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Theorem nmoub3i 22264
Description: An upper bound for an operator norm. (Contributed by NM, 12-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoubi.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nmoubi.y  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
nmoubi.l  |-  L  =  ( normCV `  U )
nmoubi.m  |-  M  =  ( normCV `  W )
nmoubi.3  |-  N  =  ( U normOp OLD W
)
nmoubi.u  |-  U  e.  NrmCVec
nmoubi.w  |-  W  e.  NrmCVec
Assertion
Ref Expression
nmoub3i  |-  ( ( T : X --> Y  /\  A  e.  RR  /\  A. x  e.  X  ( M `  ( T `  x ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  x )
) )  ->  ( N `  T )  <_  ( abs `  A
) )
Distinct variable groups:    x, A    x, L    x, U    x, W    x, Y    x, M    x, T    x, X
Allowed substitution hint:    N( x)

Proof of Theorem nmoub3i
StepHypRef Expression
1 nmoubi.u . . . . . . . . . . . . 13  |-  U  e.  NrmCVec
2 nmoubi.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
3 nmoubi.l . . . . . . . . . . . . . 14  |-  L  =  ( normCV `  U )
42, 3nvcl 22138 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X )  ->  ( L `  x )  e.  RR )
51, 4mpan 652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  X  ->  ( L `  x )  e.  RR )
6 remulcl 9065 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( L `  x )  e.  RR )  -> 
( A  x.  ( L `  x )
)  e.  RR )
75, 6sylan2 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  X )  ->  ( A  x.  ( L `  x )
)  e.  RR )
87adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  X )  /\  ( L `  x )  <_  1
)  ->  ( A  x.  ( L `  x
) )  e.  RR )
9 recn 9070 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
109abscld 12228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
11 remulcl 9065 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  ( L `  x )  e.  RR )  -> 
( ( abs `  A
)  x.  ( L `
 x ) )  e.  RR )
1210, 5, 11syl2an 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  X )  ->  ( ( abs `  A
)  x.  ( L `
 x ) )  e.  RR )
1312adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  X )  /\  ( L `  x )  <_  1
)  ->  ( ( abs `  A )  x.  ( L `  x
) )  e.  RR )
1410ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  X )  /\  ( L `  x )  <_  1
)  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
15 simpl 444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  RR )
1610adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
172, 3nvge0 22153 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X )  ->  0  <_  ( L `  x
) )
181, 17mpan 652 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  X  ->  0  <_  ( L `  x
) )
195, 18jca 519 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  X  ->  (
( L `  x
)  e.  RR  /\  0  <_  ( L `  x ) ) )
2019adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  X )  ->  ( ( L `  x )  e.  RR  /\  0  <_  ( L `  x ) ) )
21 leabs 12094 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  RR  ->  A  <_  ( abs `  A
) )
2221adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  X )  ->  A  <_  ( abs `  A ) )
23 lemul1a 9854 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  ( abs `  A
)  e.  RR  /\  ( ( L `  x )  e.  RR  /\  0  <_  ( L `  x ) ) )  /\  A  <_  ( abs `  A ) )  ->  ( A  x.  ( L `  x ) )  <_  ( ( abs `  A )  x.  ( L `  x
) ) )
2415, 16, 20, 22, 23syl31anc 1187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  X )  ->  ( A  x.  ( L `  x )
)  <_  ( ( abs `  A )  x.  ( L `  x
) ) )
2524adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  X )  /\  ( L `  x )  <_  1
)  ->  ( A  x.  ( L `  x
) )  <_  (
( abs `  A
)  x.  ( L `
 x ) ) )
265adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  X )  ->  ( L `  x
)  e.  RR )
27 1re 9080 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  X )  ->  1  e.  RR )
299absge0d 12236 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  RR  ->  0  <_  ( abs `  A
) )
3029adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  X )  ->  0  <_  ( abs `  A ) )
3116, 30jca 519 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  X )  ->  ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  A
) ) )
3226, 28, 313jca 1134 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  X )  ->  ( ( L `  x )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  A
) ) ) )
33 lemul2a 9855 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( L `  x )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  A
) ) )  /\  ( L `  x )  <_  1 )  -> 
( ( abs `  A
)  x.  ( L `
 x ) )  <_  ( ( abs `  A )  x.  1 ) )
3432, 33sylan 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  X )  /\  ( L `  x )  <_  1
)  ->  ( ( abs `  A )  x.  ( L `  x
) )  <_  (
( abs `  A
)  x.  1 ) )
3510recnd 9104 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  RR  ->  ( abs `  A )  e.  CC )
3635mulid1d 9095 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( abs `  A
)  x.  1 )  =  ( abs `  A
) )
3736ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  X )  /\  ( L `  x )  <_  1
)  ->  ( ( abs `  A )  x.  1 )  =  ( abs `  A ) )
3834, 37breqtrd 4228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  X )  /\  ( L `  x )  <_  1
)  ->  ( ( abs `  A )  x.  ( L `  x
) )  <_  ( abs `  A ) )
398, 13, 14, 25, 38letrd 9217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  X )  /\  ( L `  x )  <_  1
)  ->  ( A  x.  ( L `  x
) )  <_  ( abs `  A ) )
4039adantlll 699 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T : X
--> Y  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  X )  /\  ( L `  x )  <_  1 )  ->  ( A  x.  ( L `  x ) )  <_ 
( abs `  A
) )
41 nmoubi.w . . . . . . . . . . . 12  |-  W  e.  NrmCVec
42 ffvelrn 5860 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T : X --> Y  /\  x  e.  X )  ->  ( T `  x
)  e.  Y )
43 nmoubi.y . . . . . . . . . . . . 13  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
44 nmoubi.m . . . . . . . . . . . . 13  |-  M  =  ( normCV `  W )
4543, 44nvcl 22138 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  ( T `  x )  e.  Y )  ->  ( M `  ( T `  x ) )  e.  RR )
4641, 42, 45sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T : X --> Y  /\  x  e.  X )  ->  ( M `  ( T `  x )
)  e.  RR )
4746adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T : X --> Y  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  X
)  ->  ( M `  ( T `  x
) )  e.  RR )
487adantll 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T : X --> Y  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  X
)  ->  ( A  x.  ( L `  x
) )  e.  RR )
4910ad2antlr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T : X --> Y  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  X
)  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
50 letr 9157 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M `  ( T `  x )
)  e.  RR  /\  ( A  x.  ( L `  x )
)  e.  RR  /\  ( abs `  A )  e.  RR )  -> 
( ( ( M `
 ( T `  x ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  x )
)  /\  ( A  x.  ( L `  x
) )  <_  ( abs `  A ) )  ->  ( M `  ( T `  x ) )  <_  ( abs `  A ) ) )
5147, 48, 49, 50syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T : X --> Y  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  X
)  ->  ( (
( M `  ( T `  x )
)  <_  ( A  x.  ( L `  x
) )  /\  ( A  x.  ( L `  x ) )  <_ 
( abs `  A
) )  ->  ( M `  ( T `  x ) )  <_ 
( abs `  A
) ) )
5251adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T : X
--> Y  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  X )  /\  ( L `  x )  <_  1 )  ->  (
( ( M `  ( T `  x ) )  <_  ( A  x.  ( L `  x
) )  /\  ( A  x.  ( L `  x ) )  <_ 
( abs `  A
) )  ->  ( M `  ( T `  x ) )  <_ 
( abs `  A
) ) )
5340, 52mpan2d 656 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( T : X
--> Y  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  X )  /\  ( L `  x )  <_  1 )  ->  (
( M `  ( T `  x )
)  <_  ( A  x.  ( L `  x
) )  ->  ( M `  ( T `  x ) )  <_ 
( abs `  A
) ) )
5453ex 424 . . . . . 6  |-  ( ( ( T : X --> Y  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( L `  x )  <_  1  ->  ( ( M `  ( T `  x ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  x )
)  ->  ( M `  ( T `  x
) )  <_  ( abs `  A ) ) ) )
5554com23 74 . . . . 5  |-  ( ( ( T : X --> Y  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( M `  ( T `  x ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  x )
)  ->  ( ( L `  x )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  x
) )  <_  ( abs `  A ) ) ) )
5655ralimdva 2776 . . . 4  |-  ( ( T : X --> Y  /\  A  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  X  ( M `  ( T `  x ) )  <_  ( A  x.  ( L `  x
) )  ->  A. x  e.  X  ( ( L `  x )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  x
) )  <_  ( abs `  A ) ) ) )
5756imp 419 . . 3  |-  ( ( ( T : X --> Y  /\  A  e.  RR )  /\  A. x  e.  X  ( M `  ( T `  x ) )  <_  ( A  x.  ( L `  x
) ) )  ->  A. x  e.  X  ( ( L `  x )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  x )
)  <_  ( abs `  A ) ) )
5810rexrd 9124 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( abs `  A )  e. 
RR* )
59 nmoubi.3 . . . . . 6  |-  N  =  ( U normOp OLD W
)
602, 43, 3, 44, 59, 1, 41nmoubi 22263 . . . . 5  |-  ( ( T : X --> Y  /\  ( abs `  A )  e.  RR* )  ->  (
( N `  T
)  <_  ( abs `  A )  <->  A. x  e.  X  ( ( L `  x )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  x
) )  <_  ( abs `  A ) ) ) )
6158, 60sylan2 461 . . . 4  |-  ( ( T : X --> Y  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( N `  T )  <_  ( abs `  A )  <->  A. x  e.  X  ( ( L `  x )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  x
) )  <_  ( abs `  A ) ) ) )
6261biimpar 472 . . 3  |-  ( ( ( T : X --> Y  /\  A  e.  RR )  /\  A. x  e.  X  ( ( L `
 x )  <_ 
1  ->  ( M `  ( T `  x
) )  <_  ( abs `  A ) ) )  ->  ( N `  T )  <_  ( abs `  A ) )
6357, 62syldan 457 . 2  |-  ( ( ( T : X --> Y  /\  A  e.  RR )  /\  A. x  e.  X  ( M `  ( T `  x ) )  <_  ( A  x.  ( L `  x
) ) )  -> 
( N `  T
)  <_  ( abs `  A ) )
64633impa 1148 1  |-  ( ( T : X --> Y  /\  A  e.  RR  /\  A. x  e.  X  ( M `  ( T `  x ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  x )
) )  ->  ( N `  T )  <_  ( abs `  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   class class class wbr 4204   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   RRcr 8979   0cc0 8980   1c1 8981    x. cmul 8985   RR*cxr 9109    <_ cle 9111   abscabs 12029   NrmCVeccnv 22053   BaseSetcba 22055   normCVcnmcv 22059   normOp OLDcnmoo 22232
This theorem is referenced by:  nmoub2i  22265  isblo3i  22292
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-pre-sup 9058
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-n0 10212  df-z 10273  df-uz 10479  df-rp 10603  df-seq 11314  df-exp 11373  df-cj 11894  df-re 11895  df-im 11896  df-sqr 12030  df-abs 12031  df-grpo 21769  df-gid 21770  df-ginv 21771  df-ablo 21860  df-vc 22015  df-nv 22061  df-va 22064  df-ba 22065  df-sm 22066  df-0v 22067  df-nmcv 22069  df-nmoo 22236
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