HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmopnegi Structured version   Unicode version

Theorem nmopnegi 23473
Description: Value of the norm of the negative of a Hilbert space operator. Unlike nmophmi 23539, the operator does not have to be bounded. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
nmopneg.1  |-  T : ~H
--> ~H
Assertion
Ref Expression
nmopnegi  |-  ( normop `  ( -u 1  .op 
T ) )  =  ( normop `  T )

Proof of Theorem nmopnegi
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neg1cn 10072 . . . . . . . . . 10  |-  -u 1  e.  CC
2 nmopneg.1 . . . . . . . . . 10  |-  T : ~H
--> ~H
3 homval 23249 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  T : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( -u 1  .op  T ) `  y
)  =  ( -u
1  .h  ( T `
 y ) ) )
41, 2, 3mp3an12 1270 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( -u 1  .op  T
) `  y )  =  ( -u 1  .h  ( T `  y
) ) )
54fveq2d 5735 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( -u
1  .op  T ) `  y ) )  =  ( normh `  ( -u 1  .h  ( T `  y
) ) ) )
62ffvelrni 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( T `  y )  e.  ~H )
7 normneg 22651 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T `  y )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( -u 1  .h  ( T `  y
) ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) ) )
86, 7syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  ( -u 1  .h  ( T `  y
) ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) ) )
95, 8eqtrd 2470 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( -u
1  .op  T ) `  y ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) ) )
109eqeq2d 2449 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
x  =  ( normh `  ( ( -u 1  .op  T ) `  y
) )  <->  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) )
1110anbi2d 686 . . . . 5  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( -u 1  .op  T ) `  y
) ) )  <->  ( ( normh `  y )  <_ 
1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) ) )
1211rexbiia 2740 . . . 4  |-  ( E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( -u 1  .op  T ) `
 y ) ) )  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) )
1312abbii 2550 . . 3  |-  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( -u 1  .op  T ) `  y
) ) ) }  =  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) }
1413supeq1i 7455 . 2  |-  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( -u 1  .op  T ) `
 y ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) } ,  RR* ,  <  )
15 homulcl 23267 . . . 4  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  T : ~H --> ~H )  ->  ( -u 1  .op 
T ) : ~H --> ~H )
161, 2, 15mp2an 655 . . 3  |-  ( -u
1  .op  T ) : ~H --> ~H
17 nmopval 23364 . . 3  |-  ( (
-u 1  .op  T
) : ~H --> ~H  ->  (
normop `  ( -u 1  .op  T ) )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( -u 1  .op  T ) `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
1816, 17ax-mp 5 . 2  |-  ( normop `  ( -u 1  .op 
T ) )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( -u 1  .op  T ) `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
19 nmopval 23364 . . 3  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  (
normop `  T )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
202, 19ax-mp 5 . 2  |-  ( normop `  T )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) } ,  RR* ,  <  )
2114, 18, 203eqtr4i 2468 1  |-  ( normop `  ( -u 1  .op 
T ) )  =  ( normop `  T )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   {cab 2424   E.wrex 2708   class class class wbr 4215   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   supcsup 7448   CCcc 8993   1c1 8996   RR*cxr 9124    < clt 9125    <_ cle 9126   -ucneg 9297   ~Hchil 22427    .h csm 22429   normhcno 22431    .op chot 22447   normopcnop 22453
This theorem is referenced by:  nmoptri2i  23607
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-hilex 22507  ax-hfvadd 22508  ax-hvcom 22509  ax-hv0cl 22511  ax-hvaddid 22512  ax-hfvmul 22513  ax-hvmulid 22514  ax-hvmulass 22515  ax-hvdistr1 22516  ax-hvmul0 22518  ax-hfi 22586  ax-his1 22589  ax-his3 22591  ax-his4 22592
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-seq 11329  df-exp 11388  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-hnorm 22476  df-hvsub 22479  df-homul 23239  df-nmop 23347
  Copyright terms: Public domain W3C validator