MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmounbseqiOLD Structured version   Unicode version

Theorem nmounbseqiOLD 22284
Description: An unbounded operator determines an unbounded sequence. (Contributed by NM, 11-Jan-2008.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoubi.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nmoubi.y  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
nmoubi.l  |-  L  =  ( normCV `  U )
nmoubi.m  |-  M  =  ( normCV `  W )
nmoubi.3  |-  N  =  ( U normOp OLD W
)
nmoubi.u  |-  U  e.  NrmCVec
nmoubi.w  |-  W  e.  NrmCVec
Assertion
Ref Expression
nmounbseqiOLD  |-  ( ( T : X --> Y  /\  ( N `  T )  =  +oo )  ->  E. f ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  (
( L `  (
f `  k )
)  <_  1  /\  k  <  ( M `  ( T `  ( f `
 k ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, k, L    k, Y    f, M, k    T, f, k    f, X, k    k, N
Allowed substitution hints:    U( f, k)    N( f)    W( f, k)    Y( f)

Proof of Theorem nmounbseqiOLD
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmoubi.1 . . . 4  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 nmoubi.y . . . 4  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
3 nmoubi.l . . . 4  |-  L  =  ( normCV `  U )
4 nmoubi.m . . . 4  |-  M  =  ( normCV `  W )
5 nmoubi.3 . . . 4  |-  N  =  ( U normOp OLD W
)
6 nmoubi.u . . . 4  |-  U  e.  NrmCVec
7 nmoubi.w . . . 4  |-  W  e.  NrmCVec
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7nmounbi 22282 . . 3  |-  ( T : X --> Y  -> 
( ( N `  T )  =  +oo  <->  A. k  e.  RR  E. y  e.  X  ( ( L `  y )  <_  1  /\  k  < 
( M `  ( T `  y )
) ) ) )
98biimpa 472 . 2  |-  ( ( T : X --> Y  /\  ( N `  T )  =  +oo )  ->  A. k  e.  RR  E. y  e.  X  ( ( L `  y
)  <_  1  /\  k  <  ( M `  ( T `  y ) ) ) )
10 nnre 10012 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR )
1110imim1i 57 . . 3  |-  ( ( k  e.  RR  ->  E. y  e.  X  ( ( L `  y
)  <_  1  /\  k  <  ( M `  ( T `  y ) ) ) )  -> 
( k  e.  NN  ->  E. y  e.  X  ( ( L `  y )  <_  1  /\  k  <  ( M `
 ( T `  y ) ) ) ) )
1211ralimi2 2780 . 2  |-  ( A. k  e.  RR  E. y  e.  X  ( ( L `  y )  <_  1  /\  k  < 
( M `  ( T `  y )
) )  ->  A. k  e.  NN  E. y  e.  X  ( ( L `
 y )  <_ 
1  /\  k  <  ( M `  ( T `
 y ) ) ) )
13 nnex 10011 . . 3  |-  NN  e.  _V
14 fveq2 5731 . . . . 5  |-  ( y  =  ( f `  k )  ->  ( L `  y )  =  ( L `  ( f `  k
) ) )
1514breq1d 4225 . . . 4  |-  ( y  =  ( f `  k )  ->  (
( L `  y
)  <_  1  <->  ( L `  ( f `  k
) )  <_  1
) )
16 fveq2 5731 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( f `  k )  ->  ( T `  y )  =  ( T `  ( f `  k
) ) )
1716fveq2d 5735 . . . . 5  |-  ( y  =  ( f `  k )  ->  ( M `  ( T `  y ) )  =  ( M `  ( T `  ( f `  k ) ) ) )
1817breq2d 4227 . . . 4  |-  ( y  =  ( f `  k )  ->  (
k  <  ( M `  ( T `  y
) )  <->  k  <  ( M `  ( T `
 ( f `  k ) ) ) ) )
1915, 18anbi12d 693 . . 3  |-  ( y  =  ( f `  k )  ->  (
( ( L `  y )  <_  1  /\  k  <  ( M `
 ( T `  y ) ) )  <-> 
( ( L `  ( f `  k
) )  <_  1  /\  k  <  ( M `
 ( T `  ( f `  k
) ) ) ) ) )
2013, 19ac6s 8369 . 2  |-  ( A. k  e.  NN  E. y  e.  X  ( ( L `  y )  <_  1  /\  k  < 
( M `  ( T `  y )
) )  ->  E. f
( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  ( ( L `
 ( f `  k ) )  <_ 
1  /\  k  <  ( M `  ( T `
 ( f `  k ) ) ) ) ) )
219, 12, 203syl 19 1  |-  ( ( T : X --> Y  /\  ( N `  T )  =  +oo )  ->  E. f ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  (
( L `  (
f `  k )
)  <_  1  /\  k  <  ( M `  ( T `  ( f `
 k ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708   class class class wbr 4215   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   RRcr 8994   1c1 8996    +oocpnf 9122    < clt 9125    <_ cle 9126   NNcn 10005   NrmCVeccnv 22068   BaseSetcba 22070   normCVcnmcv 22074   normOp OLDcnmoo 22247
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-reg 7563  ax-inf2 7599  ax-ac2 8348  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-sup 7449  df-r1 7693  df-rank 7694  df-card 7831  df-ac 8002  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-seq 11329  df-exp 11388  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-grpo 21784  df-gid 21785  df-ginv 21786  df-ablo 21875  df-vc 22030  df-nv 22076  df-va 22079  df-ba 22080  df-sm 22081  df-0v 22082  df-nmcv 22084  df-nmoo 22251
  Copyright terms: Public domain W3C validator