HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmopsetn0 Unicode version

Theorem nmopsetn0 23216
Description: The set in the supremum of the operator norm definition df-nmop 23190 is nonempty. (Contributed by NM, 9-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmopsetn0  |-  ( normh `  ( T `  0h ) )  e.  {
x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) }
Distinct variable group:    x, y, T

Proof of Theorem nmopsetn0
StepHypRef Expression
1 ax-hv0cl 22354 . . 3  |-  0h  e.  ~H
2 norm0 22478 . . . . 5  |-  ( normh `  0h )  =  0
3 0le1 9483 . . . . 5  |-  0  <_  1
42, 3eqbrtri 4172 . . . 4  |-  ( normh `  0h )  <_  1
5 eqid 2387 . . . 4  |-  ( normh `  ( T `  0h ) )  =  (
normh `  ( T `  0h ) )
64, 5pm3.2i 442 . . 3  |-  ( (
normh `  0h )  <_ 
1  /\  ( normh `  ( T `  0h ) )  =  (
normh `  ( T `  0h ) ) )
7 fveq2 5668 . . . . . 6  |-  ( y  =  0h  ->  ( normh `  y )  =  ( normh `  0h )
)
87breq1d 4163 . . . . 5  |-  ( y  =  0h  ->  (
( normh `  y )  <_  1  <->  ( normh `  0h )  <_  1 ) )
9 fveq2 5668 . . . . . . 7  |-  ( y  =  0h  ->  ( T `  y )  =  ( T `  0h ) )
109fveq2d 5672 . . . . . 6  |-  ( y  =  0h  ->  ( normh `  ( T `  y ) )  =  ( normh `  ( T `  0h ) ) )
1110eqeq2d 2398 . . . . 5  |-  ( y  =  0h  ->  (
( normh `  ( T `  0h ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) )  <->  ( normh `  ( T `  0h ) )  =  (
normh `  ( T `  0h ) ) ) )
128, 11anbi12d 692 . . . 4  |-  ( y  =  0h  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( normh `  ( T `  0h ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) ) )  <-> 
( ( normh `  0h )  <_  1  /\  ( normh `  ( T `  0h ) )  =  (
normh `  ( T `  0h ) ) ) ) )
1312rspcev 2995 . . 3  |-  ( ( 0h  e.  ~H  /\  ( ( normh `  0h )  <_  1  /\  ( normh `  ( T `  0h ) )  =  (
normh `  ( T `  0h ) ) ) )  ->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( normh `  ( T `  0h ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) )
141, 6, 13mp2an 654 . 2  |-  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  ( normh `  ( T `  0h ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) ) )
15 fvex 5682 . . 3  |-  ( normh `  ( T `  0h ) )  e.  _V
16 eqeq1 2393 . . . . 5  |-  ( x  =  ( normh `  ( T `  0h )
)  ->  ( x  =  ( normh `  ( T `  y )
)  <->  ( normh `  ( T `  0h )
)  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) )
1716anbi2d 685 . . . 4  |-  ( x  =  ( normh `  ( T `  0h )
)  ->  ( (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) )  <-> 
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( normh `  ( T `  0h ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) ) )
1817rexbidv 2670 . . 3  |-  ( x  =  ( normh `  ( T `  0h )
)  ->  ( E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) )  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( normh `  ( T `  0h ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) ) )
1915, 18elab 3025 . 2  |-  ( (
normh `  ( T `  0h ) )  e.  {
x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) }  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( normh `  ( T `  0h ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) )
2014, 19mpbir 201 1  |-  ( normh `  ( T `  0h ) )  e.  {
x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   {cab 2373   E.wrex 2650   class class class wbr 4153   ` cfv 5394   0cc0 8923   1c1 8924    <_ cle 9054   ~Hchil 22270   normhcno 22274   0hc0v 22275
This theorem is referenced by:  nmoprepnf  23218
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-hv0cl 22354  ax-hvmul0 22361  ax-hfi 22429  ax-his3 22434
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-rp 10545  df-seq 11251  df-exp 11310  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-hnorm 22319
  Copyright terms: Public domain W3C validator