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Theorem nmopun 22708
Description: Norm of a unitary Hilbert space operator. (Contributed by NM, 25-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmopun  |-  ( ( ~H  =/=  0H  /\  T  e.  UniOp )  -> 
( normop `  T )  =  1 )

Proof of Theorem nmopun
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unoplin 22614 . . . . 5  |-  ( T  e.  UniOp  ->  T  e.  LinOp
)
2 lnopf 22553 . . . . 5  |-  ( T  e.  LinOp  ->  T : ~H
--> ~H )
31, 2syl 15 . . . 4  |-  ( T  e.  UniOp  ->  T : ~H
--> ~H )
4 nmopval 22550 . . . 4  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  (
normop `  T )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
53, 4syl 15 . . 3  |-  ( T  e.  UniOp  ->  ( normop `  T
)  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) } ,  RR* ,  <  ) )
65adantl 452 . 2  |-  ( ( ~H  =/=  0H  /\  T  e.  UniOp )  -> 
( normop `  T )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
7 nmopsetretHIL 22558 . . . . . . 7  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) }  C_  RR )
8 ressxr 8966 . . . . . . 7  |-  RR  C_  RR*
97, 8syl6ss 3267 . . . . . 6  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) }  C_  RR* )
103, 9syl 15 . . . . 5  |-  ( T  e.  UniOp  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } 
C_  RR* )
1110adantl 452 . . . 4  |-  ( ( ~H  =/=  0H  /\  T  e.  UniOp )  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) }  C_  RR* )
12 1re 8927 . . . . 5  |-  1  e.  RR
13 rexr 8967 . . . . 5  |-  ( 1  e.  RR  ->  1  e.  RR* )
1412, 13ax-mp 8 . . . 4  |-  1  e.  RR*
1511, 14jctir 524 . . 3  |-  ( ( ~H  =/=  0H  /\  T  e.  UniOp )  -> 
( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } 
C_  RR*  /\  1  e. 
RR* ) )
16 vex 2867 . . . . . . 7  |-  z  e. 
_V
17 eqeq1 2364 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  ( normh `  ( T `  y
) )  <->  z  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) )
1817anbi2d 684 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) )  <->  ( ( normh `  y )  <_ 
1  /\  z  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) ) )
1918rexbidv 2640 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  ( E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) )  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  z  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) ) )
2016, 19elab 2990 . . . . . 6  |-  ( z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) }  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  z  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) )
21 unopnorm 22611 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  y  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( T `  y ) )  =  ( normh `  y )
)
2221eqeq2d 2369 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  y  e.  ~H )  ->  (
z  =  ( normh `  ( T `  y
) )  <->  z  =  ( normh `  y )
) )
2322anbi2d 684 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  z  =  ( normh `  ( T `  y
) ) )  <->  ( ( normh `  y )  <_ 
1  /\  z  =  ( normh `  y )
) ) )
24 breq1 4107 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( normh `  y
)  ->  ( z  <_  1  <->  ( normh `  y
)  <_  1 ) )
2524biimparc 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( normh `  y )  <_  1  /\  z  =  ( normh `  y )
)  ->  z  <_  1 )
2623, 25syl6bi 219 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  z  =  ( normh `  ( T `  y
) ) )  -> 
z  <_  1 ) )
2726rexlimdva 2743 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  UniOp  ->  ( E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  z  =  ( normh `  ( T `  y ) ) )  ->  z  <_  1
) )
2827imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  z  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) )  ->  z  <_  1 )
2920, 28sylan2b 461 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) } )  ->  z  <_  1 )
3029ralrimiva 2702 . . . 4  |-  ( T  e.  UniOp  ->  A. z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) } z  <_  1
)
3130adantl 452 . . 3  |-  ( ( ~H  =/=  0H  /\  T  e.  UniOp )  ->  A. z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } z  <_  1 )
32 hne0 22240 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ~H  =/=  0H  <->  E. y  e.  ~H  y  =/=  0h )
33 norm1hex 21944 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y  e.  ~H  y  =/=  0h  <->  E. y  e.  ~H  ( normh `  y )  =  1 )
3432, 33bitri 240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ~H  =/=  0H  <->  E. y  e.  ~H  ( normh `  y
)  =  1 )
3534biimpi 186 . . . . . . . . . 10  |-  ( ~H  =/=  0H  ->  E. y  e.  ~H  ( normh `  y
)  =  1 )
3635adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ~H  =/=  0H  /\  T  e.  UniOp )  ->  E. y  e.  ~H  ( normh `  y )  =  1 )
37 1le1 9486 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  <_  1
38 breq1 4107 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
normh `  y )  =  1  ->  ( ( normh `  y )  <_ 
1  <->  1  <_  1
) )
3937, 38mpbiri 224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
normh `  y )  =  1  ->  ( normh `  y )  <_  1
)
4039a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( normh `  y )  =  1  ->  ( normh `  y )  <_ 
1 ) )
4121adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T  e.  UniOp  /\  y  e.  ~H )  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
( normh `  ( T `  y ) )  =  ( normh `  y )
)
42 eqeq2 2367 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
normh `  y )  =  1  ->  ( ( normh `  ( T `  y ) )  =  ( normh `  y )  <->  (
normh `  ( T `  y ) )  =  1 ) )
4342adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T  e.  UniOp  /\  y  e.  ~H )  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
( ( normh `  ( T `  y )
)  =  ( normh `  y )  <->  ( normh `  ( T `  y
) )  =  1 ) )
4441, 43mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T  e.  UniOp  /\  y  e.  ~H )  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
( normh `  ( T `  y ) )  =  1 )
4544eqcomd 2363 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  e.  UniOp  /\  y  e.  ~H )  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
1  =  ( normh `  ( T `  y
) ) )
4645ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( normh `  y )  =  1  ->  1  =  ( normh `  ( T `  y )
) ) )
4740, 46jcad 519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( normh `  y )  =  1  ->  (
( normh `  y )  <_  1  /\  1  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) ) )
4847adantll 694 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ~H  =/=  0H  /\  T  e.  UniOp )  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( normh `  y
)  =  1  -> 
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  1  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) ) )
4948reximdva 2731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ~H  =/=  0H  /\  T  e.  UniOp )  -> 
( E. y  e. 
~H  ( normh `  y
)  =  1  ->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  1  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) ) )
5036, 49mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ~H  =/=  0H  /\  T  e.  UniOp )  ->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  1  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) )
51 1ex 8923 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  _V
52 eqeq1 2364 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  1  ->  (
x  =  ( normh `  ( T `  y
) )  <->  1  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) )
5352anbi2d 684 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  1  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) )  <->  ( ( normh `  y )  <_ 
1  /\  1  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) ) )
5453rexbidv 2640 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  1  ->  ( E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) )  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  1  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) ) )
5551, 54elab 2990 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) }  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  1  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) )
5650, 55sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( ( ~H  =/=  0H  /\  T  e.  UniOp )  -> 
1  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } )
5756adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( ~H  =/=  0H  /\  T  e.  UniOp )  /\  z  e.  RR )  ->  1  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } )
58 breq2 4108 . . . . . . 7  |-  ( w  =  1  ->  (
z  <  w  <->  z  <  1 ) )
5958rspcev 2960 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) }  /\  z  <  1
)  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) } z  <  w
)
6057, 59sylan 457 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ~H  =/=  0H 
/\  T  e.  UniOp )  /\  z  e.  RR )  /\  z  <  1
)  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) } z  <  w
)
6160ex 423 . . . 4  |-  ( ( ( ~H  =/=  0H  /\  T  e.  UniOp )  /\  z  e.  RR )  ->  ( z  <  1  ->  E. w  e.  {
x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) } z  <  w
) )
6261ralrimiva 2702 . . 3  |-  ( ( ~H  =/=  0H  /\  T  e.  UniOp )  ->  A. z  e.  RR  ( z  <  1  ->  E. w  e.  {
x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) } z  <  w
) )
63 supxr2 10724 . . 3  |-  ( ( ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } 
C_  RR*  /\  1  e. 
RR* )  /\  ( A. z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } z  <_  1  /\  A. z  e.  RR  (
z  <  1  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } z  <  w ) ) )  ->  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  =  1 )
6415, 31, 62, 63syl12anc 1180 . 2  |-  ( ( ~H  =/=  0H  /\  T  e.  UniOp )  ->  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )  =  1 )
656, 64eqtrd 2390 1  |-  ( ( ~H  =/=  0H  /\  T  e.  UniOp )  -> 
( normop `  T )  =  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   {cab 2344    =/= wne 2521   A.wral 2619   E.wrex 2620    C_ wss 3228   class class class wbr 4104   -->wf 5333   ` cfv 5337   supcsup 7283   RRcr 8826   1c1 8828   RR*cxr 8956    < clt 8957    <_ cle 8958   ~Hchil 21613   normhcno 21617   0hc0v 21618   0Hc0h 21629   normopcnop 21639   LinOpclo 21641   UniOpcuo 21643
This theorem is referenced by:  unopbd  22709  unierri  22798
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-pre-sup 8905  ax-hilex 21693  ax-hfvadd 21694  ax-hvcom 21695  ax-hvass 21696  ax-hv0cl 21697  ax-hvaddid 21698  ax-hfvmul 21699  ax-hvmulid 21700  ax-hvmulass 21701  ax-hvdistr1 21702  ax-hvdistr2 21703  ax-hvmul0 21704  ax-hfi 21772  ax-his1 21775  ax-his2 21776  ax-his3 21777  ax-his4 21778
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-er 6747  df-map 6862  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-sup 7284  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-4 9896  df-n0 10058  df-z 10117  df-uz 10323  df-rp 10447  df-seq 11139  df-exp 11198  df-cj 11680  df-re 11681  df-im 11682  df-sqr 11816  df-abs 11817  df-grpo 20970  df-gid 20971  df-ablo 21061  df-vc 21216  df-nv 21262  df-va 21265  df-ba 21266  df-sm 21267  df-0v 21268  df-nmcv 21270  df-hnorm 21662  df-hba 21663  df-hvsub 21665  df-hlim 21666  df-sh 21900  df-ch 21915  df-ch0 21946  df-nmop 22533  df-lnop 22535  df-unop 22537
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