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Theorem nmotri 18264
Description: Triangle inequality for the operator norm. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmotri.1  |-  N  =  ( S normOp T )
nmotri.p  |-  .+  =  ( +g  `  T )
Assertion
Ref Expression
nmotri  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( N `  ( F  o F  .+  G ) )  <_ 
( ( N `  F )  +  ( N `  G ) ) )

Proof of Theorem nmotri
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmotri.1 . 2  |-  N  =  ( S normOp T )
2 eqid 2296 . 2  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
3 eqid 2296 . 2  |-  ( norm `  S )  =  (
norm `  S )
4 eqid 2296 . 2  |-  ( norm `  T )  =  (
norm `  T )
5 eqid 2296 . 2  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
6 nghmrcl1 18257 . . 3  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  S  e. NrmGrp )
763ad2ant2 977 . 2  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  S  e. NrmGrp )
8 nghmrcl2 18258 . . 3  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  T  e. NrmGrp )
983ad2ant2 977 . 2  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  T  e. NrmGrp )
10 id 19 . . 3  |-  ( T  e.  Abel  ->  T  e. 
Abel )
11 nghmghm 18259 . . 3  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )
12 nghmghm 18259 . . 3  |-  ( G  e.  ( S NGHom  T
)  ->  G  e.  ( S  GrpHom  T ) )
13 nmotri.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  T )
1413ghmplusg 15154 . . 3  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  G  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( F  o F  .+  G )  e.  ( S  GrpHom  T ) )
1510, 11, 12, 14syl3an 1224 . 2  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( F  o F  .+  G )  e.  ( S  GrpHom  T ) )
161nghmcl 18252 . . . 4  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  ( N `  F )  e.  RR )
17163ad2ant2 977 . . 3  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( N `  F )  e.  RR )
181nghmcl 18252 . . . 4  |-  ( G  e.  ( S NGHom  T
)  ->  ( N `  G )  e.  RR )
19183ad2ant3 978 . . 3  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( N `  G )  e.  RR )
2017, 19readdcld 8878 . 2  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( ( N `
 F )  +  ( N `  G
) )  e.  RR )
21113ad2ant2 977 . . . 4  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )
221nmoge0 18246 . . . 4  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  0  <_  ( N `  F )
)
237, 9, 21, 22syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  0  <_  ( N `  F )
)
24123ad2ant3 978 . . . 4  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  G  e.  ( S  GrpHom  T ) )
251nmoge0 18246 . . . 4  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  G  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  0  <_  ( N `  G )
)
267, 9, 24, 25syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  0  <_  ( N `  G )
)
2717, 19, 23, 26addge0d 9364 . 2  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  0  <_  (
( N `  F
)  +  ( N `
 G ) ) )
289adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  T  e. NrmGrp )
29 ngpgrp 18137 . . . . . . 7  |-  ( T  e. NrmGrp  ->  T  e.  Grp )
3028, 29syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  T  e.  Grp )
3121adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )
32 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  T )  =  (
Base `  T )
332, 32ghmf 14703 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  F :
( Base `  S ) --> ( Base `  T )
)
3431, 33syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  F : ( Base `  S
) --> ( Base `  T
) )
35 simprl 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  S
) )
36 ffvelrn 5679 . . . . . . 7  |-  ( ( F : ( Base `  S ) --> ( Base `  T )  /\  x  e.  ( Base `  S
) )  ->  ( F `  x )  e.  ( Base `  T
) )
3734, 35, 36syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  ( Base `  T
) )
3824adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  G  e.  ( S  GrpHom  T ) )
392, 32ghmf 14703 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  G :
( Base `  S ) --> ( Base `  T )
)
4038, 39syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  G : ( Base `  S
) --> ( Base `  T
) )
41 ffvelrn 5679 . . . . . . 7  |-  ( ( G : ( Base `  S ) --> ( Base `  T )  /\  x  e.  ( Base `  S
) )  ->  ( G `  x )  e.  ( Base `  T
) )
4240, 35, 41syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  ( G `  x )  e.  ( Base `  T
) )
4332, 13grpcl 14511 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  Grp  /\  ( F `  x )  e.  ( Base `  T
)  /\  ( G `  x )  e.  (
Base `  T )
)  ->  ( ( F `  x )  .+  ( G `  x
) )  e.  (
Base `  T )
)
4430, 37, 42, 43syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( F `  x
)  .+  ( G `  x ) )  e.  ( Base `  T
) )
4532, 4nmcl 18153 . . . . 5  |-  ( ( T  e. NrmGrp  /\  (
( F `  x
)  .+  ( G `  x ) )  e.  ( Base `  T
) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( ( F `  x )  .+  ( G `  x )
) )  e.  RR )
4628, 44, 45syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( ( F `  x )  .+  ( G `  x )
) )  e.  RR )
4732, 4nmcl 18153 . . . . . 6  |-  ( ( T  e. NrmGrp  /\  ( F `  x )  e.  ( Base `  T
) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( F `  x
) )  e.  RR )
4828, 37, 47syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( F `  x
) )  e.  RR )
4932, 4nmcl 18153 . . . . . 6  |-  ( ( T  e. NrmGrp  /\  ( G `  x )  e.  ( Base `  T
) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( G `  x
) )  e.  RR )
5028, 42, 49syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( G `  x
) )  e.  RR )
5148, 50readdcld 8878 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( ( norm `  T
) `  ( F `  x ) )  +  ( ( norm `  T
) `  ( G `  x ) ) )  e.  RR )
5217adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  ( N `  F )  e.  RR )
53 simpl 443 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) )  ->  x  e.  ( Base `  S
) )
542, 3nmcl 18153 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  x  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( norm `  S ) `  x )  e.  RR )
557, 53, 54syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( norm `  S ) `  x )  e.  RR )
5652, 55remulcld 8879 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( N `  F
)  x.  ( (
norm `  S ) `  x ) )  e.  RR )
5719adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  ( N `  G )  e.  RR )
5857, 55remulcld 8879 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( N `  G
)  x.  ( (
norm `  S ) `  x ) )  e.  RR )
5956, 58readdcld 8878 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( ( N `  F )  x.  (
( norm `  S ) `  x ) )  +  ( ( N `  G )  x.  (
( norm `  S ) `  x ) ) )  e.  RR )
6032, 4, 13nmtri 18163 . . . . 5  |-  ( ( T  e. NrmGrp  /\  ( F `  x )  e.  ( Base `  T
)  /\  ( G `  x )  e.  (
Base `  T )
)  ->  ( ( norm `  T ) `  ( ( F `  x )  .+  ( G `  x )
) )  <_  (
( ( norm `  T
) `  ( F `  x ) )  +  ( ( norm `  T
) `  ( G `  x ) ) ) )
6128, 37, 42, 60syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( ( F `  x )  .+  ( G `  x )
) )  <_  (
( ( norm `  T
) `  ( F `  x ) )  +  ( ( norm `  T
) `  ( G `  x ) ) ) )
62 simpl2 959 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  F  e.  ( S NGHom  T ) )
631, 2, 3, 4nmoi 18253 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  x  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( F `  x
) )  <_  (
( N `  F
)  x.  ( (
norm `  S ) `  x ) ) )
6462, 35, 63syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( F `  x
) )  <_  (
( N `  F
)  x.  ( (
norm `  S ) `  x ) ) )
65 simpl3 960 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  G  e.  ( S NGHom  T ) )
661, 2, 3, 4nmoi 18253 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  ( S NGHom 
T )  /\  x  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( G `  x
) )  <_  (
( N `  G
)  x.  ( (
norm `  S ) `  x ) ) )
6765, 35, 66syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( G `  x
) )  <_  (
( N `  G
)  x.  ( (
norm `  S ) `  x ) ) )
6848, 50, 56, 58, 64, 67le2addd 9406 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( ( norm `  T
) `  ( F `  x ) )  +  ( ( norm `  T
) `  ( G `  x ) ) )  <_  ( ( ( N `  F )  x.  ( ( norm `  S ) `  x
) )  +  ( ( N `  G
)  x.  ( (
norm `  S ) `  x ) ) ) )
6946, 51, 59, 61, 68letrd 8989 . . 3  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( ( F `  x )  .+  ( G `  x )
) )  <_  (
( ( N `  F )  x.  (
( norm `  S ) `  x ) )  +  ( ( N `  G )  x.  (
( norm `  S ) `  x ) ) ) )
70 ffn 5405 . . . . . 6  |-  ( F : ( Base `  S
) --> ( Base `  T
)  ->  F  Fn  ( Base `  S )
)
7134, 70syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  F  Fn  ( Base `  S
) )
72 ffn 5405 . . . . . 6  |-  ( G : ( Base `  S
) --> ( Base `  T
)  ->  G  Fn  ( Base `  S )
)
7340, 72syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  G  Fn  ( Base `  S
) )
74 fvex 5555 . . . . . 6  |-  ( Base `  S )  e.  _V
7574a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  ( Base `  S )  e. 
_V )
76 fnfvof 6106 . . . . 5  |-  ( ( ( F  Fn  ( Base `  S )  /\  G  Fn  ( Base `  S ) )  /\  ( ( Base `  S
)  e.  _V  /\  x  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( ( F  o F  .+  G
) `  x )  =  ( ( F `
 x )  .+  ( G `  x ) ) )
7771, 73, 75, 35, 76syl22anc 1183 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( F  o F 
.+  G ) `  x )  =  ( ( F `  x
)  .+  ( G `  x ) ) )
7877fveq2d 5545 . . 3  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( ( F  o F  .+  G ) `  x ) )  =  ( ( norm `  T
) `  ( ( F `  x )  .+  ( G `  x
) ) ) )
7952recnd 8877 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  ( N `  F )  e.  CC )
8057recnd 8877 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  ( N `  G )  e.  CC )
8155recnd 8877 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( norm `  S ) `  x )  e.  CC )
8279, 80, 81adddird 8876 . . 3  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( ( N `  F )  +  ( N `  G ) )  x.  ( (
norm `  S ) `  x ) )  =  ( ( ( N `
 F )  x.  ( ( norm `  S
) `  x )
)  +  ( ( N `  G )  x.  ( ( norm `  S ) `  x
) ) ) )
8369, 78, 823brtr4d 4069 . 2  |-  ( ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( ( F  o F  .+  G ) `  x ) )  <_ 
( ( ( N `
 F )  +  ( N `  G
) )  x.  (
( norm `  S ) `  x ) ) )
841, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 15, 20, 27, 83nmolb2d 18243 1  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( N `  ( F  o F  .+  G ) )  <_ 
( ( N `  F )  +  ( N `  G ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   _Vcvv 2801   class class class wbr 4039    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    o Fcof 6092   RRcr 8752   0cc0 8753    + caddc 8756    x. cmul 8758    <_ cle 8884   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   0gc0g 13416   Grpcgrp 14378    GrpHom cghm 14696   Abelcabel 15106   normcnm 18115  NrmGrpcngp 18116   normOpcnmo 18230   NGHom cnghm 18231
This theorem is referenced by:  nghmplusg  18265
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ico 10678  df-topgen 13360  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-ghm 14697  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-xms 17901  df-ms 17902  df-nm 18121  df-ngp 18122  df-nmo 18233  df-nghm 18234
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