HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmopre Unicode version

Theorem nmopre 23221
Description: The norm of a bounded operator is a real number. (Contributed by NM, 29-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmopre  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  ( normop `  T
)  e.  RR )

Proof of Theorem nmopre
StepHypRef Expression
1 bdopf 23213 . . 3  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  T : ~H --> ~H )
2 nmopgtmnf 23219 . . 3  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  -oo 
<  ( normop `  T
) )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  -oo  <  ( normop `  T ) )
4 elbdop 23211 . . 3  |-  ( T  e.  BndLinOp 
<->  ( T  e.  LinOp  /\  ( normop `  T )  <  +oo ) )
54simprbi 451 . 2  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  ( normop `  T
)  <  +oo )
6 nmopxr 23217 . . 3  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  (
normop `  T )  e. 
RR* )
7 xrrebnd 10688 . . 3  |-  ( (
normop `  T )  e. 
RR*  ->  ( ( normop `  T )  e.  RR  <->  ( 
-oo  <  ( normop `  T
)  /\  ( normop `  T
)  <  +oo ) ) )
81, 6, 73syl 19 . 2  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  ( ( normop `  T )  e.  RR  <->  ( 
-oo  <  ( normop `  T
)  /\  ( normop `  T
)  <  +oo ) ) )
93, 5, 8mpbir2and 889 1  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  ( normop `  T
)  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1717   class class class wbr 4153   -->wf 5390   ` cfv 5394   RRcr 8922    +oocpnf 9050    -oocmnf 9051   RR*cxr 9052    < clt 9053   ~Hchil 22270   normopcnop 22296   LinOpclo 22298   BndLinOpcbo 22299
This theorem is referenced by:  nmbdoplbi  23375  nmophmi  23382  bdophmi  23383  lnopcnbd  23387  nmopadjlem  23440  nmopadji  23441  nmoptrii  23445  nmopcoi  23446  bdophsi  23447  bdopcoi  23449  nmoptri2i  23450  nmopcoadji  23452  nmopcoadj0i  23454  unierri  23455
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001  ax-hilex 22350  ax-hfvadd 22351  ax-hvcom 22352  ax-hvass 22353  ax-hv0cl 22354  ax-hvaddid 22355  ax-hfvmul 22356  ax-hvmulid 22357  ax-hvmulass 22358  ax-hvdistr1 22359  ax-hvdistr2 22360  ax-hvmul0 22361  ax-hfi 22429  ax-his1 22432  ax-his2 22433  ax-his3 22434  ax-his4 22435
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-map 6956  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-sup 7381  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-rp 10545  df-seq 11251  df-exp 11310  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-grpo 21627  df-gid 21628  df-ablo 21718  df-vc 21873  df-nv 21919  df-va 21922  df-ba 21923  df-sm 21924  df-0v 21925  df-nmcv 21927  df-hnorm 22319  df-hba 22320  df-hvsub 22322  df-nmop 23190  df-lnop 23192  df-bdop 23193
  Copyright terms: Public domain W3C validator