HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmoplb Unicode version

Theorem nmoplb 22487
Description: A lower bound for an operator norm. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmoplb  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_ 
1 )  ->  ( normh `  ( T `  A ) )  <_ 
( normop `  T )
)

Proof of Theorem nmoplb
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmopsetretHIL 22444 . . . . 5  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) }  C_  RR )
2 ressxr 8876 . . . . 5  |-  RR  C_  RR*
31, 2syl6ss 3191 . . . 4  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) }  C_  RR* )
433ad2ant1 976 . . 3  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_ 
1 )  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } 
C_  RR* )
5 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  ( normh `  y )  =  ( normh `  A )
)
65breq1d 4033 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  (
( normh `  y )  <_  1  <->  ( normh `  A
)  <_  1 ) )
7 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  ( T `  y )  =  ( T `  A ) )
87fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  ( normh `  ( T `  y ) )  =  ( normh `  ( T `  A ) ) )
98eqeq2d 2294 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  (
( normh `  ( T `  A ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) )  <->  ( normh `  ( T `  A
) )  =  (
normh `  ( T `  A ) ) ) )
106, 9anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( normh `  ( T `  A ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) ) )  <-> 
( ( normh `  A
)  <_  1  /\  ( normh `  ( T `  A ) )  =  ( normh `  ( T `  A ) ) ) ) )
11 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( normh `  ( T `  A
) )  =  (
normh `  ( T `  A ) )
1211biantru 491 . . . . . . 7  |-  ( (
normh `  A )  <_ 
1  <->  ( ( normh `  A )  <_  1  /\  ( normh `  ( T `  A ) )  =  ( normh `  ( T `  A ) ) ) )
1310, 12syl6bbr 254 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( normh `  ( T `  A ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) ) )  <-> 
( normh `  A )  <_  1 ) )
1413rspcev 2884 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_  1 )  ->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  ( normh `  ( T `  A ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) )
15 fvex 5539 . . . . . 6  |-  ( normh `  ( T `  A
) )  e.  _V
16 eqeq1 2289 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( normh `  ( T `  A )
)  ->  ( x  =  ( normh `  ( T `  y )
)  <->  ( normh `  ( T `  A )
)  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) )
1716anbi2d 684 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( normh `  ( T `  A )
)  ->  ( (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) )  <-> 
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( normh `  ( T `  A ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) ) )
1817rexbidv 2564 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( normh `  ( T `  A )
)  ->  ( E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) )  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( normh `  ( T `  A ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) ) )
1915, 18elab 2914 . . . . 5  |-  ( (
normh `  ( T `  A ) )  e. 
{ x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) }  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( normh `  ( T `  A ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) )
2014, 19sylibr 203 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( T `  A ) )  e. 
{ x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) } )
21203adant1 973 . . 3  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_ 
1 )  ->  ( normh `  ( T `  A ) )  e. 
{ x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) } )
22 supxrub 10643 . . 3  |-  ( ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) }  C_  RR*  /\  ( normh `  ( T `  A ) )  e. 
{ x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) } )  ->  ( normh `  ( T `  A ) )  <_  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
234, 21, 22syl2anc 642 . 2  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_ 
1 )  ->  ( normh `  ( T `  A ) )  <_  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
24 nmopval 22436 . . 3  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  (
normop `  T )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
25243ad2ant1 976 . 2  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_ 
1 )  ->  ( normop `  T )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) } ,  RR* ,  <  ) )
2623, 25breqtrrd 4049 1  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_ 
1 )  ->  ( normh `  ( T `  A ) )  <_ 
( normop `  T )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   E.wrex 2544    C_ wss 3152   class class class wbr 4023   -->wf 5251   ` cfv 5255   supcsup 7193   RRcr 8736   1c1 8738   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868   ~Hchil 21499   normhcno 21503   normopcnop 21525
This theorem is referenced by:  nmopge0  22491  nmbdoplbi  22604  nmcoplbi  22608  nmophmi  22611  nmoptrii  22674  nmopcoi  22675
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-hilex 21579  ax-hfvadd 21580  ax-hvcom 21581  ax-hvass 21582  ax-hv0cl 21583  ax-hvaddid 21584  ax-hfvmul 21585  ax-hvmulid 21586  ax-hvmulass 21587  ax-hvdistr1 21588  ax-hvdistr2 21589  ax-hvmul0 21590  ax-hfi 21658  ax-his1 21661  ax-his2 21662  ax-his3 21663  ax-his4 21664
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-grpo 20858  df-gid 20859  df-ablo 20949  df-vc 21102  df-nv 21148  df-va 21151  df-ba 21152  df-sm 21153  df-0v 21154  df-nmcv 21156  df-hnorm 21548  df-hba 21549  df-hvsub 21551  df-nmop 22419
  Copyright terms: Public domain W3C validator