Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmoptrii Structured version   Unicode version

Theorem nmoptrii 23589
 Description: Triangle inequality for the norms of bounded linear operators. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoptri.1
nmoptri.2
Assertion
Ref Expression
nmoptrii

Proof of Theorem nmoptrii
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmoptri.1 . . . . 5
2 bdopf 23357 . . . . 5
31, 2ax-mp 8 . . . 4
4 nmoptri.2 . . . . 5
5 bdopf 23357 . . . . 5
64, 5ax-mp 8 . . . 4
73, 6hoaddcli 23263 . . 3
8 nmopre 23365 . . . . . 6
91, 8ax-mp 8 . . . . 5
10 nmopre 23365 . . . . . 6
114, 10ax-mp 8 . . . . 5
129, 11readdcli 9095 . . . 4
1312rexri 9129 . . 3
14 nmopub 23403 . . 3
157, 13, 14mp2an 654 . 2
163, 6hoscli 23257 . . . . . 6
17 normcl 22619 . . . . . 6
1816, 17syl 16 . . . . 5
1918adantr 452 . . . 4
203ffvelrni 5861 . . . . . . 7
21 normcl 22619 . . . . . . 7
2220, 21syl 16 . . . . . 6
236ffvelrni 5861 . . . . . . 7
24 normcl 22619 . . . . . . 7
2523, 24syl 16 . . . . . 6
2622, 25readdcld 9107 . . . . 5
2726adantr 452 . . . 4
2812a1i 11 . . . 4
29 hosval 23235 . . . . . . . 8
303, 6, 29mp3an12 1269 . . . . . . 7
3130fveq2d 5724 . . . . . 6
32 norm-ii 22632 . . . . . . 7
3320, 23, 32syl2anc 643 . . . . . 6
3431, 33eqbrtrd 4224 . . . . 5
3534adantr 452 . . . 4
36 nmoplb 23402 . . . . . 6
373, 36mp3an1 1266 . . . . 5
38 nmoplb 23402 . . . . . 6
396, 38mp3an1 1266 . . . . 5
40 le2add 9502 . . . . . . . 8
419, 11, 40mpanr12 667 . . . . . . 7
4222, 25, 41syl2anc 643 . . . . . 6
4342adantr 452 . . . . 5
4437, 39, 43mp2and 661 . . . 4
4519, 27, 28, 35, 44letrd 9219 . . 3
4645ex 424 . 2
4715, 46mprgbir 2768 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697   class class class wbr 4204  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073  cr 8981  c1 8983   caddc 8985  cxr 9111   cle 9113  chil 22414   cva 22415  cno 22418   chos 22433  cnop 22440  cbo 22443 This theorem is referenced by:  bdophsi  23591  nmoptri2i  23594  unierri  23599 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-hilex 22494  ax-hfvadd 22495  ax-hvcom 22496  ax-hvass 22497  ax-hv0cl 22498  ax-hvaddid 22499  ax-hfvmul 22500  ax-hvmulid 22501  ax-hvmulass 22502  ax-hvdistr1 22503  ax-hvdistr2 22504  ax-hvmul0 22505  ax-hfi 22573  ax-his1 22576  ax-his2 22577  ax-his3 22578  ax-his4 22579 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-grpo 21771  df-gid 21772  df-ablo 21862  df-vc 22017  df-nv 22063  df-va 22066  df-ba 22067  df-sm 22068  df-0v 22069  df-nmcv 22071  df-hnorm 22463  df-hba 22464  df-hvsub 22466  df-hosum 23225  df-nmop 23334  df-lnop 23336  df-bdop 23337
 Copyright terms: Public domain W3C validator