HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmoplb Structured version   Unicode version

Theorem nmoplb 23411
Description: A lower bound for an operator norm. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmoplb  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_ 
1 )  ->  ( normh `  ( T `  A ) )  <_ 
( normop `  T )
)

Proof of Theorem nmoplb
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmopsetretHIL 23368 . . . . 5  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) }  C_  RR )
2 ressxr 9130 . . . . 5  |-  RR  C_  RR*
31, 2syl6ss 3361 . . . 4  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) }  C_  RR* )
433ad2ant1 979 . . 3  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_ 
1 )  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } 
C_  RR* )
5 fveq2 5729 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  ( normh `  y )  =  ( normh `  A )
)
65breq1d 4223 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  (
( normh `  y )  <_  1  <->  ( normh `  A
)  <_  1 ) )
7 fveq2 5729 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  ( T `  y )  =  ( T `  A ) )
87fveq2d 5733 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  ( normh `  ( T `  y ) )  =  ( normh `  ( T `  A ) ) )
98eqeq2d 2448 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  (
( normh `  ( T `  A ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) )  <->  ( normh `  ( T `  A
) )  =  (
normh `  ( T `  A ) ) ) )
106, 9anbi12d 693 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( normh `  ( T `  A ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) ) )  <-> 
( ( normh `  A
)  <_  1  /\  ( normh `  ( T `  A ) )  =  ( normh `  ( T `  A ) ) ) ) )
11 eqid 2437 . . . . . . . 8  |-  ( normh `  ( T `  A
) )  =  (
normh `  ( T `  A ) )
1211biantru 493 . . . . . . 7  |-  ( (
normh `  A )  <_ 
1  <->  ( ( normh `  A )  <_  1  /\  ( normh `  ( T `  A ) )  =  ( normh `  ( T `  A ) ) ) )
1310, 12syl6bbr 256 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( normh `  ( T `  A ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) ) )  <-> 
( normh `  A )  <_  1 ) )
1413rspcev 3053 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_  1 )  ->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  ( normh `  ( T `  A ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) )
15 fvex 5743 . . . . . 6  |-  ( normh `  ( T `  A
) )  e.  _V
16 eqeq1 2443 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( normh `  ( T `  A )
)  ->  ( x  =  ( normh `  ( T `  y )
)  <->  ( normh `  ( T `  A )
)  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) )
1716anbi2d 686 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( normh `  ( T `  A )
)  ->  ( (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) )  <-> 
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( normh `  ( T `  A ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) ) )
1817rexbidv 2727 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( normh `  ( T `  A )
)  ->  ( E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) )  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( normh `  ( T `  A ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) ) )
1915, 18elab 3083 . . . . 5  |-  ( (
normh `  ( T `  A ) )  e. 
{ x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) }  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( normh `  ( T `  A ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) )
2014, 19sylibr 205 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( T `  A ) )  e. 
{ x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) } )
21203adant1 976 . . 3  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_ 
1 )  ->  ( normh `  ( T `  A ) )  e. 
{ x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) } )
22 supxrub 10904 . . 3  |-  ( ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) }  C_  RR*  /\  ( normh `  ( T `  A ) )  e. 
{ x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) } )  ->  ( normh `  ( T `  A ) )  <_  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
234, 21, 22syl2anc 644 . 2  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_ 
1 )  ->  ( normh `  ( T `  A ) )  <_  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
24 nmopval 23360 . . 3  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  (
normop `  T )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
25243ad2ant1 979 . 2  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_ 
1 )  ->  ( normop `  T )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) } ,  RR* ,  <  ) )
2623, 25breqtrrd 4239 1  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_ 
1 )  ->  ( normh `  ( T `  A ) )  <_ 
( normop `  T )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   {cab 2423   E.wrex 2707    C_ wss 3321   class class class wbr 4213   -->wf 5451   ` cfv 5455   supcsup 7446   RRcr 8990   1c1 8992   RR*cxr 9120    < clt 9121    <_ cle 9122   ~Hchil 22423   normhcno 22427   normopcnop 22449
This theorem is referenced by:  nmopge0  23415  nmbdoplbi  23528  nmcoplbi  23532  nmophmi  23535  nmoptrii  23598  nmopcoi  23599
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069  ax-hilex 22503  ax-hfvadd 22504  ax-hvcom 22505  ax-hvass 22506  ax-hv0cl 22507  ax-hvaddid 22508  ax-hfvmul 22509  ax-hvmulid 22510  ax-hvmulass 22511  ax-hvdistr1 22512  ax-hvdistr2 22513  ax-hvmul0 22514  ax-hfi 22582  ax-his1 22585  ax-his2 22586  ax-his3 22587  ax-his4 22588
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-er 6906  df-map 7021  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-sup 7447  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-n0 10223  df-z 10284  df-uz 10490  df-rp 10614  df-seq 11325  df-exp 11384  df-cj 11905  df-re 11906  df-im 11907  df-sqr 12041  df-abs 12042  df-grpo 21780  df-gid 21781  df-ablo 21871  df-vc 22026  df-nv 22072  df-va 22075  df-ba 22076  df-sm 22077  df-0v 22078  df-nmcv 22080  df-hnorm 22472  df-hba 22473  df-hvsub 22475  df-nmop 23343
  Copyright terms: Public domain W3C validator