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Theorem nmopub 23403
Description: An upper bound for an operator norm. (Contributed by NM, 7-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmopub  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  A  e.  RR* )  -> 
( ( normop `  T
)  <_  A  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_  A ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, T

Proof of Theorem nmopub
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmopval 23351 . . . 4  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  (
normop `  T )  =  sup ( { y  |  E. x  e. 
~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( normh `  ( T `  x ) ) ) } ,  RR* ,  <  ) )
21adantr 452 . . 3  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  A  e.  RR* )  -> 
( normop `  T )  =  sup ( { y  |  E. x  e. 
~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( normh `  ( T `  x ) ) ) } ,  RR* ,  <  ) )
32breq1d 4214 . 2  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  A  e.  RR* )  -> 
( ( normop `  T
)  <_  A  <->  sup ( { y  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( normh `  ( T `  x ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  <_  A ) )
4 nmopsetretALT 23358 . . . . 5  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  { y  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( normh `  ( T `  x ) ) ) }  C_  RR )
5 ressxr 9121 . . . . 5  |-  RR  C_  RR*
64, 5syl6ss 3352 . . . 4  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  { y  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( normh `  ( T `  x ) ) ) }  C_  RR* )
7 supxrleub 10897 . . . 4  |-  ( ( { y  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( normh `  ( T `  x ) ) ) }  C_  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  ( sup ( { y  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  y  =  ( normh `  ( T `  x
) ) ) } ,  RR* ,  <  )  <_  A  <->  A. z  e.  {
y  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( normh `  ( T `  x ) ) ) } z  <_  A
) )
86, 7sylan 458 . . 3  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  A  e.  RR* )  -> 
( sup ( { y  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( normh `  ( T `  x ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  <_  A  <->  A. z  e.  { y  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( normh `  ( T `  x ) ) ) } z  <_  A
) )
9 ancom 438 . . . . . . 7  |-  ( ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( normh `  ( T `  x ) ) )  <-> 
( y  =  (
normh `  ( T `  x ) )  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )
10 eqeq1 2441 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  (
y  =  ( normh `  ( T `  x
) )  <->  z  =  ( normh `  ( T `  x ) ) ) )
1110anbi1d 686 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
( y  =  (
normh `  ( T `  x ) )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  <->  ( z  =  ( normh `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
) ) )
129, 11syl5bb 249 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  (
( ( normh `  x
)  <_  1  /\  y  =  ( normh `  ( T `  x
) ) )  <->  ( z  =  ( normh `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
) ) )
1312rexbidv 2718 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  ( E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  y  =  ( normh `  ( T `  x
) ) )  <->  E. x  e.  ~H  ( z  =  ( normh `  ( T `  x ) )  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) ) )
1413ralab 3087 . . . 4  |-  ( A. z  e.  { y  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  y  =  ( normh `  ( T `  x
) ) ) } z  <_  A  <->  A. z
( E. x  e. 
~H  ( z  =  ( normh `  ( T `  x ) )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  z  <_  A ) )
15 ralcom4 2966 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ~H  A. z
( ( z  =  ( normh `  ( T `  x ) )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  z  <_  A )  <->  A. z A. x  e.  ~H  ( ( z  =  ( normh `  ( T `  x ) )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  z  <_  A ) )
16 impexp 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  =  (
normh `  ( T `  x ) )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  z  <_  A )  <->  ( z  =  ( normh `  ( T `  x )
)  ->  ( ( normh `  x )  <_ 
1  ->  z  <_  A ) ) )
1716albii 1575 . . . . . . 7  |-  ( A. z ( ( z  =  ( normh `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
)  ->  z  <_  A )  <->  A. z ( z  =  ( normh `  ( T `  x )
)  ->  ( ( normh `  x )  <_ 
1  ->  z  <_  A ) ) )
18 fvex 5734 . . . . . . . 8  |-  ( normh `  ( T `  x
) )  e.  _V
19 breq1 4207 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( normh `  ( T `  x )
)  ->  ( z  <_  A  <->  ( normh `  ( T `  x )
)  <_  A )
)
2019imbi2d 308 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( normh `  ( T `  x )
)  ->  ( (
( normh `  x )  <_  1  ->  z  <_  A )  <->  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_  A ) ) )
2118, 20ceqsalv 2974 . . . . . . 7  |-  ( A. z ( z  =  ( normh `  ( T `  x ) )  -> 
( ( normh `  x
)  <_  1  ->  z  <_  A ) )  <-> 
( ( normh `  x
)  <_  1  ->  (
normh `  ( T `  x ) )  <_  A ) )
2217, 21bitri 241 . . . . . 6  |-  ( A. z ( ( z  =  ( normh `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
)  ->  z  <_  A )  <->  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_  A ) )
2322ralbii 2721 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ~H  A. z
( ( z  =  ( normh `  ( T `  x ) )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  z  <_  A )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_  A ) )
24 r19.23v 2814 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ~H  (
( z  =  (
normh `  ( T `  x ) )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  z  <_  A )  <->  ( E. x  e.  ~H  (
z  =  ( normh `  ( T `  x
) )  /\  ( normh `  x )  <_ 
1 )  ->  z  <_  A ) )
2524albii 1575 . . . . 5  |-  ( A. z A. x  e.  ~H  ( ( z  =  ( normh `  ( T `  x ) )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  z  <_  A )  <->  A. z
( E. x  e. 
~H  ( z  =  ( normh `  ( T `  x ) )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  z  <_  A ) )
2615, 23, 253bitr3i 267 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( T `  x
) )  <_  A
)  <->  A. z ( E. x  e.  ~H  (
z  =  ( normh `  ( T `  x
) )  /\  ( normh `  x )  <_ 
1 )  ->  z  <_  A ) )
2714, 26bitr4i 244 . . 3  |-  ( A. z  e.  { y  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  y  =  ( normh `  ( T `  x
) ) ) } z  <_  A  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_  A ) )
288, 27syl6bb 253 . 2  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  A  e.  RR* )  -> 
( sup ( { y  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( normh `  ( T `  x ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  <_  A  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_  A ) ) )
293, 28bitrd 245 1  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  A  e.  RR* )  -> 
( ( normop `  T
)  <_  A  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1549    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2421   A.wral 2697   E.wrex 2698    C_ wss 3312   class class class wbr 4204   -->wf 5442   ` cfv 5446   supcsup 7437   RRcr 8981   1c1 8983   RR*cxr 9111    < clt 9112    <_ cle 9113   ~Hchil 22414   normhcno 22418   normopcnop 22440
This theorem is referenced by:  nmopub2tALT  23404  nmophmi  23526  nmopadjlem  23584  nmoptrii  23589  nmopcoi  23590  nmopcoadji  23596
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-hilex 22494  ax-hv0cl 22498  ax-hvmul0 22505  ax-hfi 22573  ax-his1 22576  ax-his3 22578  ax-his4 22579
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-hnorm 22463  df-nmop 23334
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