Hchil 22427    .h csm 22429   normhcno 22431    .op chot 22447   normopcnop 22453   BndLinOpcbo 22456
This theorem is referenced by:  bdophmi  23540
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-hilex 22507  ax-hfvadd 22508  ax-hvcom 22509  ax-hvass 22510  ax-hv0cl 22511  ax-hvaddid 22512  ax-hfvmul 22513  ax-hvmulid 22514  ax-hvmulass 22515  ax-hvdistr1 22516  ax-hvdistr2 22517  ax-hvmul0 22518  ax-hfi 22586  ax-his1 22589  ax-his2 22590  ax-his3 22591  ax-his4 22592
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-seq 11329  df-exp 11388  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-grpo 21784  df-gid 21785  df-ablo 21875  df-vc 22030  df-nv 22076  df-va 22079  df-ba 22080  df-sm 22081  df-0v 22082  df-nmcv 22084  df-hnorm 22476  df-hba 22477  df-hvsub 22479  df-homul 23239  df-nmop 23347  df-lnop 23349  df-bdop 23350
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