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Theorem nmophmi 23487
Description: The norm of the scalar product of a bounded linear operator. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
nmophm.1  |-  T  e.  BndLinOp
Assertion
Ref Expression
nmophmi  |-  ( A  e.  CC  ->  ( normop `  ( A  .op  T
) )  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) ) )

Proof of Theorem nmophmi
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmophm.1 . . . . . . . . . . 11  |-  T  e.  BndLinOp
2 bdopf 23318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  T : ~H --> ~H )
31, 2ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  T : ~H
--> ~H
4 homval 23197 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  T : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( A  .op  T ) `  x )  =  ( A  .h  ( T `  x ) ) )
53, 4mp3an2 1267 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( A  .op  T ) `  x )  =  ( A  .h  ( T `  x ) ) )
65fveq2d 5691 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( ( A  .op  T ) `  x ) )  =  ( normh `  ( A  .h  ( T `  x
) ) ) )
73ffvelrni 5828 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( T `  x )  e.  ~H )
8 norm-iii 22595 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( T `  x )  e.  ~H )  -> 
( normh `  ( A  .h  ( T `  x
) ) )  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( normh `  ( T `  x
) ) ) )
97, 8sylan2 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( A  .h  ( T `  x
) ) )  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( normh `  ( T `  x
) ) ) )
106, 9eqtrd 2436 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( ( A  .op  T ) `  x ) )  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( normh `  ( T `  x
) ) ) )
1110adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( A 
.op  T ) `  x ) )  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( normh `  ( T `  x
) ) ) )
12 normcl 22580 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T `  x )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  e.  RR )
137, 12syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  e.  RR )
1413ad2antlr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  e.  RR )
15 abscl 12038 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
16 absge0 12047 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  A
) )
1715, 16jca 519 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  A
) ) )
1817ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( abs `  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  A
) ) )
19 nmoplb 23363 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_ 
1 )  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( normop `  T )
)
203, 19mp3an1 1266 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( normop `  T )
)
2120adantll 695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( normop `  T )
)
22 nmopre 23326 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  ( normop `  T
)  e.  RR )
231, 22ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( normop `  T )  e.  RR
24 lemul2a 9821 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( normh `  ( T `  x )
)  e.  RR  /\  ( normop `  T )  e.  RR  /\  ( ( abs `  A )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  A
) ) )  /\  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( normop `  T )
)  ->  ( ( abs `  A )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) )  <_  ( ( abs `  A )  x.  ( normop `  T ) ) )
2523, 24mp3anl2 1274 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( normh `  ( T `  x )
)  e.  RR  /\  ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  A
) ) )  /\  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( normop `  T )
)  ->  ( ( abs `  A )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) )  <_  ( ( abs `  A )  x.  ( normop `  T ) ) )
2614, 18, 21, 25syl21anc 1183 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( normh `  ( T `  x
) ) )  <_ 
( ( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) ) )
2711, 26eqbrtrd 4192 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( A 
.op  T ) `  x ) )  <_ 
( ( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) ) )
2827ex 424 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( normh `  x
)  <_  1  ->  (
normh `  ( ( A 
.op  T ) `  x ) )  <_ 
( ( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) ) ) )
2928ralrimiva 2749 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( ( A  .op  T ) `  x ) )  <_ 
( ( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) ) ) )
30 homulcl 23215 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  T : ~H --> ~H )  ->  ( A  .op  T
) : ~H --> ~H )
313, 30mpan2 653 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  .op  T ) : ~H --> ~H )
32 remulcl 9031 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  ( normop `  T )  e.  RR )  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) )  e.  RR )
3315, 23, 32sylancl 644 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) )  e.  RR )
3433rexrd 9090 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) )  e. 
RR* )
35 nmopub 23364 . . . 4  |-  ( ( ( A  .op  T
) : ~H --> ~H  /\  ( ( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) )  e. 
RR* )  ->  (
( normop `  ( A  .op  T ) )  <_ 
( ( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( ( A  .op  T ) `  x ) )  <_ 
( ( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) ) ) ) )
3631, 34, 35syl2anc 643 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( normop `  ( A  .op  T ) )  <_ 
( ( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( ( A  .op  T ) `  x ) )  <_ 
( ( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) ) ) ) )
3729, 36mpbird 224 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( normop `  ( A  .op  T
) )  <_  (
( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) ) )
38 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  0  ->  ( abs `  A )  =  ( abs `  0
) )
39 abs0 12045 . . . . . . . 8  |-  ( abs `  0 )  =  0
4038, 39syl6eq 2452 . . . . . . 7  |-  ( A  =  0  ->  ( abs `  A )  =  0 )
4140oveq1d 6055 . . . . . 6  |-  ( A  =  0  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) )  =  ( 0  x.  ( normop `  T ) ) )
4223recni 9058 . . . . . . 7  |-  ( normop `  T )  e.  CC
4342mul02i 9211 . . . . . 6  |-  ( 0  x.  ( normop `  T
) )  =  0
4441, 43syl6eq 2452 . . . . 5  |-  ( A  =  0  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) )  =  0 )
4544adantl 453 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =  0 )  ->  ( ( abs `  A )  x.  ( normop `  T ) )  =  0 )
46 nmopge0 23367 . . . . . 6  |-  ( ( A  .op  T ) : ~H --> ~H  ->  0  <_  ( normop `  ( A  .op  T ) ) )
4731, 46syl 16 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( normop `  ( A  .op  T ) ) )
4847adantr 452 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =  0 )  ->  0  <_  ( normop `  ( A  .op  T
) ) )
4945, 48eqbrtrd 4192 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =  0 )  ->  ( ( abs `  A )  x.  ( normop `  T ) )  <_ 
( normop `  ( A  .op  T ) ) )
50 nmoplb 23363 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  .op  T
) : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_ 
1 )  ->  ( normh `  ( ( A 
.op  T ) `  x ) )  <_ 
( normop `  ( A  .op  T ) ) )
5131, 50syl3an1 1217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_ 
1 )  ->  ( normh `  ( ( A 
.op  T ) `  x ) )  <_ 
( normop `  ( A  .op  T ) ) )
52513expa 1153 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( A 
.op  T ) `  x ) )  <_ 
( normop `  ( A  .op  T ) ) )
5311, 52eqbrtrrd 4194 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( normh `  ( T `  x
) ) )  <_ 
( normop `  ( A  .op  T ) ) )
5453adantllr 700 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_ 
1 )  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( normh `  ( T `  x
) ) )  <_ 
( normop `  ( A  .op  T ) ) )
5513adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( T `  x )
)  e.  RR )
56 nmopxr 23322 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  .op  T ) : ~H --> ~H  ->  (
normop `  ( A  .op  T ) )  e.  RR* )
5731, 56syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  ( normop `  ( A  .op  T
) )  e.  RR* )
58 nmopgtmnf 23324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  .op  T ) : ~H --> ~H  ->  -oo 
<  ( normop `  ( A  .op  T ) ) )
5931, 58syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  -oo  <  (
normop `  ( A  .op  T ) ) )
60 xrre 10713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( normop `  ( A  .op  T ) )  e.  RR*  /\  (
( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) )  e.  RR )  /\  (  -oo  <  ( normop `  ( A  .op  T ) )  /\  ( normop `  ( A  .op  T ) )  <_  ( ( abs `  A )  x.  ( normop `  T ) ) ) )  ->  ( normop `  ( A  .op  T ) )  e.  RR )
6157, 33, 59, 37, 60syl22anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  ( normop `  ( A  .op  T
) )  e.  RR )
6261ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( normop `  ( A  .op  T ) )  e.  RR )
6315ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
64 absgt0 12083 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  =/=  0  <->  0  <  ( abs `  A ) ) )
6564biimpa 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
0  <  ( abs `  A ) )
6665adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  x  e.  ~H )  ->  0  <  ( abs `  A ) )
67 lemuldiv2 9846 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( normh `  ( T `  x ) )  e.  RR  /\  ( normop `  ( A  .op  T
) )  e.  RR  /\  ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  0  <  ( abs `  A
) ) )  -> 
( ( ( abs `  A )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) )  <_  ( normop `  ( A  .op  T ) )  <-> 
( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( ( normop `  ( A  .op  T ) )  /  ( abs `  A
) ) ) )
6855, 62, 63, 66, 67syl112anc 1188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( abs `  A )  x.  ( normh `  ( T `  x )
) )  <_  ( normop `  ( A  .op  T
) )  <->  ( normh `  ( T `  x
) )  <_  (
( normop `  ( A  .op  T ) )  / 
( abs `  A
) ) ) )
6968adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_ 
1 )  ->  (
( ( abs `  A
)  x.  ( normh `  ( T `  x
) ) )  <_ 
( normop `  ( A  .op  T ) )  <->  ( normh `  ( T `  x
) )  <_  (
( normop `  ( A  .op  T ) )  / 
( abs `  A
) ) ) )
7054, 69mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_ 
1 )  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( ( normop `  ( A  .op  T ) )  /  ( abs `  A
) ) )
7170ex 424 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( ( normop `  ( A  .op  T ) )  /  ( abs `  A
) ) ) )
7271ralrimiva 2749 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  ->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  ->  (
normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( ( normop `  ( A  .op  T ) )  /  ( abs `  A
) ) ) )
7361adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( normop `  ( A  .op  T ) )  e.  RR )
7415adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR )
75 abs00 12049 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  =  0  <->  A  =  0 ) )
7675necon3bid 2602 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  =/=  0  <->  A  =/=  0 ) )
7776biimpar 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( abs `  A
)  =/=  0 )
7873, 74, 77redivcld 9798 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( ( normop `  ( A  .op  T ) )  /  ( abs `  A
) )  e.  RR )
7978rexrd 9090 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( ( normop `  ( A  .op  T ) )  /  ( abs `  A
) )  e.  RR* )
80 nmopub 23364 . . . . . 6  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( ( normop `  ( A  .op  T ) )  /  ( abs `  A
) )  e.  RR* )  ->  ( ( normop `  T )  <_  (
( normop `  ( A  .op  T ) )  / 
( abs `  A
) )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( ( normop `  ( A  .op  T ) )  /  ( abs `  A
) ) ) ) )
813, 79, 80sylancr 645 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( ( normop `  T
)  <_  ( ( normop `  ( A  .op  T
) )  /  ( abs `  A ) )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  ->  (
normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( ( normop `  ( A  .op  T ) )  /  ( abs `  A
) ) ) ) )
8272, 81mpbird 224 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( normop `  T )  <_  ( ( normop `  ( A  .op  T ) )  /  ( abs `  A
) ) )
8323a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( normop `  T )  e.  RR )
84 lemuldiv2 9846 . . . . 5  |-  ( ( ( normop `  T )  e.  RR  /\  ( normop `  ( A  .op  T
) )  e.  RR  /\  ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  0  <  ( abs `  A
) ) )  -> 
( ( ( abs `  A )  x.  ( normop `  T ) )  <_ 
( normop `  ( A  .op  T ) )  <->  ( normop `  T
)  <_  ( ( normop `  ( A  .op  T
) )  /  ( abs `  A ) ) ) )
8583, 73, 74, 65, 84syl112anc 1188 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( ( ( abs `  A )  x.  ( normop `  T ) )  <_ 
( normop `  ( A  .op  T ) )  <->  ( normop `  T
)  <_  ( ( normop `  ( A  .op  T
) )  /  ( abs `  A ) ) ) )
8682, 85mpbird 224 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( ( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) )  <_ 
( normop `  ( A  .op  T ) ) )
8749, 86pm2.61dane 2645 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) )  <_ 
( normop `  ( A  .op  T ) ) )
8861, 33letri3d 9171 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( normop `  ( A  .op  T ) )  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) )  <->  ( ( normop `  ( A  .op  T
) )  <_  (
( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) )  /\  ( ( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) )  <_ 
( normop `  ( A  .op  T ) ) ) ) )
8937, 87, 88mpbir2and 889 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( normop `  ( A  .op  T
) )  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( normop `  T ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   class class class wbr 4172   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    x. cmul 8951    -oocmnf 9074   RR*cxr 9075    < clt 9076    <_ cle 9077    / cdiv 9633   abscabs 11994   ~Hchil 22375    .h csm 22377   normhcno 22379    .op chot 22395   normopcnop 22401   BndLinOpcbo 22404
This theorem is referenced by:  bdophmi  23488
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-hilex 22455  ax-hfvadd 22456  ax-hvcom 22457  ax-hvass 22458  ax-hv0cl 22459  ax-hvaddid 22460  ax-hfvmul 22461  ax-hvmulid 22462  ax-hvmulass 22463  ax-hvdistr1 22464  ax-hvdistr2 22465  ax-hvmul0 22466  ax-hfi 22534  ax-his1 22537  ax-his2 22538  ax-his3 22539  ax-his4 22540
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-grpo 21732  df-gid 21733  df-ablo 21823  df-vc 21978  df-nv 22024  df-va 22027  df-ba 22028  df-sm 22029  df-0v 22030  df-nmcv 22032  df-hnorm 22424  df-hba 22425  df-hvsub 22427  df-homul 23187  df-nmop 23295  df-lnop 23297  df-bdop 23298
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