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Theorem nmopub 23260
Description: An upper bound for an operator norm. (Contributed by NM, 7-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmopub  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  A  e.  RR* )  -> 
( ( normop `  T
)  <_  A  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_  A ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, T

Proof of Theorem nmopub
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmopval 23208 . . . 4  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  (
normop `  T )  =  sup ( { y  |  E. x  e. 
~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( normh `  ( T `  x ) ) ) } ,  RR* ,  <  ) )
21adantr 452 . . 3  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  A  e.  RR* )  -> 
( normop `  T )  =  sup ( { y  |  E. x  e. 
~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( normh `  ( T `  x ) ) ) } ,  RR* ,  <  ) )
32breq1d 4164 . 2  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  A  e.  RR* )  -> 
( ( normop `  T
)  <_  A  <->  sup ( { y  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( normh `  ( T `  x ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  <_  A ) )
4 nmopsetretALT 23215 . . . . 5  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  { y  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( normh `  ( T `  x ) ) ) }  C_  RR )
5 ressxr 9063 . . . . 5  |-  RR  C_  RR*
64, 5syl6ss 3304 . . . 4  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  { y  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( normh `  ( T `  x ) ) ) }  C_  RR* )
7 supxrleub 10838 . . . 4  |-  ( ( { y  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( normh `  ( T `  x ) ) ) }  C_  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  ( sup ( { y  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  y  =  ( normh `  ( T `  x
) ) ) } ,  RR* ,  <  )  <_  A  <->  A. z  e.  {
y  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( normh `  ( T `  x ) ) ) } z  <_  A
) )
86, 7sylan 458 . . 3  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  A  e.  RR* )  -> 
( sup ( { y  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( normh `  ( T `  x ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  <_  A  <->  A. z  e.  { y  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( normh `  ( T `  x ) ) ) } z  <_  A
) )
9 ancom 438 . . . . . . 7  |-  ( ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( normh `  ( T `  x ) ) )  <-> 
( y  =  (
normh `  ( T `  x ) )  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )
10 eqeq1 2394 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  (
y  =  ( normh `  ( T `  x
) )  <->  z  =  ( normh `  ( T `  x ) ) ) )
1110anbi1d 686 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
( y  =  (
normh `  ( T `  x ) )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  <->  ( z  =  ( normh `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
) ) )
129, 11syl5bb 249 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  (
( ( normh `  x
)  <_  1  /\  y  =  ( normh `  ( T `  x
) ) )  <->  ( z  =  ( normh `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
) ) )
1312rexbidv 2671 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  ( E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  y  =  ( normh `  ( T `  x
) ) )  <->  E. x  e.  ~H  ( z  =  ( normh `  ( T `  x ) )  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) ) )
1413ralab 3039 . . . 4  |-  ( A. z  e.  { y  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  y  =  ( normh `  ( T `  x
) ) ) } z  <_  A  <->  A. z
( E. x  e. 
~H  ( z  =  ( normh `  ( T `  x ) )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  z  <_  A ) )
15 ralcom4 2918 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ~H  A. z
( ( z  =  ( normh `  ( T `  x ) )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  z  <_  A )  <->  A. z A. x  e.  ~H  ( ( z  =  ( normh `  ( T `  x ) )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  z  <_  A ) )
16 impexp 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  =  (
normh `  ( T `  x ) )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  z  <_  A )  <->  ( z  =  ( normh `  ( T `  x )
)  ->  ( ( normh `  x )  <_ 
1  ->  z  <_  A ) ) )
1716albii 1572 . . . . . . 7  |-  ( A. z ( ( z  =  ( normh `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
)  ->  z  <_  A )  <->  A. z ( z  =  ( normh `  ( T `  x )
)  ->  ( ( normh `  x )  <_ 
1  ->  z  <_  A ) ) )
18 fvex 5683 . . . . . . . 8  |-  ( normh `  ( T `  x
) )  e.  _V
19 breq1 4157 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( normh `  ( T `  x )
)  ->  ( z  <_  A  <->  ( normh `  ( T `  x )
)  <_  A )
)
2019imbi2d 308 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( normh `  ( T `  x )
)  ->  ( (
( normh `  x )  <_  1  ->  z  <_  A )  <->  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_  A ) ) )
2118, 20ceqsalv 2926 . . . . . . 7  |-  ( A. z ( z  =  ( normh `  ( T `  x ) )  -> 
( ( normh `  x
)  <_  1  ->  z  <_  A ) )  <-> 
( ( normh `  x
)  <_  1  ->  (
normh `  ( T `  x ) )  <_  A ) )
2217, 21bitri 241 . . . . . 6  |-  ( A. z ( ( z  =  ( normh `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
)  ->  z  <_  A )  <->  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_  A ) )
2322ralbii 2674 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ~H  A. z
( ( z  =  ( normh `  ( T `  x ) )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  z  <_  A )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_  A ) )
24 r19.23v 2766 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ~H  (
( z  =  (
normh `  ( T `  x ) )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  z  <_  A )  <->  ( E. x  e.  ~H  (
z  =  ( normh `  ( T `  x
) )  /\  ( normh `  x )  <_ 
1 )  ->  z  <_  A ) )
2524albii 1572 . . . . 5  |-  ( A. z A. x  e.  ~H  ( ( z  =  ( normh `  ( T `  x ) )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  z  <_  A )  <->  A. z
( E. x  e. 
~H  ( z  =  ( normh `  ( T `  x ) )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  z  <_  A ) )
2615, 23, 253bitr3i 267 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( T `  x
) )  <_  A
)  <->  A. z ( E. x  e.  ~H  (
z  =  ( normh `  ( T `  x
) )  /\  ( normh `  x )  <_ 
1 )  ->  z  <_  A ) )
2714, 26bitr4i 244 . . 3  |-  ( A. z  e.  { y  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  y  =  ( normh `  ( T `  x
) ) ) } z  <_  A  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_  A ) )
288, 27syl6bb 253 . 2  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  A  e.  RR* )  -> 
( sup ( { y  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( normh `  ( T `  x ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  <_  A  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_  A ) ) )
293, 28bitrd 245 1  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  A  e.  RR* )  -> 
( ( normop `  T
)  <_  A  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1546    = wceq 1649    e. wcel 1717   {cab 2374   A.wral 2650   E.wrex 2651    C_ wss 3264   class class class wbr 4154   -->wf 5391   ` cfv 5395   supcsup 7381   RRcr 8923   1c1 8925   RR*cxr 9053    < clt 9054    <_ cle 9055   ~Hchil 22271   normhcno 22275   normopcnop 22297
This theorem is referenced by:  nmopub2tALT  23261  nmophmi  23383  nmopadjlem  23441  nmoptrii  23446  nmopcoi  23447  nmopcoadji  23453
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002  ax-hilex 22351  ax-hv0cl 22355  ax-hvmul0 22362  ax-hfi 22430  ax-his1 22433  ax-his3 22435  ax-his4 22436
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-er 6842  df-map 6957  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-sup 7382  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-rp 10546  df-seq 11252  df-exp 11311  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-hnorm 22320  df-nmop 23191
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