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Theorem nmotri 18248
Description: Triangle inequality for the operator norm. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmotri.1  |-  N  =  ( S normOp T )
nmotri.p  |-  .+  =  ( +g  `  T )
Assertion
Ref Expression
nmotri  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( N `  ( F  o F  .+  G ) )  <_ 
( ( N `  F )  +  ( N `  G ) ) )

Proof of Theorem nmotri
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmotri.1 . 2  |-  N  =  ( S normOp T )
2 eqid 2283 . 2  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
3 eqid 2283 . 2  |-  ( norm `  S )  =  (
norm `  S )
4 eqid 2283 . 2  |-  ( norm `  T )  =  (
norm `  T )
5 eqid 2283 . 2  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
6 nghmrcl1 18241 . . 3  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  S  e. NrmGrp )
763ad2ant2 977 . 2  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  S  e. NrmGrp )
8 nghmrcl2 18242 . . 3  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  T  e. NrmGrp )
983ad2ant2 977 . 2  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  T  e. NrmGrp )
10 id 19 . . 3  |-  ( T  e.  Abel  ->  T  e. 
Abel )
11 nghmghm 18243 . . 3  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )
12 nghmghm 18243 . . 3  |-  ( G  e.  ( S NGHom  T
)  ->  G  e.  ( S  GrpHom  T ) )
13 nmotri.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  T )
1413ghmplusg 15138 . . 3  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  G  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( F  o F  .+  G )  e.  ( S  GrpHom  T ) )
1510, 11, 12, 14syl3an 1224 . 2  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( F  o F  .+  G )  e.  ( S  GrpHom  T ) )
161nghmcl 18236 . . . 4  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  ( N `  F )  e.  RR )
17163ad2ant2 977 . . 3  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( N `  F )  e.  RR )
181nghmcl 18236 . . . 4  |-  ( G  e.  ( S NGHom  T
)  ->  ( N `  G )  e.  RR )
19183ad2ant3 978 . . 3  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( N `  G )  e.  RR )
2017, 19readdcld 8862 . 2  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( ( N `
 F )  +  ( N `  G
) )  e.  RR )
21113ad2ant2 977 . . . 4  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )
221nmoge0 18230 . . . 4  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  0  <_  ( N `  F )
)
237, 9, 21, 22syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  0  <_  ( N `  F )
)
24123ad2ant3 978 . . . 4  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  G  e.  ( S  GrpHom  T ) )
251nmoge0 18230 . . . 4  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  G  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  0  <_  ( N `  G )
)
267, 9, 24, 25syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  0  <_  ( N `  G )
)
2717, 19, 23, 26addge0d 9348 . 2  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  0  <_  (
( N `  F
)  +  ( N `
 G ) ) )
289adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  T  e. NrmGrp )
29 ngpgrp 18121 . . . . . . 7  |-  ( T  e. NrmGrp  ->  T  e.  Grp )
3028, 29syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  T  e.  Grp )
3121adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )
32 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  T )  =  (
Base `  T )
332, 32ghmf 14687 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  F :
( Base `  S ) --> ( Base `  T )
)
3431, 33syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  F : ( Base `  S
) --> ( Base `  T
) )
35 simprl 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  S
) )
36 ffvelrn 5663 . . . . . . 7  |-  ( ( F : ( Base `  S ) --> ( Base `  T )  /\  x  e.  ( Base `  S
) )  ->  ( F `  x )  e.  ( Base `  T
) )
3734, 35, 36syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  ( Base `  T
) )
3824adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  G  e.  ( S  GrpHom  T ) )
392, 32ghmf 14687 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  G :
( Base `  S ) --> ( Base `  T )
)
4038, 39syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  G : ( Base `  S
) --> ( Base `  T
) )
41 ffvelrn 5663 . . . . . . 7  |-  ( ( G : ( Base `  S ) --> ( Base `  T )  /\  x  e.  ( Base `  S
) )  ->  ( G `  x )  e.  ( Base `  T
) )
4240, 35, 41syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  ( G `  x )  e.  ( Base `  T
) )
4332, 13grpcl 14495 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  Grp  /\  ( F `  x )  e.  ( Base `  T
)  /\  ( G `  x )  e.  (
Base `  T )
)  ->  ( ( F `  x )  .+  ( G `  x
) )  e.  (
Base `  T )
)
4430, 37, 42, 43syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( F `  x
)  .+  ( G `  x ) )  e.  ( Base `  T
) )
4532, 4nmcl 18137 . . . . 5  |-  ( ( T  e. NrmGrp  /\  (
( F `  x
)  .+  ( G `  x ) )  e.  ( Base `  T
) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( ( F `  x )  .+  ( G `  x )
) )  e.  RR )
4628, 44, 45syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( ( F `  x )  .+  ( G `  x )
) )  e.  RR )
4732, 4nmcl 18137 . . . . . 6  |-  ( ( T  e. NrmGrp  /\  ( F `  x )  e.  ( Base `  T
) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( F `  x
) )  e.  RR )
4828, 37, 47syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( F `  x
) )  e.  RR )
4932, 4nmcl 18137 . . . . . 6  |-  ( ( T  e. NrmGrp  /\  ( G `  x )  e.  ( Base `  T
) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( G `  x
) )  e.  RR )
5028, 42, 49syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( G `  x
) )  e.  RR )
5148, 50readdcld 8862 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( ( norm `  T
) `  ( F `  x ) )  +  ( ( norm `  T
) `  ( G `  x ) ) )  e.  RR )
5217adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  ( N `  F )  e.  RR )
53 simpl 443 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) )  ->  x  e.  ( Base `  S
) )
542, 3nmcl 18137 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  x  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( norm `  S ) `  x )  e.  RR )
557, 53, 54syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( norm `  S ) `  x )  e.  RR )
5652, 55remulcld 8863 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( N `  F
)  x.  ( (
norm `  S ) `  x ) )  e.  RR )
5719adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  ( N `  G )  e.  RR )
5857, 55remulcld 8863 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( N `  G
)  x.  ( (
norm `  S ) `  x ) )  e.  RR )
5956, 58readdcld 8862 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( ( N `  F )  x.  (
( norm `  S ) `  x ) )  +  ( ( N `  G )  x.  (
( norm `  S ) `  x ) ) )  e.  RR )
6032, 4, 13nmtri 18147 . . . . 5  |-  ( ( T  e. NrmGrp  /\  ( F `  x )  e.  ( Base `  T
)  /\  ( G `  x )  e.  (
Base `  T )
)  ->  ( ( norm `  T ) `  ( ( F `  x )  .+  ( G `  x )
) )  <_  (
( ( norm `  T
) `  ( F `  x ) )  +  ( ( norm `  T
) `  ( G `  x ) ) ) )
6128, 37, 42, 60syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( ( F `  x )  .+  ( G `  x )
) )  <_  (
( ( norm `  T
) `  ( F `  x ) )  +  ( ( norm `  T
) `  ( G `  x ) ) ) )
62 simpl2 959 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  F  e.  ( S NGHom  T ) )
631, 2, 3, 4nmoi 18237 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  x  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( F `  x
) )  <_  (
( N `  F
)  x.  ( (
norm `  S ) `  x ) ) )
6462, 35, 63syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( F `  x
) )  <_  (
( N `  F
)  x.  ( (
norm `  S ) `  x ) ) )
65 simpl3 960 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  G  e.  ( S NGHom  T ) )
661, 2, 3, 4nmoi 18237 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  ( S NGHom 
T )  /\  x  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( G `  x
) )  <_  (
( N `  G
)  x.  ( (
norm `  S ) `  x ) ) )
6765, 35, 66syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( G `  x
) )  <_  (
( N `  G
)  x.  ( (
norm `  S ) `  x ) ) )
6848, 50, 56, 58, 64, 67le2addd 9390 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( ( norm `  T
) `  ( F `  x ) )  +  ( ( norm `  T
) `  ( G `  x ) ) )  <_  ( ( ( N `  F )  x.  ( ( norm `  S ) `  x
) )  +  ( ( N `  G
)  x.  ( (
norm `  S ) `  x ) ) ) )
6946, 51, 59, 61, 68letrd 8973 . . 3  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( ( F `  x )  .+  ( G `  x )
) )  <_  (
( ( N `  F )  x.  (
( norm `  S ) `  x ) )  +  ( ( N `  G )  x.  (
( norm `  S ) `  x ) ) ) )
70 ffn 5389 . . . . . 6  |-  ( F : ( Base `  S
) --> ( Base `  T
)  ->  F  Fn  ( Base `  S )
)
7134, 70syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  F  Fn  ( Base `  S
) )
72 ffn 5389 . . . . . 6  |-  ( G : ( Base `  S
) --> ( Base `  T
)  ->  G  Fn  ( Base `  S )
)
7340, 72syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  G  Fn  ( Base `  S
) )
74 fvex 5539 . . . . . 6  |-  ( Base `  S )  e.  _V
7574a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  ( Base `  S )  e. 
_V )
76 fnfvof 6090 . . . . 5  |-  ( ( ( F  Fn  ( Base `  S )  /\  G  Fn  ( Base `  S ) )  /\  ( ( Base `  S
)  e.  _V  /\  x  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( ( F  o F  .+  G
) `  x )  =  ( ( F `
 x )  .+  ( G `  x ) ) )
7771, 73, 75, 35, 76syl22anc 1183 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( F  o F 
.+  G ) `  x )  =  ( ( F `  x
)  .+  ( G `  x ) ) )
7877fveq2d 5529 . . 3  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( ( F  o F  .+  G ) `  x ) )  =  ( ( norm `  T
) `  ( ( F `  x )  .+  ( G `  x
) ) ) )
7952recnd 8861 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  ( N `  F )  e.  CC )
8057recnd 8861 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  ( N `  G )  e.  CC )
8155recnd 8861 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( norm `  S ) `  x )  e.  CC )
8279, 80, 81adddird 8860 . . 3  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( ( N `  F )  +  ( N `  G ) )  x.  ( (
norm `  S ) `  x ) )  =  ( ( ( N `
 F )  x.  ( ( norm `  S
) `  x )
)  +  ( ( N `  G )  x.  ( ( norm `  S ) `  x
) ) ) )
8369, 78, 823brtr4d 4053 . 2  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( ( F  o F  .+  G ) `  x ) )  <_ 
( ( ( N `
 F )  +  ( N `  G
) )  x.  (
( norm `  S ) `  x ) ) )
841, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 15, 20, 27, 83nmolb2d 18227 1  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( N `  ( F  o F  .+  G ) )  <_ 
( ( N `  F )  +  ( N `  G ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   _Vcvv 2788   class class class wbr 4023    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Fcof 6076   RRcr 8736   0cc0 8737    + caddc 8740    x. cmul 8742    <_ cle 8868   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   0gc0g 13400   Grpcgrp 14362    GrpHom cghm 14680   Abelcabel 15090   normcnm 18099  NrmGrpcngp 18100   normOpcnmo 18214   NGHom cnghm 18215
This theorem is referenced by:  nghmplusg  18249
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ico 10662  df-topgen 13344  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-ghm 14681  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-xms 17885  df-ms 17886  df-nm 18105  df-ngp 18106  df-nmo 18217  df-nghm 18218
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