Theorem nmounbi 8439

Description: Two ways two express that an operator is unbounded.

Hypotheses

Ref	Expression
nmoubi.1	|- X = (Base` U)
nmoubi.y	|- Y = (Base` W)
nmoubi.l	|- L = (norm` U)
nmoubi.m	|- M = (norm` W)
nmoubi.3	|- N = (UnormOpW)
nmoubi.u	|- U e. NrmCVec
nmoubi.w	|- W e. NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
nmounbi	|- (T:X-->Y -> ((N` T) = +oo <-> A.r e. RR E.y e. X ((L` y) <_ 1 /\ r < (M` (T` y)))))

Distinct variable groups:   y,r,L   M,r,y   N,r,y   T,r,y   y,U   y,W   X,r,y   Y,r,y

Proof of Theorem nmounbi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmoubi.1	. . . 4 |- X = (Base` U)
2		nmoubi.y	. . . 4 |- Y = (Base` W)
3		nmoubi.l	. . . 4 |- L = (norm` U)
4		nmoubi.m	. . . 4 |- M = (norm` W)
5		nmoubi.3	. . . 4 |- N = (UnormOpW)
6		nmoubi.u	. . . 4 |- U e. NrmCVec
7		nmoubi.w	. . . 4 |- W e. NrmCVec
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	nmobndi 8438	. . 3 |- (T:X-->Y -> ((N` T) e. RR <-> E.r e. RR A.y e. X ((L` y) <_ 1 -> (M` (T` y)) <_ r)))
9	1, 2, 5	nmorepnf 8431	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) -> ((N` T) e. RR <-> (N` T) =/= +oo))
10	6, 7, 9	mp3an12 906	. . 3 |- (T:X-->Y -> ((N` T) e. RR <-> (N` T) =/= +oo))
11		lenltt 5510	. . . . . . . . . . 11 |- (((M` (T` y)) e. RR /\ r e. RR) -> ((M` (T` y)) <_ r <-> -. r < (M` (T` y))))
12		ffvelrn 3814	. . . . . . . . . . . 12 |- ((T:X-->Y /\ y e. X) -> (T` y) e. Y)
13	2, 4	nvcl 8287	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((W e. NrmCVec /\ (T` y) e. Y) -> (M` (T` y)) e. RR)
14	7, 13	mpan 695	. . . . . . . . . . . 12 |- ((T` y) e. Y -> (M` (T` y)) e. RR)
15	12, 14	syl 10	. . . . . . . . . . 11 |- ((T:X-->Y /\ y e. X) -> (M` (T` y)) e. RR)
16	11, 15	sylan 448	. . . . . . . . . 10 |- (((T:X-->Y /\ y e. X) /\ r e. RR) -> ((M` (T` y)) <_ r <-> -. r < (M` (T` y))))
17	16	an1rs 489	. . . . . . . . 9 |- (((T:X-->Y /\ r e. RR) /\ y e. X) -> ((M` (T` y)) <_ r <-> -. r < (M` (T` y))))
18	17	imbi2d 612	. . . . . . . 8 |- (((T:X-->Y /\ r e. RR) /\ y e. X) -> (((L` y) <_ 1 -> (M` (T` y)) <_ r) <-> ((L` y) <_ 1 -> -. r < (M` (T` y)))))
19		imnan 242	. . . . . . . 8 |- (((L` y) <_ 1 -> -. r < (M` (T` y))) <-> -. ((L` y) <_ 1 /\ r < (M` (T` y))))
20	18, 19	syl6bb 536	. . . . . . 7 |- (((T:X-->Y /\ r e. RR) /\ y e. X) -> (((L` y) <_ 1 -> (M` (T` y)) <_ r) <-> -. ((L` y) <_ 1 /\ r < (M` (T` y)))))
21	20	ralbidva 1659	. . . . . 6 |- ((T:X-->Y /\ r e. RR) -> (A.y e. X ((L` y) <_ 1 -> (M` (T` y)) <_ r) <-> A.y e. X -. ((L` y) <_ 1 /\ r < (M` (T` y)))))
22		ralnex 1653	. . . . . 6 |- (A.y e. X -. ((L` y) <_ 1 /\ r < (M` (T` y))) <-> -. E.y e. X ((L` y) <_ 1 /\ r < (M` (T` y))))
23	21, 22	syl6bb 536	. . . . 5 |- ((T:X-->Y /\ r e. RR) -> (A.y e. X ((L` y) <_ 1 -> (M` (T` y)) <_ r) <-> -. E.y e. X ((L` y) <_ 1 /\ r < (M` (T` y)))))
24	23	rexbidva 1660	. . . 4 |- (T:X-->Y -> (E.r e. RR A.y e. X ((L` y) <_ 1 -> (M` (T` y)) <_ r) <-> E.r e. RR -. E.y e. X ((L` y) <_ 1 /\ r < (M` (T` y)))))
25		rexnal 1654	. . . 4 |- (E.r e. RR -. E.y e. X ((L` y) <_ 1 /\ r < (M` (T` y))) <-> -. A.r e. RR E.y e. X ((L` y) <_ 1 /\ r < (M` (T` y))))
26	24, 25	syl6bb 536	. . 3 |- (T:X-->Y -> (E.r e. RR A.y e. X ((L` y) <_ 1 -> (M` (T` y)) <_ r) <-> -. A.r e. RR E.y e. X ((L` y) <_ 1 /\ r < (M` (T` y)))))
27	8, 10, 26	3bitr3d 548	. 2 |- (T:X-->Y -> ((N` T) =/= +oo <-> -. A.r e. RR E.y e. X ((L` y) <_ 1 /\ r < (M` (T` y)))))
28	27	necon4abid 1629	1 |- (T:X-->Y -> ((N` T) = +oo <-> A.r e. RR E.y e. X ((L` y) <_ 1 /\ r < (M` (T` y)))))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958   =/= wne 1585  A.wral 1645  E.wrex 1646   class class class wbr 2619  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  RRcr 5233  1c1 5235   <_ cle 5295   +oocpnf 5483   < clt 5486  NrmCVeccnv 8203  Basecba 8205  normcnm 8209  normOpcnmo 8402

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-map 4324  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-grp 8037  df-gid 8038  df-ginv 8039  df-abl 8100  df-vc 8165  df-nv 8211  df-va 8214  df-ba 8215  df-sm 8216  df-0v 8217  df-nm 8219  df-nmo 8406

Copyright terms: Public domain