Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmpropd2 Structured version   Unicode version

Theorem nmpropd2 18644
 Description: Strong property deduction for a norm. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmpropd2.1
nmpropd2.2
nmpropd2.3
nmpropd2.4
nmpropd2.5
Assertion
Ref Expression
nmpropd2
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem nmpropd2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmpropd2.1 . . . 4
2 nmpropd2.2 . . . 4
31, 2eqtr3d 2472 . . 3
4 nmpropd2.5 . . . . . 6
51, 1xpeq12d 4905 . . . . . . 7
65reseq2d 5148 . . . . . 6
74, 6eqtr3d 2472 . . . . 5
82, 2xpeq12d 4905 . . . . . 6
98reseq2d 5148 . . . . 5
107, 9eqtr3d 2472 . . . 4
11 eqidd 2439 . . . 4
12 nmpropd2.4 . . . . 5
131, 2, 12grpidpropd 14724 . . . 4
1410, 11, 13oveq123d 6104 . . 3
153, 14mpteq12dv 4289 . 2
16 nmpropd2.3 . . 3
17 eqid 2438 . . . 4
18 eqid 2438 . . . 4
19 eqid 2438 . . . 4
20 eqid 2438 . . . 4
21 eqid 2438 . . . 4
2217, 18, 19, 20, 21nmfval2 18640 . . 3
2316, 22syl 16 . 2
241, 2, 12grppropd 14825 . . . 4
2516, 24mpbid 203 . . 3
26 eqid 2438 . . . 4
27 eqid 2438 . . . 4
28 eqid 2438 . . . 4
29 eqid 2438 . . . 4
30 eqid 2438 . . . 4
3126, 27, 28, 29, 30nmfval2 18640 . . 3
3225, 31syl 16 . 2
3315, 23, 323eqtr4d 2480 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   cmpt 4268   cxp 4878   cres 4882  cfv 5456  (class class class)co 6083  cbs 13471   cplusg 13531  cds 13540  c0g 13725  cgrp 14687  cnm 18626 This theorem is referenced by:  ngppropd  18680 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-fv 5464  df-ov 6086  df-riota 6551  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-grp 14814  df-nm 18632
 Copyright terms: Public domain W3C validator