Theorem nmopleidt 10072

Description: A nonzero, bounded Hermitian operator divided by its norm is less than or equal to the identity operator.

Assertion

Ref	Expression
nmopleidt	|- ((T e. HrmOp /\ (normop` T) e. RR /\ T =/= 0hop) -> ((1 / (normop` T)) .op T) <_op Iop )

Proof of Theorem nmopleidt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmlnopne0t 9924	. . . . . 6 |- (T e. LinOp -> ((normop` T) =/= 0 <-> T =/= 0hop))
2	1	biimpar 417	. . . . 5 |- ((T e. LinOp /\ T =/= 0hop) -> (normop` T) =/= 0)
3		hmoplint 9866	. . . . 5 |- (T e. HrmOp -> T e. LinOp)
4	2, 3	sylan 448	. . . 4 |- ((T e. HrmOp /\ T =/= 0hop) -> (normop` T) =/= 0)
5	4	adantlr 393	. . 3 |- (((T e. HrmOp /\ (normop` T) e. RR) /\ T =/= 0hop) -> (normop` T) =/= 0)
6		leopmul2it 10068	. . . . 5 |- ((((1 / (normop` T)) e. RR /\ T e. HrmOp /\ ((normop` T) .op Iop ) e. HrmOp) /\ (0 <_ (1 / (normop` T)) /\ T <_op ((normop` T) .op Iop ))) -> ((1 / (normop` T)) .op T) <_op ((1 / (normop` T)) .op ((normop` T) .op Iop )))
7		rerecclt 5803	. . . . . . 7 |- (((normop` T) e. RR /\ (normop` T) =/= 0) -> (1 / (normop` T)) e. RR)
8	7	adantll 392	. . . . . 6 |- (((T e. HrmOp /\ (normop` T) e. RR) /\ (normop` T) =/= 0) -> (1 / (normop` T)) e. RR)
9		simpll 412	. . . . . 6 |- (((T e. HrmOp /\ (normop` T) e. RR) /\ (normop` T) =/= 0) -> T e. HrmOp)
10		idhmop 9906	. . . . . . . 8 |- Iop e. HrmOp
11		hmopmt 9946	. . . . . . . 8 |- (((normop` T) e. RR /\ Iop e. HrmOp) -> ((normop` T) .op Iop ) e. HrmOp)
12	10, 11	mpan2 696	. . . . . . 7 |- ((normop` T) e. RR -> ((normop` T) .op Iop ) e. HrmOp)
13	12	ad2antlr 405	. . . . . 6 |- (((T e. HrmOp /\ (normop` T) e. RR) /\ (normop` T) =/= 0) -> ((normop` T) .op Iop ) e. HrmOp)
14	8, 9, 13	3jca 819	. . . . 5 |- (((T e. HrmOp /\ (normop` T) e. RR) /\ (normop` T) =/= 0) -> ((1 / (normop` T)) e. RR /\ T e. HrmOp /\ ((normop` T) .op Iop ) e. HrmOp))
15		recgt0t 5861	. . . . . . . 8 |- (((normop` T) e. RR /\ 0 < (normop` T)) -> 0 < (1 / (normop` T)))
16		simplr 413	. . . . . . . 8 |- (((T e. HrmOp /\ (normop` T) e. RR) /\ (normop` T) =/= 0) -> (normop` T) e. RR)
17		nmopgt0t 9836	. . . . . . . . . . 11 |- (T:H~-->H~ -> ((normop` T) =/= 0 <-> 0 < (normop` T)))
18	17	biimpa 416	. . . . . . . . . 10 |- ((T:H~-->H~ /\ (normop` T) =/= 0) -> 0 < (normop` T))
19		hmopft 9801	. . . . . . . . . 10 |- (T e. HrmOp -> T:H~-->H~)
20	18, 19	sylan 448	. . . . . . . . 9 |- ((T e. HrmOp /\ (normop` T) =/= 0) -> 0 < (normop` T))
21	20	adantlr 393	. . . . . . . 8 |- (((T e. HrmOp /\ (normop` T) e. RR) /\ (normop` T) =/= 0) -> 0 < (normop` T))
22	15, 16, 21	sylanc 471	. . . . . . 7 |- (((T e. HrmOp /\ (normop` T) e. RR) /\ (normop` T) =/= 0) -> 0 < (1 / (normop` T)))
23		0re 5440	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR
24		ltlet 5520	. . . . . . . . . 10 |- ((0 e. RR /\ (1 / (normop` T)) e. RR) -> (0 < (1 / (normop` T)) -> 0 <_ (1 / (normop` T))))
25	23, 24	mpan 695	. . . . . . . . 9 |- ((1 / (normop` T)) e. RR -> (0 < (1 / (normop` T)) -> 0 <_ (1 / (normop` T))))
26	7, 25	syl 10	. . . . . . . 8 |- (((normop` T) e. RR /\ (normop` T) =/= 0) -> (0 < (1 / (normop` T)) -> 0 <_ (1 / (normop` T))))
27	26	adantll 392	. . . . . . 7 |- (((T e. HrmOp /\ (normop` T) e. RR) /\ (normop` T) =/= 0) -> (0 < (1 / (normop` T)) -> 0 <_ (1 / (normop` T))))
28	22, 27	mpd 26	. . . . . 6 |- (((T e. HrmOp /\ (normop` T) e. RR) /\ (normop` T) =/= 0) -> 0 <_ (1 / (normop` T)))
29		leopnmidt 10071	. . . . . . 7 |- ((T e. HrmOp /\ (normop` T) e. RR) -> T <_op ((normop` T) .op Iop ))
30	29	adantr 389	. . . . . 6 |- (((T e. HrmOp /\ (normop` T) e. RR) /\ (normop` T) =/= 0) -> T <_op ((normop` T) .op Iop ))
31	28, 30	jca 288	. . . . 5 |- (((T e. HrmOp /\ (normop` T) e. RR) /\ (normop` T) =/= 0) -> (0 <_ (1 / (normop` T)) /\ T <_op ((normop` T) .op Iop )))
32	6, 14, 31	sylanc 471	. . . 4 |- (((T e. HrmOp /\ (normop` T) e. RR) /\ (normop` T) =/= 0) -> ((1 / (normop` T)) .op T) <_op ((1 / (normop` T)) .op ((normop` T) .op Iop )))
33		hoif 9680	. . . . . . . . . . 11 |- Iop :H~-1-1-onto->H~
34		f1of 3689	. . . . . . . . . . 11 |- ( Iop :H~-1-1-onto->H~ -> Iop :H~-->H~)
35	33, 34	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 |- Iop :H~-->H~
36		homulasst 9728	. . . . . . . . . 10 |- (((1 / (normop` T)) e. CC /\ (normop` T) e. CC /\ Iop :H~-->H~) -> (((1 / (normop` T)) x. (normop` T)) .op Iop ) = ((1 / (normop` T)) .op ((normop` T) .op Iop )))
37	35, 36	mp3an3 905	. . . . . . . . 9 |- (((1 / (normop` T)) e. CC /\ (normop` T) e. CC) -> (((1 / (normop` T)) x. (normop` T)) .op Iop ) = ((1 / (normop` T)) .op ((normop` T) .op Iop )))
38		recclt 5715	. . . . . . . . 9 |- (((normop` T) e. CC /\ (normop` T) =/= 0) -> (1 / (normop` T)) e. CC)
39		pm3.26 319	. . . . . . . . 9 |- (((normop` T) e. CC /\ (normop` T) =/= 0) -> (normop` T) e. CC)
40	37, 38, 39	sylanc 471	. . . . . . . 8 |- (((normop` T) e. CC /\ (normop` T) =/= 0) -> (((1 / (normop` T)) x. (normop` T)) .op Iop ) = ((1 / (normop` T)) .op ((normop` T) .op Iop )))
41		recid2t 5736	. . . . . . . . 9 |- (((normop` T) e. CC /\ (normop` T) =/= 0) -> ((1 / (normop` T)) x. (normop` T)) = 1)
42	41	opreq1d 3975	. . . . . . . 8 |- (((normop` T) e. CC /\ (normop` T) =/= 0) -> (((1 / (normop` T)) x. (normop` T)) .op Iop ) = (1 .op Iop ))
43	40, 42	eqtr3d 1509	. . . . . . 7 |- (((normop` T) e. CC /\ (normop` T) =/= 0) -> ((1 / (normop` T)) .op ((normop` T) .op Iop )) = (1 .op Iop ))
44		homulid2t 9726	. . . . . . . 8 |- ( Iop :H~-->H~ -> (1 .op Iop ) = Iop )
45	35, 44	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (1 .op Iop ) = Iop
46	43, 45	syl6eq 1523	. . . . . 6 |- (((normop` T) e. CC /\ (normop` T) =/= 0) -> ((1 / (normop` T)) .op ((normop` T) .op Iop )) = Iop )
47		recnt 5313	. . . . . 6 |- ((normop` T) e. RR -> (normop` T) e. CC)
48	46, 47	sylan 448	. . . . 5 |- (((normop` T) e. RR /\ (normop` T) =/= 0) -> ((1 / (normop` T)) .op ((normop` T) .op Iop )) = Iop )
49	48	adantll 392	. . . 4 |- (((T e. HrmOp /\ (normop` T) e. RR) /\ (normop` T) =/= 0) -> ((1 / (normop` T)) .op ((normop` T) .op Iop )) = Iop )
50	32, 49	breqtrd 2639	. . 3 |- (((T e. HrmOp /\ (normop` T) e. RR) /\ (normop` T) =/= 0) -> ((1 / (normop` T)) .op T) <_op Iop )
51	5, 50	syldan 467	. 2 |- (((T e. HrmOp /\ (normop` T) e. RR) /\ T =/= 0hop) -> ((1 / (normop` T)) .op T) <_op Iop )
52	51	3impa 828	1 |- ((T e. HrmOp /\ (normop` T) e. RR /\ T =/= 0hop) -> ((1 / (normop` T)) .op T) <_op Iop )

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958   =/= wne 1585   class class class wbr 2619  -->wf 3178  -1-1-onto->wf1o 3181  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  RRcr 5233  0cc0 5234  1c1 5235   x. cmul 5239   / cdiv 5294   <_ cle 5295   < clt 5486  H~chil 8788   .op chot 8808  0_hopch0o 8812   Iop chio 8813  norm_opcnop 8814  LinOpclo 8816  HrmOpcho 8819   <_op cleo 8827

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-reg 4593  ax-inf2 4625  ax-ac 4744  ax-hilex 8869  ax-hfvadd 8870  ax-hvcom 8871  ax-hvass 8872  ax-hv0cl 8873  ax-hvaddid 8874  ax-hfvmul 8875  ax-hvmulid 8876  ax-hvmulass 8877  ax-hvdistr1 8878  ax-hvdistr2 8879  ax-hvmul0 8880  ax-hfi 8946  ax-his1 8949  ax-his2 8950  ax-his3 8951  ax-his4 8952  ax-hcompl 9071

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-iin 2569  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-map 4324  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-r1 4643  df-rank 4644  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245