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Theorem nmoubi 21366
Description: An upper bound for an operator norm. (Contributed by NM, 11-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoubi.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nmoubi.y  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
nmoubi.l  |-  L  =  ( normCV `  U )
nmoubi.m  |-  M  =  ( normCV `  W )
nmoubi.3  |-  N  =  ( U normOp OLD W
)
nmoubi.u  |-  U  e.  NrmCVec
nmoubi.w  |-  W  e.  NrmCVec
Assertion
Ref Expression
nmoubi  |-  ( ( T : X --> Y  /\  A  e.  RR* )  -> 
( ( N `  T )  <_  A  <->  A. x  e.  X  ( ( L `  x
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 x ) )  <_  A ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, L    x, U    x, W    x, Y    x, M    x, T    x, X
Allowed substitution hint:    N( x)

Proof of Theorem nmoubi
Dummy variables  z 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmoubi.u . . . . . 6  |-  U  e.  NrmCVec
2 nmoubi.w . . . . . 6  |-  W  e.  NrmCVec
3 nmoubi.1 . . . . . . 7  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
4 nmoubi.y . . . . . . 7  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
5 nmoubi.l . . . . . . 7  |-  L  =  ( normCV `  U )
6 nmoubi.m . . . . . . 7  |-  M  =  ( normCV `  W )
7 nmoubi.3 . . . . . . 7  |-  N  =  ( U normOp OLD W
)
83, 4, 5, 6, 7nmooval 21357 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X
--> Y )  ->  ( N `  T )  =  sup ( { y  |  E. x  e.  X  ( ( L `
 x )  <_ 
1  /\  y  =  ( M `  ( T `
 x ) ) ) } ,  RR* ,  <  ) )
91, 2, 8mp3an12 1267 . . . . 5  |-  ( T : X --> Y  -> 
( N `  T
)  =  sup ( { y  |  E. x  e.  X  (
( L `  x
)  <_  1  /\  y  =  ( M `  ( T `  x
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
109breq1d 4049 . . . 4  |-  ( T : X --> Y  -> 
( ( N `  T )  <_  A  <->  sup ( { y  |  E. x  e.  X  ( ( L `  x )  <_  1  /\  y  =  ( M `  ( T `  x ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  <_  A ) )
1110adantr 451 . . 3  |-  ( ( T : X --> Y  /\  A  e.  RR* )  -> 
( ( N `  T )  <_  A  <->  sup ( { y  |  E. x  e.  X  ( ( L `  x )  <_  1  /\  y  =  ( M `  ( T `  x ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  <_  A ) )
124, 6nmosetre 21358 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  T : X --> Y )  ->  { y  |  E. x  e.  X  (
( L `  x
)  <_  1  /\  y  =  ( M `  ( T `  x
) ) ) } 
C_  RR )
132, 12mpan 651 . . . . 5  |-  ( T : X --> Y  ->  { y  |  E. x  e.  X  (
( L `  x
)  <_  1  /\  y  =  ( M `  ( T `  x
) ) ) } 
C_  RR )
14 ressxr 8892 . . . . 5  |-  RR  C_  RR*
1513, 14syl6ss 3204 . . . 4  |-  ( T : X --> Y  ->  { y  |  E. x  e.  X  (
( L `  x
)  <_  1  /\  y  =  ( M `  ( T `  x
) ) ) } 
C_  RR* )
16 supxrleub 10661 . . . 4  |-  ( ( { y  |  E. x  e.  X  (
( L `  x
)  <_  1  /\  y  =  ( M `  ( T `  x
) ) ) } 
C_  RR*  /\  A  e. 
RR* )  ->  ( sup ( { y  |  E. x  e.  X  ( ( L `  x )  <_  1  /\  y  =  ( M `  ( T `  x ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  <_  A  <->  A. z  e.  { y  |  E. x  e.  X  (
( L `  x
)  <_  1  /\  y  =  ( M `  ( T `  x
) ) ) } z  <_  A )
)
1715, 16sylan 457 . . 3  |-  ( ( T : X --> Y  /\  A  e.  RR* )  -> 
( sup ( { y  |  E. x  e.  X  ( ( L `  x )  <_  1  /\  y  =  ( M `  ( T `  x )
) ) } ,  RR* ,  <  )  <_  A 
<-> 
A. z  e.  {
y  |  E. x  e.  X  ( ( L `  x )  <_  1  /\  y  =  ( M `  ( T `  x )
) ) } z  <_  A ) )
1811, 17bitrd 244 . 2  |-  ( ( T : X --> Y  /\  A  e.  RR* )  -> 
( ( N `  T )  <_  A  <->  A. z  e.  { y  |  E. x  e.  X  ( ( L `
 x )  <_ 
1  /\  y  =  ( M `  ( T `
 x ) ) ) } z  <_  A ) )
19 eqeq1 2302 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  (
y  =  ( M `
 ( T `  x ) )  <->  z  =  ( M `  ( T `
 x ) ) ) )
2019anbi2d 684 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  (
( ( L `  x )  <_  1  /\  y  =  ( M `  ( T `  x ) ) )  <-> 
( ( L `  x )  <_  1  /\  z  =  ( M `  ( T `  x ) ) ) ) )
2120rexbidv 2577 . . . 4  |-  ( y  =  z  ->  ( E. x  e.  X  ( ( L `  x )  <_  1  /\  y  =  ( M `  ( T `  x ) ) )  <->  E. x  e.  X  ( ( L `  x )  <_  1  /\  z  =  ( M `  ( T `  x ) ) ) ) )
2221ralab 2939 . . 3  |-  ( A. z  e.  { y  |  E. x  e.  X  ( ( L `  x )  <_  1  /\  y  =  ( M `  ( T `  x ) ) ) } z  <_  A  <->  A. z ( E. x  e.  X  ( ( L `  x )  <_  1  /\  z  =  ( M `  ( T `  x )
) )  ->  z  <_  A ) )
23 ralcom4 2819 . . . 4  |-  ( A. x  e.  X  A. z ( ( ( L `  x )  <_  1  /\  z  =  ( M `  ( T `  x ) ) )  ->  z  <_  A )  <->  A. z A. x  e.  X  ( ( ( L `
 x )  <_ 
1  /\  z  =  ( M `  ( T `
 x ) ) )  ->  z  <_  A ) )
24 ancomsimp 1359 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( L `  x )  <_  1  /\  z  =  ( M `  ( T `  x ) ) )  ->  z  <_  A
)  <->  ( ( z  =  ( M `  ( T `  x ) )  /\  ( L `
 x )  <_ 
1 )  ->  z  <_  A ) )
25 impexp 433 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  =  ( M `  ( T `
 x ) )  /\  ( L `  x )  <_  1
)  ->  z  <_  A )  <->  ( z  =  ( M `  ( T `  x )
)  ->  ( ( L `  x )  <_  1  ->  z  <_  A ) ) )
2624, 25bitri 240 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( L `  x )  <_  1  /\  z  =  ( M `  ( T `  x ) ) )  ->  z  <_  A
)  <->  ( z  =  ( M `  ( T `  x )
)  ->  ( ( L `  x )  <_  1  ->  z  <_  A ) ) )
2726albii 1556 . . . . . 6  |-  ( A. z ( ( ( L `  x )  <_  1  /\  z  =  ( M `  ( T `  x ) ) )  ->  z  <_  A )  <->  A. z
( z  =  ( M `  ( T `
 x ) )  ->  ( ( L `
 x )  <_ 
1  ->  z  <_  A ) ) )
28 fvex 5555 . . . . . . 7  |-  ( M `
 ( T `  x ) )  e. 
_V
29 breq1 4042 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( M `  ( T `  x ) )  ->  ( z  <_  A  <->  ( M `  ( T `  x ) )  <_  A )
)
3029imbi2d 307 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( M `  ( T `  x ) )  ->  ( (
( L `  x
)  <_  1  ->  z  <_  A )  <->  ( ( L `  x )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  x
) )  <_  A
) ) )
3128, 30ceqsalv 2827 . . . . . 6  |-  ( A. z ( z  =  ( M `  ( T `  x )
)  ->  ( ( L `  x )  <_  1  ->  z  <_  A ) )  <->  ( ( L `  x )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  x
) )  <_  A
) )
3227, 31bitri 240 . . . . 5  |-  ( A. z ( ( ( L `  x )  <_  1  /\  z  =  ( M `  ( T `  x ) ) )  ->  z  <_  A )  <->  ( ( L `  x )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  x
) )  <_  A
) )
3332ralbii 2580 . . . 4  |-  ( A. x  e.  X  A. z ( ( ( L `  x )  <_  1  /\  z  =  ( M `  ( T `  x ) ) )  ->  z  <_  A )  <->  A. x  e.  X  ( ( L `  x )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  x
) )  <_  A
) )
34 r19.23v 2672 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  X  (
( ( L `  x )  <_  1  /\  z  =  ( M `  ( T `  x ) ) )  ->  z  <_  A
)  <->  ( E. x  e.  X  ( ( L `  x )  <_  1  /\  z  =  ( M `  ( T `  x )
) )  ->  z  <_  A ) )
3534albii 1556 . . . 4  |-  ( A. z A. x  e.  X  ( ( ( L `
 x )  <_ 
1  /\  z  =  ( M `  ( T `
 x ) ) )  ->  z  <_  A )  <->  A. z ( E. x  e.  X  ( ( L `  x
)  <_  1  /\  z  =  ( M `  ( T `  x
) ) )  -> 
z  <_  A )
)
3623, 33, 353bitr3i 266 . . 3  |-  ( A. x  e.  X  (
( L `  x
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 x ) )  <_  A )  <->  A. z
( E. x  e.  X  ( ( L `
 x )  <_ 
1  /\  z  =  ( M `  ( T `
 x ) ) )  ->  z  <_  A ) )
3722, 36bitr4i 243 . 2  |-  ( A. z  e.  { y  |  E. x  e.  X  ( ( L `  x )  <_  1  /\  y  =  ( M `  ( T `  x ) ) ) } z  <_  A  <->  A. x  e.  X  ( ( L `  x
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 x ) )  <_  A ) )
3818, 37syl6bb 252 1  |-  ( ( T : X --> Y  /\  A  e.  RR* )  -> 
( ( N `  T )  <_  A  <->  A. x  e.  X  ( ( L `  x
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 x ) )  <_  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1530    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   A.wral 2556   E.wrex 2557    C_ wss 3165   class class class wbr 4039   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   supcsup 7209   RRcr 8752   1c1 8754   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884   NrmCVeccnv 21156   BaseSetcba 21158   normCVcnmcv 21162   normOp OLDcnmoo 21335
This theorem is referenced by:  nmoub3i  21367  nmobndi  21369  ubthlem2  21466
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-vc 21118  df-nv 21164  df-va 21167  df-ba 21168  df-sm 21169  df-0v 21170  df-nmcv 21172  df-nmoo 21339
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