Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmparlem Structured version   Unicode version

Theorem nmparlem 19196
 Description: Lemma for nmpar 19197. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmpar.v
nmpar.p
nmpar.m
nmpar.n
nmpar.h
nmpar.f Scalar
nmpar.k
nmpar.1
nmpar.2
nmpar.3
Assertion
Ref Expression
nmparlem

Proof of Theorem nmparlem
StepHypRef Expression
1 nmpar.h . . . . 5
2 nmpar.v . . . . 5
3 nmpar.p . . . . 5
4 nmpar.1 . . . . 5
5 nmpar.2 . . . . 5
6 nmpar.3 . . . . 5
71, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 6cph2di 19169 . . . 4
8 nmpar.m . . . . 5
91, 2, 8, 4, 5, 6, 5, 6cph2subdi 19172 . . . 4
107, 9oveq12d 6099 . . 3
11 cphclm 19152 . . . . . . 7 CMod
124, 11syl 16 . . . . . 6 CMod
13 nmpar.f . . . . . . 7 Scalar
14 nmpar.k . . . . . . 7
1513, 14clmsscn 19104 . . . . . 6 CMod
1612, 15syl 16 . . . . 5
17 cphphl 19134 . . . . . . . 8
184, 17syl 16 . . . . . . 7
1913, 1, 2, 14ipcl 16864 . . . . . . 7
2018, 5, 5, 19syl3anc 1184 . . . . . 6
2113, 1, 2, 14ipcl 16864 . . . . . . 7
2218, 6, 6, 21syl3anc 1184 . . . . . 6
2313, 14clmacl 19108 . . . . . 6 CMod
2412, 20, 22, 23syl3anc 1184 . . . . 5
2516, 24sseldd 3349 . . . 4
2613, 1, 2, 14ipcl 16864 . . . . . . 7
2718, 5, 6, 26syl3anc 1184 . . . . . 6
2813, 1, 2, 14ipcl 16864 . . . . . . 7
2918, 6, 5, 28syl3anc 1184 . . . . . 6
3013, 14clmacl 19108 . . . . . 6 CMod
3112, 27, 29, 30syl3anc 1184 . . . . 5
3216, 31sseldd 3349 . . . 4
3325, 32, 25ppncand 9451 . . 3
3410, 33eqtrd 2468 . 2
35 cphlmod 19137 . . . . . 6
364, 35syl 16 . . . . 5
372, 3lmodvacl 15964 . . . . 5
3836, 5, 6, 37syl3anc 1184 . . . 4
39 nmpar.n . . . . 5
402, 1, 39nmsq 19157 . . . 4
414, 38, 40syl2anc 643 . . 3
422, 8lmodvsubcl 15989 . . . . 5
4336, 5, 6, 42syl3anc 1184 . . . 4
442, 1, 39nmsq 19157 . . . 4
454, 43, 44syl2anc 643 . . 3
4641, 45oveq12d 6099 . 2
472, 1, 39nmsq 19157 . . . . . 6
484, 5, 47syl2anc 643 . . . . 5
492, 1, 39nmsq 19157 . . . . . 6
504, 6, 49syl2anc 643 . . . . 5
5148, 50oveq12d 6099 . . . 4
5251oveq2d 6097 . . 3
53252timesd 10210 . . 3
5452, 53eqtrd 2468 . 2
5534, 46, 543eqtr4d 2478 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wceq 1652   wcel 1725   wss 3320  cfv 5454  (class class class)co 6081  cc 8988   caddc 8993   cmul 8995   cmin 9291  c2 10049  cexp 11382  cbs 13469   cplusg 13529  Scalarcsca 13532  cip 13534  csg 14688  clmod 15950  cphl 16855  cnm 18624  CModcclm 19087  ccph 19129 This theorem is referenced by:  nmpar  19197 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fz 11044  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-mhm 14738  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-subg 14941  df-ghm 15004  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-cring 15664  df-ur 15665  df-oppr 15728  df-dvdsr 15746  df-unit 15747  df-rnghom 15819  df-drng 15837  df-subrg 15866  df-staf 15933  df-srng 15934  df-lmod 15952  df-lmhm 16098  df-lvec 16175  df-sra 16244  df-rgmod 16245  df-cnfld 16704  df-phl 16857  df-nlm 18634  df-clm 19088  df-cph 19131
 Copyright terms: Public domain W3C validator