Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmotri Unicode version

Theorem nmotri 18264
 Description: Triangle inequality for the operator norm. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmotri.1
nmotri.p
Assertion
Ref Expression
nmotri NGHom NGHom

Proof of Theorem nmotri
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmotri.1 . 2
2 eqid 2296 . 2
3 eqid 2296 . 2
4 eqid 2296 . 2
5 eqid 2296 . 2
6 nghmrcl1 18257 . . 3 NGHom NrmGrp
763ad2ant2 977 . 2 NGHom NGHom NrmGrp
8 nghmrcl2 18258 . . 3 NGHom NrmGrp
983ad2ant2 977 . 2 NGHom NGHom NrmGrp
10 id 19 . . 3
11 nghmghm 18259 . . 3 NGHom
12 nghmghm 18259 . . 3 NGHom
13 nmotri.p . . . 4
1413ghmplusg 15154 . . 3
1510, 11, 12, 14syl3an 1224 . 2 NGHom NGHom
161nghmcl 18252 . . . 4 NGHom
17163ad2ant2 977 . . 3 NGHom NGHom
181nghmcl 18252 . . . 4 NGHom
19183ad2ant3 978 . . 3 NGHom NGHom
2017, 19readdcld 8878 . 2 NGHom NGHom
21113ad2ant2 977 . . . 4 NGHom NGHom
221nmoge0 18246 . . . 4 NrmGrp NrmGrp
237, 9, 21, 22syl3anc 1182 . . 3 NGHom NGHom
24123ad2ant3 978 . . . 4 NGHom NGHom
251nmoge0 18246 . . . 4 NrmGrp NrmGrp
267, 9, 24, 25syl3anc 1182 . . 3 NGHom NGHom
2717, 19, 23, 26addge0d 9364 . 2 NGHom NGHom
289adantr 451 . . . . 5 NGHom NGHom NrmGrp
29 ngpgrp 18137 . . . . . . 7 NrmGrp
3028, 29syl 15 . . . . . 6 NGHom NGHom
3121adantr 451 . . . . . . . 8 NGHom NGHom
32 eqid 2296 . . . . . . . . 9
332, 32ghmf 14703 . . . . . . . 8
3431, 33syl 15 . . . . . . 7 NGHom NGHom
35 simprl 732 . . . . . . 7 NGHom NGHom
36 ffvelrn 5679 . . . . . . 7
3734, 35, 36syl2anc 642 . . . . . 6 NGHom NGHom
3824adantr 451 . . . . . . . 8 NGHom NGHom
392, 32ghmf 14703 . . . . . . . 8
4038, 39syl 15 . . . . . . 7 NGHom NGHom
41 ffvelrn 5679 . . . . . . 7
4240, 35, 41syl2anc 642 . . . . . 6 NGHom NGHom
4332, 13grpcl 14511 . . . . . 6
4430, 37, 42, 43syl3anc 1182 . . . . 5 NGHom NGHom
4532, 4nmcl 18153 . . . . 5 NrmGrp
4628, 44, 45syl2anc 642 . . . 4 NGHom NGHom
4732, 4nmcl 18153 . . . . . 6 NrmGrp
4828, 37, 47syl2anc 642 . . . . 5 NGHom NGHom
4932, 4nmcl 18153 . . . . . 6 NrmGrp
5028, 42, 49syl2anc 642 . . . . 5 NGHom NGHom
5148, 50readdcld 8878 . . . 4 NGHom NGHom
5217adantr 451 . . . . . 6 NGHom NGHom
53 simpl 443 . . . . . . 7
542, 3nmcl 18153 . . . . . . 7 NrmGrp
557, 53, 54syl2an 463 . . . . . 6 NGHom NGHom
5652, 55remulcld 8879 . . . . 5 NGHom NGHom
5719adantr 451 . . . . . 6 NGHom NGHom
5857, 55remulcld 8879 . . . . 5 NGHom NGHom
5956, 58readdcld 8878 . . . 4 NGHom NGHom
6032, 4, 13nmtri 18163 . . . . 5 NrmGrp
6128, 37, 42, 60syl3anc 1182 . . . 4 NGHom NGHom
62 simpl2 959 . . . . . 6 NGHom NGHom NGHom
631, 2, 3, 4nmoi 18253 . . . . . 6 NGHom
6462, 35, 63syl2anc 642 . . . . 5 NGHom NGHom
65 simpl3 960 . . . . . 6 NGHom NGHom NGHom
661, 2, 3, 4nmoi 18253 . . . . . 6 NGHom
6765, 35, 66syl2anc 642 . . . . 5 NGHom NGHom
6848, 50, 56, 58, 64, 67le2addd 9406 . . . 4 NGHom NGHom
6946, 51, 59, 61, 68letrd 8989 . . 3 NGHom NGHom
70 ffn 5405 . . . . . 6
7134, 70syl 15 . . . . 5 NGHom NGHom
72 ffn 5405 . . . . . 6
7340, 72syl 15 . . . . 5 NGHom NGHom
74 fvex 5555 . . . . . 6
7574a1i 10 . . . . 5 NGHom NGHom
76 fnfvof 6106 . . . . 5
7771, 73, 75, 35, 76syl22anc 1183 . . . 4 NGHom NGHom
7877fveq2d 5545 . . 3 NGHom NGHom
7952recnd 8877 . . . 4 NGHom NGHom
8057recnd 8877 . . . 4 NGHom NGHom
8155recnd 8877 . . . 4 NGHom NGHom
8279, 80, 81adddird 8876 . . 3 NGHom NGHom
8369, 78, 823brtr4d 4069 . 2 NGHom NGHom
841, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 15, 20, 27, 83nmolb2d 18243 1 NGHom NGHom
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   w3a 934   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  cvv 2801   class class class wbr 4039   wfn 5266  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874   cof 6092  cr 8752  cc0 8753   caddc 8756   cmul 8758   cle 8884  cbs 13164   cplusg 13224  c0g 13416  cgrp 14378   cghm 14696  cabel 15106  cnm 18115  NrmGrpcngp 18116  cnmo 18230   NGHom cnghm 18231 This theorem is referenced by:  nghmplusg  18265 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ico 10678  df-topgen 13360  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-ghm 14697  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-xms 17901  df-ms 17902  df-nm 18121  df-ngp 18122  df-nmo 18233  df-nghm 18234
 Copyright terms: Public domain W3C validator