HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmopnegi Unicode version

Theorem nmopnegi 23421
Description: Value of the norm of the negative of a Hilbert space operator. Unlike nmophmi 23487, the operator does not have to be bounded. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
nmopneg.1  |-  T : ~H
--> ~H
Assertion
Ref Expression
nmopnegi  |-  ( normop `  ( -u 1  .op 
T ) )  =  ( normop `  T )

Proof of Theorem nmopnegi
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neg1cn 10023 . . . . . . . . . 10  |-  -u 1  e.  CC
2 nmopneg.1 . . . . . . . . . 10  |-  T : ~H
--> ~H
3 homval 23197 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  T : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( -u 1  .op  T ) `  y
)  =  ( -u
1  .h  ( T `
 y ) ) )
41, 2, 3mp3an12 1269 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( -u 1  .op  T
) `  y )  =  ( -u 1  .h  ( T `  y
) ) )
54fveq2d 5691 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( -u
1  .op  T ) `  y ) )  =  ( normh `  ( -u 1  .h  ( T `  y
) ) ) )
62ffvelrni 5828 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( T `  y )  e.  ~H )
7 normneg 22599 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T `  y )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( -u 1  .h  ( T `  y
) ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) ) )
86, 7syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  ( -u 1  .h  ( T `  y
) ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) ) )
95, 8eqtrd 2436 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( -u
1  .op  T ) `  y ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) ) )
109eqeq2d 2415 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
x  =  ( normh `  ( ( -u 1  .op  T ) `  y
) )  <->  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) )
1110anbi2d 685 . . . . 5  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( -u 1  .op  T ) `  y
) ) )  <->  ( ( normh `  y )  <_ 
1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) ) )
1211rexbiia 2699 . . . 4  |-  ( E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( -u 1  .op  T ) `
 y ) ) )  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) )
1312abbii 2516 . . 3  |-  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( -u 1  .op  T ) `  y
) ) ) }  =  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) }
1413supeq1i 7410 . 2  |-  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( -u 1  .op  T ) `
 y ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) } ,  RR* ,  <  )
15 homulcl 23215 . . . 4  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  T : ~H --> ~H )  ->  ( -u 1  .op 
T ) : ~H --> ~H )
161, 2, 15mp2an 654 . . 3  |-  ( -u
1  .op  T ) : ~H --> ~H
17 nmopval 23312 . . 3  |-  ( (
-u 1  .op  T
) : ~H --> ~H  ->  (
normop `  ( -u 1  .op  T ) )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( -u 1  .op  T ) `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
1816, 17ax-mp 8 . 2  |-  ( normop `  ( -u 1  .op 
T ) )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( -u 1  .op  T ) `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
19 nmopval 23312 . . 3  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  (
normop `  T )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
202, 19ax-mp 8 . 2  |-  ( normop `  T )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) } ,  RR* ,  <  )
2114, 18, 203eqtr4i 2434 1  |-  ( normop `  ( -u 1  .op 
T ) )  =  ( normop `  T )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   {cab 2390   E.wrex 2667   class class class wbr 4172   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   supcsup 7403   CCcc 8944   1c1 8947   RR*cxr 9075    < clt 9076    <_ cle 9077   -ucneg 9248   ~Hchil 22375    .h csm 22377   normhcno 22379    .op chot 22395   normopcnop 22401
This theorem is referenced by:  nmoptri2i  23555
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-hilex 22455  ax-hfvadd 22456  ax-hvcom 22457  ax-hv0cl 22459  ax-hvaddid 22460  ax-hfvmul 22461  ax-hvmulid 22462  ax-hvmulass 22463  ax-hvdistr1 22464  ax-hvmul0 22466  ax-hfi 22534  ax-his1 22537  ax-his3 22539  ax-his4 22540
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-hnorm 22424  df-hvsub 22427  df-homul 23187  df-nmop 23295
  Copyright terms: Public domain W3C validator