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Theorem nmopun 23474
Description: Norm of a unitary Hilbert space operator. (Contributed by NM, 25-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmopun  |-  ( ( ~H  =/=  0H  /\  T  e.  UniOp )  -> 
( normop `  T )  =  1 )

Proof of Theorem nmopun
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unoplin 23380 . . . . 5  |-  ( T  e.  UniOp  ->  T  e.  LinOp
)
2 lnopf 23319 . . . . 5  |-  ( T  e.  LinOp  ->  T : ~H
--> ~H )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( T  e.  UniOp  ->  T : ~H
--> ~H )
4 nmopval 23316 . . . 4  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  (
normop `  T )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
53, 4syl 16 . . 3  |-  ( T  e.  UniOp  ->  ( normop `  T
)  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) } ,  RR* ,  <  ) )
65adantl 453 . 2  |-  ( ( ~H  =/=  0H  /\  T  e.  UniOp )  -> 
( normop `  T )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
7 nmopsetretHIL 23324 . . . . . . 7  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) }  C_  RR )
8 ressxr 9089 . . . . . . 7  |-  RR  C_  RR*
97, 8syl6ss 3324 . . . . . 6  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) }  C_  RR* )
103, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( T  e.  UniOp  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } 
C_  RR* )
1110adantl 453 . . . 4  |-  ( ( ~H  =/=  0H  /\  T  e.  UniOp )  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) }  C_  RR* )
12 1re 9050 . . . . 5  |-  1  e.  RR
1312rexri 9097 . . . 4  |-  1  e.  RR*
1411, 13jctir 525 . . 3  |-  ( ( ~H  =/=  0H  /\  T  e.  UniOp )  -> 
( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } 
C_  RR*  /\  1  e. 
RR* ) )
15 vex 2923 . . . . . . 7  |-  z  e. 
_V
16 eqeq1 2414 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  ( normh `  ( T `  y
) )  <->  z  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) )
1716anbi2d 685 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) )  <->  ( ( normh `  y )  <_ 
1  /\  z  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) ) )
1817rexbidv 2691 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  ( E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) )  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  z  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) ) )
1915, 18elab 3046 . . . . . 6  |-  ( z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) }  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  z  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) )
20 unopnorm 23377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  y  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( T `  y ) )  =  ( normh `  y )
)
2120eqeq2d 2419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  y  e.  ~H )  ->  (
z  =  ( normh `  ( T `  y
) )  <->  z  =  ( normh `  y )
) )
2221anbi2d 685 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  z  =  ( normh `  ( T `  y
) ) )  <->  ( ( normh `  y )  <_ 
1  /\  z  =  ( normh `  y )
) ) )
23 breq1 4179 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( normh `  y
)  ->  ( z  <_  1  <->  ( normh `  y
)  <_  1 ) )
2423biimparc 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( normh `  y )  <_  1  /\  z  =  ( normh `  y )
)  ->  z  <_  1 )
2522, 24syl6bi 220 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  z  =  ( normh `  ( T `  y
) ) )  -> 
z  <_  1 ) )
2625rexlimdva 2794 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  UniOp  ->  ( E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  z  =  ( normh `  ( T `  y ) ) )  ->  z  <_  1
) )
2726imp 419 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  z  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) )  ->  z  <_  1 )
2819, 27sylan2b 462 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) } )  ->  z  <_  1 )
2928ralrimiva 2753 . . . 4  |-  ( T  e.  UniOp  ->  A. z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) } z  <_  1
)
3029adantl 453 . . 3  |-  ( ( ~H  =/=  0H  /\  T  e.  UniOp )  ->  A. z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } z  <_  1 )
31 hne0 23006 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ~H  =/=  0H  <->  E. y  e.  ~H  y  =/=  0h )
32 norm1hex 22710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y  e.  ~H  y  =/=  0h  <->  E. y  e.  ~H  ( normh `  y )  =  1 )
3331, 32bitri 241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ~H  =/=  0H  <->  E. y  e.  ~H  ( normh `  y
)  =  1 )
3433biimpi 187 . . . . . . . . . 10  |-  ( ~H  =/=  0H  ->  E. y  e.  ~H  ( normh `  y
)  =  1 )
3534adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ~H  =/=  0H  /\  T  e.  UniOp )  ->  E. y  e.  ~H  ( normh `  y )  =  1 )
36 1le1 9610 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  <_  1
37 breq1 4179 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
normh `  y )  =  1  ->  ( ( normh `  y )  <_ 
1  <->  1  <_  1
) )
3836, 37mpbiri 225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
normh `  y )  =  1  ->  ( normh `  y )  <_  1
)
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( normh `  y )  =  1  ->  ( normh `  y )  <_ 
1 ) )
4020adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T  e.  UniOp  /\  y  e.  ~H )  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
( normh `  ( T `  y ) )  =  ( normh `  y )
)
41 eqeq2 2417 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
normh `  y )  =  1  ->  ( ( normh `  ( T `  y ) )  =  ( normh `  y )  <->  (
normh `  ( T `  y ) )  =  1 ) )
4241adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T  e.  UniOp  /\  y  e.  ~H )  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
( ( normh `  ( T `  y )
)  =  ( normh `  y )  <->  ( normh `  ( T `  y
) )  =  1 ) )
4340, 42mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T  e.  UniOp  /\  y  e.  ~H )  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
( normh `  ( T `  y ) )  =  1 )
4443eqcomd 2413 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  e.  UniOp  /\  y  e.  ~H )  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
1  =  ( normh `  ( T `  y
) ) )
4544ex 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( normh `  y )  =  1  ->  1  =  ( normh `  ( T `  y )
) ) )
4639, 45jcad 520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( normh `  y )  =  1  ->  (
( normh `  y )  <_  1  /\  1  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) ) )
4746adantll 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ~H  =/=  0H  /\  T  e.  UniOp )  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( normh `  y
)  =  1  -> 
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  1  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) ) )
4847reximdva 2782 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ~H  =/=  0H  /\  T  e.  UniOp )  -> 
( E. y  e. 
~H  ( normh `  y
)  =  1  ->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  1  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) ) )
4935, 48mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ~H  =/=  0H  /\  T  e.  UniOp )  ->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  1  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) )
50 1ex 9046 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  _V
51 eqeq1 2414 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  1  ->  (
x  =  ( normh `  ( T `  y
) )  <->  1  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) )
5251anbi2d 685 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  1  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) )  <->  ( ( normh `  y )  <_ 
1  /\  1  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) ) )
5352rexbidv 2691 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  1  ->  ( E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) )  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  1  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) ) )
5450, 53elab 3046 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) }  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  1  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) )
5549, 54sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( ( ~H  =/=  0H  /\  T  e.  UniOp )  -> 
1  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } )
5655adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ~H  =/=  0H  /\  T  e.  UniOp )  /\  z  e.  RR )  ->  1  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } )
57 breq2 4180 . . . . . . 7  |-  ( w  =  1  ->  (
z  <  w  <->  z  <  1 ) )
5857rspcev 3016 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) }  /\  z  <  1
)  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) } z  <  w
)
5956, 58sylan 458 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ~H  =/=  0H 
/\  T  e.  UniOp )  /\  z  e.  RR )  /\  z  <  1
)  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) } z  <  w
)
6059ex 424 . . . 4  |-  ( ( ( ~H  =/=  0H  /\  T  e.  UniOp )  /\  z  e.  RR )  ->  ( z  <  1  ->  E. w  e.  {
x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) } z  <  w
) )
6160ralrimiva 2753 . . 3  |-  ( ( ~H  =/=  0H  /\  T  e.  UniOp )  ->  A. z  e.  RR  ( z  <  1  ->  E. w  e.  {
x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) } z  <  w
) )
62 supxr2 10852 . . 3  |-  ( ( ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } 
C_  RR*  /\  1  e. 
RR* )  /\  ( A. z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } z  <_  1  /\  A. z  e.  RR  (
z  <  1  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } z  <  w ) ) )  ->  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  =  1 )
6314, 30, 61, 62syl12anc 1182 . 2  |-  ( ( ~H  =/=  0H  /\  T  e.  UniOp )  ->  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )  =  1 )
646, 63eqtrd 2440 1  |-  ( ( ~H  =/=  0H  /\  T  e.  UniOp )  -> 
( normop `  T )  =  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   {cab 2394    =/= wne 2571   A.wral 2670   E.wrex 2671    C_ wss 3284   class class class wbr 4176   -->wf 5413   ` cfv 5417   supcsup 7407   RRcr 8949   1c1 8951   RR*cxr 9079    < clt 9080    <_ cle 9081   ~Hchil 22379   normhcno 22383   0hc0v 22384   0Hc0h 22395   normopcnop 22405   LinOpclo 22407   UniOpcuo 22409
This theorem is referenced by:  unopbd  23475  unierri  23564
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-pre-sup 9028  ax-hilex 22459  ax-hfvadd 22460  ax-hvcom 22461  ax-hvass 22462  ax-hv0cl 22463  ax-hvaddid 22464  ax-hfvmul 22465  ax-hvmulid 22466  ax-hvmulass 22467  ax-hvdistr1 22468  ax-hvdistr2 22469  ax-hvmul0 22470  ax-hfi 22538  ax-his1 22541  ax-his2 22542  ax-his3 22543  ax-his4 22544
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-er 6868  df-map 6983  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-sup 7408  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-4 10020  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-rp 10573  df-seq 11283  df-exp 11342  df-cj 11863  df-re 11864  df-im 11865  df-sqr 11999  df-abs 12000  df-grpo 21736  df-gid 21737  df-ablo 21827  df-vc 21982  df-nv 22028  df-va 22031  df-ba 22032  df-sm 22033  df-0v 22034  df-nmcv 22036  df-hnorm 22428  df-hba 22429  df-hvsub 22431  df-hlim 22432  df-sh 22666  df-ch 22681  df-ch0 22712  df-nmop 23299  df-lnop 23301  df-unop 23303
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