MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmosetn0 Unicode version

Theorem nmosetn0 21343
Description: The set in the supremum of the operator norm definition df-nmoo 21323 is nonempty. (Contributed by NM, 8-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmosetn0.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nmosetn0.5  |-  Z  =  ( 0vec `  U
)
nmosetn0.4  |-  M  =  ( normCV `  U )
Assertion
Ref Expression
nmosetn0  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( N `  ( T `  Z ) )  e.  { x  |  E. y  e.  X  ( ( M `  y )  <_  1  /\  x  =  ( N `  ( T `  y ) ) ) } )
Distinct variable groups:    x, y, M    x, N, y    x, T, y    x, X, y   
x, Z, y
Allowed substitution hints:    U( x, y)

Proof of Theorem nmosetn0
StepHypRef Expression
1 nmosetn0.1 . . . 4  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 nmosetn0.5 . . . 4  |-  Z  =  ( 0vec `  U
)
31, 2nvzcl 21192 . . 3  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  Z  e.  X
)
4 nmosetn0.4 . . . . . 6  |-  M  =  ( normCV `  U )
52, 4nvz0 21234 . . . . 5  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( M `  Z )  =  0 )
6 0le1 9297 . . . . 5  |-  0  <_  1
75, 6syl6eqbr 4060 . . . 4  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( M `  Z )  <_  1
)
8 eqid 2283 . . . 4  |-  ( N `
 ( T `  Z ) )  =  ( N `  ( T `  Z )
)
97, 8jctir 524 . . 3  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( ( M `
 Z )  <_ 
1  /\  ( N `  ( T `  Z
) )  =  ( N `  ( T `
 Z ) ) ) )
10 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( y  =  Z  ->  ( M `  y )  =  ( M `  Z ) )
1110breq1d 4033 . . . . 5  |-  ( y  =  Z  ->  (
( M `  y
)  <_  1  <->  ( M `  Z )  <_  1
) )
12 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( y  =  Z  ->  ( T `  y )  =  ( T `  Z ) )
1312fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( y  =  Z  ->  ( N `  ( T `  y ) )  =  ( N `  ( T `  Z )
) )
1413eqeq2d 2294 . . . . 5  |-  ( y  =  Z  ->  (
( N `  ( T `  Z )
)  =  ( N `
 ( T `  y ) )  <->  ( N `  ( T `  Z
) )  =  ( N `  ( T `
 Z ) ) ) )
1511, 14anbi12d 691 . . . 4  |-  ( y  =  Z  ->  (
( ( M `  y )  <_  1  /\  ( N `  ( T `  Z )
)  =  ( N `
 ( T `  y ) ) )  <-> 
( ( M `  Z )  <_  1  /\  ( N `  ( T `  Z )
)  =  ( N `
 ( T `  Z ) ) ) ) )
1615rspcev 2884 . . 3  |-  ( ( Z  e.  X  /\  ( ( M `  Z )  <_  1  /\  ( N `  ( T `  Z )
)  =  ( N `
 ( T `  Z ) ) ) )  ->  E. y  e.  X  ( ( M `  y )  <_  1  /\  ( N `
 ( T `  Z ) )  =  ( N `  ( T `  y )
) ) )
173, 9, 16syl2anc 642 . 2  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  E. y  e.  X  ( ( M `  y )  <_  1  /\  ( N `  ( T `  Z )
)  =  ( N `
 ( T `  y ) ) ) )
18 fvex 5539 . . 3  |-  ( N `
 ( T `  Z ) )  e. 
_V
19 eqeq1 2289 . . . . 5  |-  ( x  =  ( N `  ( T `  Z ) )  ->  ( x  =  ( N `  ( T `  y ) )  <->  ( N `  ( T `  Z ) )  =  ( N `
 ( T `  y ) ) ) )
2019anbi2d 684 . . . 4  |-  ( x  =  ( N `  ( T `  Z ) )  ->  ( (
( M `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( N `  ( T `  y
) ) )  <->  ( ( M `  y )  <_  1  /\  ( N `
 ( T `  Z ) )  =  ( N `  ( T `  y )
) ) ) )
2120rexbidv 2564 . . 3  |-  ( x  =  ( N `  ( T `  Z ) )  ->  ( E. y  e.  X  (
( M `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( N `  ( T `  y
) ) )  <->  E. y  e.  X  ( ( M `  y )  <_  1  /\  ( N `
 ( T `  Z ) )  =  ( N `  ( T `  y )
) ) ) )
2218, 21elab 2914 . 2  |-  ( ( N `  ( T `
 Z ) )  e.  { x  |  E. y  e.  X  ( ( M `  y )  <_  1  /\  x  =  ( N `  ( T `  y ) ) ) }  <->  E. y  e.  X  ( ( M `  y )  <_  1  /\  ( N `  ( T `  Z )
)  =  ( N `
 ( T `  y ) ) ) )
2317, 22sylibr 203 1  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( N `  ( T `  Z ) )  e.  { x  |  E. y  e.  X  ( ( M `  y )  <_  1  /\  x  =  ( N `  ( T `  y ) ) ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   E.wrex 2544   class class class wbr 4023   ` cfv 5255   0cc0 8737   1c1 8738    <_ cle 8868   NrmCVeccnv 21140   BaseSetcba 21142   0veccn0v 21144   normCVcnmcv 21146
This theorem is referenced by:  nmooge0  21345  nmorepnf  21346
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-grpo 20858  df-gid 20859  df-ginv 20860  df-ablo 20949  df-vc 21102  df-nv 21148  df-va 21151  df-ba 21152  df-sm 21153  df-0v 21154  df-nmcv 21156
  Copyright terms: Public domain W3C validator