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Theorem nmoub3i 22122
Description: An upper bound for an operator norm. (Contributed by NM, 12-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoubi.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nmoubi.y  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
nmoubi.l  |-  L  =  ( normCV `  U )
nmoubi.m  |-  M  =  ( normCV `  W )
nmoubi.3  |-  N  =  ( U normOp OLD W
)
nmoubi.u  |-  U  e.  NrmCVec
nmoubi.w  |-  W  e.  NrmCVec
Assertion
Ref Expression
nmoub3i  |-  ( ( T : X --> Y  /\  A  e.  RR  /\  A. x  e.  X  ( M `  ( T `  x ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  x )
) )  ->  ( N `  T )  <_  ( abs `  A
) )
Distinct variable groups:    x, A    x, L    x, U    x, W    x, Y    x, M    x, T    x, X
Allowed substitution hint:    N( x)

Proof of Theorem nmoub3i
StepHypRef Expression
1 nmoubi.u . . . . . . . . . . . . 13  |-  U  e.  NrmCVec
2 nmoubi.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
3 nmoubi.l . . . . . . . . . . . . . 14  |-  L  =  ( normCV `  U )
42, 3nvcl 21996 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X )  ->  ( L `  x )  e.  RR )
51, 4mpan 652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  X  ->  ( L `  x )  e.  RR )
6 remulcl 9008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( L `  x )  e.  RR )  -> 
( A  x.  ( L `  x )
)  e.  RR )
75, 6sylan2 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  X )  ->  ( A  x.  ( L `  x )
)  e.  RR )
87adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  X )  /\  ( L `  x )  <_  1
)  ->  ( A  x.  ( L `  x
) )  e.  RR )
9 recn 9013 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
109abscld 12165 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
11 remulcl 9008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  ( L `  x )  e.  RR )  -> 
( ( abs `  A
)  x.  ( L `
 x ) )  e.  RR )
1210, 5, 11syl2an 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  X )  ->  ( ( abs `  A
)  x.  ( L `
 x ) )  e.  RR )
1312adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  X )  /\  ( L `  x )  <_  1
)  ->  ( ( abs `  A )  x.  ( L `  x
) )  e.  RR )
1410ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  X )  /\  ( L `  x )  <_  1
)  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
15 simpl 444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  RR )
1610adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
172, 3nvge0 22011 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X )  ->  0  <_  ( L `  x
) )
181, 17mpan 652 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  X  ->  0  <_  ( L `  x
) )
195, 18jca 519 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  X  ->  (
( L `  x
)  e.  RR  /\  0  <_  ( L `  x ) ) )
2019adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  X )  ->  ( ( L `  x )  e.  RR  /\  0  <_  ( L `  x ) ) )
21 leabs 12031 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  RR  ->  A  <_  ( abs `  A
) )
2221adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  X )  ->  A  <_  ( abs `  A ) )
23 lemul1a 9796 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  ( abs `  A
)  e.  RR  /\  ( ( L `  x )  e.  RR  /\  0  <_  ( L `  x ) ) )  /\  A  <_  ( abs `  A ) )  ->  ( A  x.  ( L `  x ) )  <_  ( ( abs `  A )  x.  ( L `  x
) ) )
2415, 16, 20, 22, 23syl31anc 1187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  X )  ->  ( A  x.  ( L `  x )
)  <_  ( ( abs `  A )  x.  ( L `  x
) ) )
2524adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  X )  /\  ( L `  x )  <_  1
)  ->  ( A  x.  ( L `  x
) )  <_  (
( abs `  A
)  x.  ( L `
 x ) ) )
265adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  X )  ->  ( L `  x
)  e.  RR )
27 1re 9023 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  X )  ->  1  e.  RR )
299absge0d 12173 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  RR  ->  0  <_  ( abs `  A
) )
3029adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  X )  ->  0  <_  ( abs `  A ) )
3116, 30jca 519 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  X )  ->  ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  A
) ) )
3226, 28, 313jca 1134 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  X )  ->  ( ( L `  x )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  A
) ) ) )
33 lemul2a 9797 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( L `  x )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  A
) ) )  /\  ( L `  x )  <_  1 )  -> 
( ( abs `  A
)  x.  ( L `
 x ) )  <_  ( ( abs `  A )  x.  1 ) )
3432, 33sylan 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  X )  /\  ( L `  x )  <_  1
)  ->  ( ( abs `  A )  x.  ( L `  x
) )  <_  (
( abs `  A
)  x.  1 ) )
3510recnd 9047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  RR  ->  ( abs `  A )  e.  CC )
3635mulid1d 9038 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( abs `  A
)  x.  1 )  =  ( abs `  A
) )
3736ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  X )  /\  ( L `  x )  <_  1
)  ->  ( ( abs `  A )  x.  1 )  =  ( abs `  A ) )
3834, 37breqtrd 4177 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  X )  /\  ( L `  x )  <_  1
)  ->  ( ( abs `  A )  x.  ( L `  x
) )  <_  ( abs `  A ) )
398, 13, 14, 25, 38letrd 9159 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  X )  /\  ( L `  x )  <_  1
)  ->  ( A  x.  ( L `  x
) )  <_  ( abs `  A ) )
4039adantlll 699 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T : X
--> Y  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  X )  /\  ( L `  x )  <_  1 )  ->  ( A  x.  ( L `  x ) )  <_ 
( abs `  A
) )
41 nmoubi.w . . . . . . . . . . . 12  |-  W  e.  NrmCVec
42 ffvelrn 5807 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T : X --> Y  /\  x  e.  X )  ->  ( T `  x
)  e.  Y )
43 nmoubi.y . . . . . . . . . . . . 13  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
44 nmoubi.m . . . . . . . . . . . . 13  |-  M  =  ( normCV `  W )
4543, 44nvcl 21996 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  ( T `  x )  e.  Y )  ->  ( M `  ( T `  x ) )  e.  RR )
4641, 42, 45sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T : X --> Y  /\  x  e.  X )  ->  ( M `  ( T `  x )
)  e.  RR )
4746adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T : X --> Y  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  X
)  ->  ( M `  ( T `  x
) )  e.  RR )
487adantll 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T : X --> Y  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  X
)  ->  ( A  x.  ( L `  x
) )  e.  RR )
4910ad2antlr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T : X --> Y  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  X
)  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
50 letr 9100 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M `  ( T `  x )
)  e.  RR  /\  ( A  x.  ( L `  x )
)  e.  RR  /\  ( abs `  A )  e.  RR )  -> 
( ( ( M `
 ( T `  x ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  x )
)  /\  ( A  x.  ( L `  x
) )  <_  ( abs `  A ) )  ->  ( M `  ( T `  x ) )  <_  ( abs `  A ) ) )
5147, 48, 49, 50syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T : X --> Y  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  X
)  ->  ( (
( M `  ( T `  x )
)  <_  ( A  x.  ( L `  x
) )  /\  ( A  x.  ( L `  x ) )  <_ 
( abs `  A
) )  ->  ( M `  ( T `  x ) )  <_ 
( abs `  A
) ) )
5251adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T : X
--> Y  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  X )  /\  ( L `  x )  <_  1 )  ->  (
( ( M `  ( T `  x ) )  <_  ( A  x.  ( L `  x
) )  /\  ( A  x.  ( L `  x ) )  <_ 
( abs `  A
) )  ->  ( M `  ( T `  x ) )  <_ 
( abs `  A
) ) )
5340, 52mpan2d 656 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( T : X
--> Y  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  X )  /\  ( L `  x )  <_  1 )  ->  (
( M `  ( T `  x )
)  <_  ( A  x.  ( L `  x
) )  ->  ( M `  ( T `  x ) )  <_ 
( abs `  A
) ) )
5453ex 424 . . . . . 6  |-  ( ( ( T : X --> Y  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( L `  x )  <_  1  ->  ( ( M `  ( T `  x ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  x )
)  ->  ( M `  ( T `  x
) )  <_  ( abs `  A ) ) ) )
5554com23 74 . . . . 5  |-  ( ( ( T : X --> Y  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( M `  ( T `  x ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  x )
)  ->  ( ( L `  x )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  x
) )  <_  ( abs `  A ) ) ) )
5655ralimdva 2727 . . . 4  |-  ( ( T : X --> Y  /\  A  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  X  ( M `  ( T `  x ) )  <_  ( A  x.  ( L `  x
) )  ->  A. x  e.  X  ( ( L `  x )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  x
) )  <_  ( abs `  A ) ) ) )
5756imp 419 . . 3  |-  ( ( ( T : X --> Y  /\  A  e.  RR )  /\  A. x  e.  X  ( M `  ( T `  x ) )  <_  ( A  x.  ( L `  x
) ) )  ->  A. x  e.  X  ( ( L `  x )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  x )
)  <_  ( abs `  A ) ) )
5810rexrd 9067 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( abs `  A )  e. 
RR* )
59 nmoubi.3 . . . . . 6  |-  N  =  ( U normOp OLD W
)
602, 43, 3, 44, 59, 1, 41nmoubi 22121 . . . . 5  |-  ( ( T : X --> Y  /\  ( abs `  A )  e.  RR* )  ->  (
( N `  T
)  <_  ( abs `  A )  <->  A. x  e.  X  ( ( L `  x )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  x
) )  <_  ( abs `  A ) ) ) )
6158, 60sylan2 461 . . . 4  |-  ( ( T : X --> Y  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( N `  T )  <_  ( abs `  A )  <->  A. x  e.  X  ( ( L `  x )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  x
) )  <_  ( abs `  A ) ) ) )
6261biimpar 472 . . 3  |-  ( ( ( T : X --> Y  /\  A  e.  RR )  /\  A. x  e.  X  ( ( L `
 x )  <_ 
1  ->  ( M `  ( T `  x
) )  <_  ( abs `  A ) ) )  ->  ( N `  T )  <_  ( abs `  A ) )
6357, 62syldan 457 . 2  |-  ( ( ( T : X --> Y  /\  A  e.  RR )  /\  A. x  e.  X  ( M `  ( T `  x ) )  <_  ( A  x.  ( L `  x
) ) )  -> 
( N `  T
)  <_  ( abs `  A ) )
64633impa 1148 1  |-  ( ( T : X --> Y  /\  A  e.  RR  /\  A. x  e.  X  ( M `  ( T `  x ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  x )
) )  ->  ( N `  T )  <_  ( abs `  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2649   class class class wbr 4153   -->wf 5390   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   RRcr 8922   0cc0 8923   1c1 8924    x. cmul 8928   RR*cxr 9052    <_ cle 9054   abscabs 11966   NrmCVeccnv 21911   BaseSetcba 21913   normCVcnmcv 21917   normOp OLDcnmoo 22090
This theorem is referenced by:  nmoub2i  22123  isblo3i  22150
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-map 6956  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-sup 7381  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-rp 10545  df-seq 11251  df-exp 11310  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-grpo 21627  df-gid 21628  df-ginv 21629  df-ablo 21718  df-vc 21873  df-nv 21919  df-va 21922  df-ba 21923  df-sm 21924  df-0v 21925  df-nmcv 21927  df-nmoo 22094
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