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Theorem nmopub2tALT 22489
Description: An upper bound for an operator norm. (Contributed by NM, 12-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmopub2tALT  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( A  x.  ( normh `  x ) ) )  ->  ( normop `  T
)  <_  A )
Distinct variable groups:    x, A    x, T

Proof of Theorem nmopub2tALT
StepHypRef Expression
1 normcl 21704 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  x )  e.  RR )
21ad2antlr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T : ~H
--> ~H  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  x )  e.  RR )
3 simpllr 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T : ~H
--> ~H  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
4 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T : ~H
--> ~H  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  x )  <_ 
1 )
5 1re 8837 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
6 lemul2a 9611 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( normh `  x
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( A  x.  ( normh `  x ) )  <_ 
( A  x.  1 ) )
75, 6mp3anl2 1272 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( normh `  x
)  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
)  ->  ( A  x.  ( normh `  x )
)  <_  ( A  x.  1 ) )
82, 3, 4, 7syl21anc 1181 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T : ~H
--> ~H  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( A  x.  ( normh `  x ) )  <_ 
( A  x.  1 ) )
9 ax-1rid 8807 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  x.  1 )  =  A )
109ad2antrl 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )
)  ->  ( A  x.  1 )  =  A )
1110ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T : ~H
--> ~H  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( A  x.  1 )  =  A )
128, 11breqtrd 4047 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T : ~H
--> ~H  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( A  x.  ( normh `  x ) )  <_  A )
13 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( T `  x
)  e.  ~H )
14 normcl 21704 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T `  x )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  e.  RR )
1513, 14syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  e.  RR )
1615adantlr 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  e.  RR )
17 remulcl 8822 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( normh `  x )  e.  RR )  ->  ( A  x.  ( normh `  x ) )  e.  RR )
181, 17sylan2 460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  ~H )  ->  ( A  x.  ( normh `  x ) )  e.  RR )
1918adantlr 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( A  x.  ( normh `  x )
)  e.  RR )
2019adantll 694 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( A  x.  ( normh `  x ) )  e.  RR )
21 simplrl 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  A  e.  RR )
22 letr 8914 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( normh `  ( T `  x ) )  e.  RR  /\  ( A  x.  ( normh `  x
) )  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( (
normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( A  x.  ( normh `  x ) )  /\  ( A  x.  ( normh `  x )
)  <_  A )  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_  A ) )
2316, 20, 21, 22syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( normh `  ( T `  x
) )  <_  ( A  x.  ( normh `  x ) )  /\  ( A  x.  ( normh `  x ) )  <_  A )  -> 
( normh `  ( T `  x ) )  <_  A ) )
2423adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T : ~H
--> ~H  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( ( normh `  ( T `  x )
)  <_  ( A  x.  ( normh `  x )
)  /\  ( A  x.  ( normh `  x )
)  <_  A )  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_  A ) )
2512, 24mpan2d 655 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( T : ~H
--> ~H  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( A  x.  ( normh `  x ) )  ->  ( normh `  ( T `  x )
)  <_  A )
)
2625ex 423 . . . . . 6  |-  ( ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( normh `  x
)  <_  1  ->  ( ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( A  x.  ( normh `  x ) )  ->  ( normh `  ( T `  x )
)  <_  A )
) )
2726com23 72 . . . . 5  |-  ( ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( normh `  ( T `  x )
)  <_  ( A  x.  ( normh `  x )
)  ->  ( ( normh `  x )  <_ 
1  ->  ( normh `  ( T `  x
) )  <_  A
) ) )
2827ralimdva 2621 . . . 4  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )
)  ->  ( A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( A  x.  ( normh `  x ) )  ->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  ->  (
normh `  ( T `  x ) )  <_  A ) ) )
2928imp 418 . . 3  |-  ( ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( A  x.  ( normh `  x ) ) )  ->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_  A ) )
30 rexr 8877 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
3130adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  A  e.  RR* )
32 nmopub 22488 . . . . 5  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  A  e.  RR* )  -> 
( ( normop `  T
)  <_  A  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_  A ) ) )
3331, 32sylan2 460 . . . 4  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )
)  ->  ( ( normop `  T )  <_  A  <->  A. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( T `  x
) )  <_  A
) ) )
3433biimpar 471 . . 3  |-  ( ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  A. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( T `  x
) )  <_  A
) )  ->  ( normop `  T )  <_  A
)
3529, 34syldan 456 . 2  |-  ( ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( A  x.  ( normh `  x ) ) )  ->  ( normop `  T
)  <_  A )
36353impa 1146 1  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( A  x.  ( normh `  x ) ) )  ->  ( normop `  T
)  <_  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   class class class wbr 4023   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    x. cmul 8742   RR*cxr 8866    <_ cle 8868   ~Hchil 21499   normhcno 21503   normopcnop 21525
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-hilex 21579  ax-hv0cl 21583  ax-hvmul0 21590  ax-hfi 21658  ax-his1 21661  ax-his3 21663  ax-his4 21664
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-hnorm 21548  df-nmop 22419
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