MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmosetn0 Structured version   Unicode version

Theorem nmosetn0 22266
Description: The set in the supremum of the operator norm definition df-nmoo 22246 is nonempty. (Contributed by NM, 8-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmosetn0.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nmosetn0.5  |-  Z  =  ( 0vec `  U
)
nmosetn0.4  |-  M  =  ( normCV `  U )
Assertion
Ref Expression
nmosetn0  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( N `  ( T `  Z ) )  e.  { x  |  E. y  e.  X  ( ( M `  y )  <_  1  /\  x  =  ( N `  ( T `  y ) ) ) } )
Distinct variable groups:    x, y, M    x, N, y    x, T, y    x, X, y   
x, Z, y
Allowed substitution hints:    U( x, y)

Proof of Theorem nmosetn0
StepHypRef Expression
1 nmosetn0.1 . . . 4  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 nmosetn0.5 . . . 4  |-  Z  =  ( 0vec `  U
)
31, 2nvzcl 22115 . . 3  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  Z  e.  X
)
4 nmosetn0.4 . . . . . 6  |-  M  =  ( normCV `  U )
52, 4nvz0 22157 . . . . 5  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( M `  Z )  =  0 )
6 0le1 9551 . . . . 5  |-  0  <_  1
75, 6syl6eqbr 4249 . . . 4  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( M `  Z )  <_  1
)
8 eqid 2436 . . . 4  |-  ( N `
 ( T `  Z ) )  =  ( N `  ( T `  Z )
)
97, 8jctir 525 . . 3  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( ( M `
 Z )  <_ 
1  /\  ( N `  ( T `  Z
) )  =  ( N `  ( T `
 Z ) ) ) )
10 fveq2 5728 . . . . . 6  |-  ( y  =  Z  ->  ( M `  y )  =  ( M `  Z ) )
1110breq1d 4222 . . . . 5  |-  ( y  =  Z  ->  (
( M `  y
)  <_  1  <->  ( M `  Z )  <_  1
) )
12 fveq2 5728 . . . . . . 7  |-  ( y  =  Z  ->  ( T `  y )  =  ( T `  Z ) )
1312fveq2d 5732 . . . . . 6  |-  ( y  =  Z  ->  ( N `  ( T `  y ) )  =  ( N `  ( T `  Z )
) )
1413eqeq2d 2447 . . . . 5  |-  ( y  =  Z  ->  (
( N `  ( T `  Z )
)  =  ( N `
 ( T `  y ) )  <->  ( N `  ( T `  Z
) )  =  ( N `  ( T `
 Z ) ) ) )
1511, 14anbi12d 692 . . . 4  |-  ( y  =  Z  ->  (
( ( M `  y )  <_  1  /\  ( N `  ( T `  Z )
)  =  ( N `
 ( T `  y ) ) )  <-> 
( ( M `  Z )  <_  1  /\  ( N `  ( T `  Z )
)  =  ( N `
 ( T `  Z ) ) ) ) )
1615rspcev 3052 . . 3  |-  ( ( Z  e.  X  /\  ( ( M `  Z )  <_  1  /\  ( N `  ( T `  Z )
)  =  ( N `
 ( T `  Z ) ) ) )  ->  E. y  e.  X  ( ( M `  y )  <_  1  /\  ( N `
 ( T `  Z ) )  =  ( N `  ( T `  y )
) ) )
173, 9, 16syl2anc 643 . 2  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  E. y  e.  X  ( ( M `  y )  <_  1  /\  ( N `  ( T `  Z )
)  =  ( N `
 ( T `  y ) ) ) )
18 fvex 5742 . . 3  |-  ( N `
 ( T `  Z ) )  e. 
_V
19 eqeq1 2442 . . . . 5  |-  ( x  =  ( N `  ( T `  Z ) )  ->  ( x  =  ( N `  ( T `  y ) )  <->  ( N `  ( T `  Z ) )  =  ( N `
 ( T `  y ) ) ) )
2019anbi2d 685 . . . 4  |-  ( x  =  ( N `  ( T `  Z ) )  ->  ( (
( M `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( N `  ( T `  y
) ) )  <->  ( ( M `  y )  <_  1  /\  ( N `
 ( T `  Z ) )  =  ( N `  ( T `  y )
) ) ) )
2120rexbidv 2726 . . 3  |-  ( x  =  ( N `  ( T `  Z ) )  ->  ( E. y  e.  X  (
( M `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( N `  ( T `  y
) ) )  <->  E. y  e.  X  ( ( M `  y )  <_  1  /\  ( N `
 ( T `  Z ) )  =  ( N `  ( T `  y )
) ) ) )
2218, 21elab 3082 . 2  |-  ( ( N `  ( T `
 Z ) )  e.  { x  |  E. y  e.  X  ( ( M `  y )  <_  1  /\  x  =  ( N `  ( T `  y ) ) ) }  <->  E. y  e.  X  ( ( M `  y )  <_  1  /\  ( N `  ( T `  Z )
)  =  ( N `
 ( T `  y ) ) ) )
2317, 22sylibr 204 1  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( N `  ( T `  Z ) )  e.  { x  |  E. y  e.  X  ( ( M `  y )  <_  1  /\  x  =  ( N `  ( T `  y ) ) ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2422   E.wrex 2706   class class class wbr 4212   ` cfv 5454   0cc0 8990   1c1 8991    <_ cle 9121   NrmCVeccnv 22063   BaseSetcba 22065   0veccn0v 22067   normCVcnmcv 22069
This theorem is referenced by:  nmooge0  22268  nmorepnf  22269
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-grpo 21779  df-gid 21780  df-ginv 21781  df-ablo 21870  df-vc 22025  df-nv 22071  df-va 22074  df-ba 22075  df-sm 22076  df-0v 22077  df-nmcv 22079
  Copyright terms: Public domain W3C validator