HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmopnegi Unicode version

Theorem nmopnegi 22659
Description: Value of the norm of the negative of a Hilbert space operator. Unlike nmophmi 22725, the operator does not have to be bounded. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
nmopneg.1  |-  T : ~H
--> ~H
Assertion
Ref Expression
nmopnegi  |-  ( normop `  ( -u 1  .op 
T ) )  =  ( normop `  T )

Proof of Theorem nmopnegi
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neg1cn 9903 . . . . . . . . . 10  |-  -u 1  e.  CC
2 nmopneg.1 . . . . . . . . . 10  |-  T : ~H
--> ~H
3 homval 22435 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  T : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( -u 1  .op  T ) `  y
)  =  ( -u
1  .h  ( T `
 y ) ) )
41, 2, 3mp3an12 1267 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( -u 1  .op  T
) `  y )  =  ( -u 1  .h  ( T `  y
) ) )
54fveq2d 5612 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( -u
1  .op  T ) `  y ) )  =  ( normh `  ( -u 1  .h  ( T `  y
) ) ) )
62ffvelrni 5747 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( T `  y )  e.  ~H )
7 normneg 21837 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T `  y )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( -u 1  .h  ( T `  y
) ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) ) )
86, 7syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  ( -u 1  .h  ( T `  y
) ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) ) )
95, 8eqtrd 2390 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( -u
1  .op  T ) `  y ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) ) )
109eqeq2d 2369 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
x  =  ( normh `  ( ( -u 1  .op  T ) `  y
) )  <->  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) )
1110anbi2d 684 . . . . 5  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( -u 1  .op  T ) `  y
) ) )  <->  ( ( normh `  y )  <_ 
1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) ) )
1211rexbiia 2652 . . . 4  |-  ( E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( -u 1  .op  T ) `
 y ) ) )  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) )
1312abbii 2470 . . 3  |-  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( -u 1  .op  T ) `  y
) ) ) }  =  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) }
1413supeq1i 7290 . 2  |-  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( -u 1  .op  T ) `
 y ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) } ,  RR* ,  <  )
15 homulcl 22453 . . . 4  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  T : ~H --> ~H )  ->  ( -u 1  .op 
T ) : ~H --> ~H )
161, 2, 15mp2an 653 . . 3  |-  ( -u
1  .op  T ) : ~H --> ~H
17 nmopval 22550 . . 3  |-  ( (
-u 1  .op  T
) : ~H --> ~H  ->  (
normop `  ( -u 1  .op  T ) )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( -u 1  .op  T ) `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
1816, 17ax-mp 8 . 2  |-  ( normop `  ( -u 1  .op 
T ) )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( -u 1  .op  T ) `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
19 nmopval 22550 . . 3  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  (
normop `  T )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
202, 19ax-mp 8 . 2  |-  ( normop `  T )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) } ,  RR* ,  <  )
2114, 18, 203eqtr4i 2388 1  |-  ( normop `  ( -u 1  .op 
T ) )  =  ( normop `  T )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   {cab 2344   E.wrex 2620   class class class wbr 4104   -->wf 5333   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   supcsup 7283   CCcc 8825   1c1 8828   RR*cxr 8956    < clt 8957    <_ cle 8958   -ucneg 9128   ~Hchil 21613    .h csm 21615   normhcno 21617    .op chot 21633   normopcnop 21639
This theorem is referenced by:  nmoptri2i  22793
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-pre-sup 8905  ax-hilex 21693  ax-hfvadd 21694  ax-hvcom 21695  ax-hv0cl 21697  ax-hvaddid 21698  ax-hfvmul 21699  ax-hvmulid 21700  ax-hvmulass 21701  ax-hvdistr1 21702  ax-hvmul0 21704  ax-hfi 21772  ax-his1 21775  ax-his3 21777  ax-his4 21778
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-er 6747  df-map 6862  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-sup 7284  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-n0 10058  df-z 10117  df-uz 10323  df-rp 10447  df-seq 11139  df-exp 11198  df-cj 11680  df-re 11681  df-im 11682  df-sqr 11816  df-abs 11817  df-hnorm 21662  df-hvsub 21665  df-homul 22425  df-nmop 22533
  Copyright terms: Public domain W3C validator