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Theorem nmzsubg 14973
Description: The normalizer NG(S) of a subset  S of the group is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
elnmz.1  |-  N  =  { x  e.  X  |  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  <->  ( y  .+  x )  e.  S ) }
nmzsubg.2  |-  X  =  ( Base `  G
)
nmzsubg.3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
nmzsubg  |-  ( G  e.  Grp  ->  N  e.  (SubGrp `  G )
)
Distinct variable groups:    x, y, G    x, S, y    x,  .+ , y    x, X, y
Allowed substitution hints:    N( x, y)

Proof of Theorem nmzsubg
Dummy variables  z  w  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnmz.1 . . . 4  |-  N  =  { x  e.  X  |  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  <->  ( y  .+  x )  e.  S ) }
2 ssrab2 3420 . . . 4  |-  { x  e.  X  |  A. y  e.  X  (
( x  .+  y
)  e.  S  <->  ( y  .+  x )  e.  S
) }  C_  X
31, 2eqsstri 3370 . . 3  |-  N  C_  X
43a1i 11 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  N  C_  X )
5 nmzsubg.2 . . . . 5  |-  X  =  ( Base `  G
)
6 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
75, 6grpidcl 14825 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
8 nmzsubg.3 . . . . . . . 8  |-  .+  =  ( +g  `  G )
95, 8, 6grplid 14827 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X )  ->  ( ( 0g `  G )  .+  z
)  =  z )
105, 8, 6grprid 14828 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X )  ->  ( z  .+  ( 0g `  G ) )  =  z )
119, 10eqtr4d 2470 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X )  ->  ( ( 0g `  G )  .+  z
)  =  ( z 
.+  ( 0g `  G ) ) )
1211eleq1d 2501 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X )  ->  ( ( ( 0g
`  G )  .+  z )  e.  S  <->  ( z  .+  ( 0g
`  G ) )  e.  S ) )
1312ralrimiva 2781 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  A. z  e.  X  ( (
( 0g `  G
)  .+  z )  e.  S  <->  ( z  .+  ( 0g `  G ) )  e.  S ) )
141elnmz 14971 . . . 4  |-  ( ( 0g `  G )  e.  N  <->  ( ( 0g `  G )  e.  X  /\  A. z  e.  X  ( (
( 0g `  G
)  .+  z )  e.  S  <->  ( z  .+  ( 0g `  G ) )  e.  S ) ) )
157, 13, 14sylanbrc 646 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  N )
16 ne0i 3626 . . 3  |-  ( ( 0g `  G )  e.  N  ->  N  =/=  (/) )
1715, 16syl 16 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  N  =/=  (/) )
18 id 20 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Grp )
193sseli 3336 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  N  ->  z  e.  X )
203sseli 3336 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  N  ->  w  e.  X )
215, 8grpcl 14810 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X  /\  w  e.  X )  ->  ( z  .+  w
)  e.  X )
2218, 19, 20, 21syl3an 1226 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  ->  ( z  .+  w
)  e.  X )
23 simpl1 960 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  G  e.  Grp )
24 simpl2 961 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  z  e.  N )
253, 24sseldi 3338 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  z  e.  X )
26 simpl3 962 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  w  e.  N )
273, 26sseldi 3338 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  w  e.  X )
28 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  u  e.  X )
295, 8grpass 14811 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X  /\  u  e.  X
) )  ->  (
( z  .+  w
)  .+  u )  =  ( z  .+  ( w  .+  u ) ) )
3023, 25, 27, 28, 29syl13anc 1186 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
z  .+  w )  .+  u )  =  ( z  .+  ( w 
.+  u ) ) )
3130eleq1d 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
( z  .+  w
)  .+  u )  e.  S  <->  ( z  .+  ( w  .+  u ) )  e.  S ) )
325, 8grpcl 14810 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  w  e.  X  /\  u  e.  X )  ->  ( w  .+  u
)  e.  X )
3323, 27, 28, 32syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( w  .+  u )  e.  X
)
341nmzbi 14972 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  N  /\  ( w  .+  u )  e.  X )  -> 
( ( z  .+  ( w  .+  u ) )  e.  S  <->  ( (
w  .+  u )  .+  z )  e.  S
) )
3524, 33, 34syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
z  .+  ( w  .+  u ) )  e.  S  <->  ( ( w 
.+  u )  .+  z )  e.  S
) )
365, 8grpass 14811 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( w  e.  X  /\  u  e.  X  /\  z  e.  X
) )  ->  (
( w  .+  u
)  .+  z )  =  ( w  .+  ( u  .+  z ) ) )
3723, 27, 28, 25, 36syl13anc 1186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
w  .+  u )  .+  z )  =  ( w  .+  ( u 
.+  z ) ) )
3837eleq1d 2501 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
( w  .+  u
)  .+  z )  e.  S  <->  ( w  .+  ( u  .+  z ) )  e.  S ) )
395, 8grpcl 14810 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  u  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( u  .+  z
)  e.  X )
4023, 28, 25, 39syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( u  .+  z )  e.  X
)
411nmzbi 14972 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  N  /\  ( u  .+  z )  e.  X )  -> 
( ( w  .+  ( u  .+  z ) )  e.  S  <->  ( (
u  .+  z )  .+  w )  e.  S
) )
4226, 40, 41syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
w  .+  ( u  .+  z ) )  e.  S  <->  ( ( u 
.+  z )  .+  w )  e.  S
) )
4335, 38, 423bitrd 271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
z  .+  ( w  .+  u ) )  e.  S  <->  ( ( u 
.+  z )  .+  w )  e.  S
) )
445, 8grpass 14811 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( u  e.  X  /\  z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  ->  (
( u  .+  z
)  .+  w )  =  ( u  .+  ( z  .+  w
) ) )
4523, 28, 25, 27, 44syl13anc 1186 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
u  .+  z )  .+  w )  =  ( u  .+  ( z 
.+  w ) ) )
4645eleq1d 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
( u  .+  z
)  .+  w )  e.  S  <->  ( u  .+  ( z  .+  w
) )  e.  S
) )
4731, 43, 463bitrd 271 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
( z  .+  w
)  .+  u )  e.  S  <->  ( u  .+  ( z  .+  w
) )  e.  S
) )
4847ralrimiva 2781 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  ->  A. u  e.  X  ( ( ( z 
.+  w )  .+  u )  e.  S  <->  ( u  .+  ( z 
.+  w ) )  e.  S ) )
491elnmz 14971 . . . . . . 7  |-  ( ( z  .+  w )  e.  N  <->  ( (
z  .+  w )  e.  X  /\  A. u  e.  X  ( (
( z  .+  w
)  .+  u )  e.  S  <->  ( u  .+  ( z  .+  w
) )  e.  S
) ) )
5022, 48, 49sylanbrc 646 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  ->  ( z  .+  w
)  e.  N )
51503expa 1153 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  w  e.  N
)  ->  ( z  .+  w )  e.  N
)
5251ralrimiva 2781 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  ->  A. w  e.  N  ( z  .+  w
)  e.  N )
53 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
545, 53grpinvcl 14842 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X )  ->  ( ( inv g `  G ) `  z
)  e.  X )
5519, 54sylan2 461 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  ->  ( ( inv g `  G ) `  z
)  e.  X )
56 simplr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  z  e.  N )
57 simpll 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  G  e.  Grp )
5855adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( ( inv g `  G ) `
 z )  e.  X )
59 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  u  e.  X )
605, 8grpcl 14810 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  u  e.  X  /\  ( ( inv g `  G ) `  z
)  e.  X )  ->  ( u  .+  ( ( inv g `  G ) `  z
) )  e.  X
)
6157, 59, 58, 60syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( u  .+  ( ( inv g `  G ) `  z
) )  e.  X
)
625, 8grpcl 14810 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( inv g `  G ) `  z
)  e.  X  /\  ( u  .+  ( ( inv g `  G
) `  z )
)  e.  X )  ->  ( ( ( inv g `  G
) `  z )  .+  ( u  .+  (
( inv g `  G ) `  z
) ) )  e.  X )
6357, 58, 61, 62syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
( inv g `  G ) `  z
)  .+  ( u  .+  ( ( inv g `  G ) `  z
) ) )  e.  X )
641nmzbi 14972 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  N  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 z )  .+  ( u  .+  ( ( inv g `  G
) `  z )
) )  e.  X
)  ->  ( (
z  .+  ( (
( inv g `  G ) `  z
)  .+  ( u  .+  ( ( inv g `  G ) `  z
) ) ) )  e.  S  <->  ( (
( ( inv g `  G ) `  z
)  .+  ( u  .+  ( ( inv g `  G ) `  z
) ) )  .+  z )  e.  S
) )
6556, 63, 64syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
z  .+  ( (
( inv g `  G ) `  z
)  .+  ( u  .+  ( ( inv g `  G ) `  z
) ) ) )  e.  S  <->  ( (
( ( inv g `  G ) `  z
)  .+  ( u  .+  ( ( inv g `  G ) `  z
) ) )  .+  z )  e.  S
) )
663, 56sseldi 3338 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  z  e.  X )
675, 8, 6, 53grprinv 14844 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X )  ->  ( z  .+  (
( inv g `  G ) `  z
) )  =  ( 0g `  G ) )
6857, 66, 67syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( z  .+  ( ( inv g `  G ) `  z
) )  =  ( 0g `  G ) )
6968oveq1d 6088 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
z  .+  ( ( inv g `  G ) `
 z ) ) 
.+  ( u  .+  ( ( inv g `  G ) `  z
) ) )  =  ( ( 0g `  G )  .+  (
u  .+  ( ( inv g `  G ) `
 z ) ) ) )
705, 8grpass 14811 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( z  e.  X  /\  ( ( inv g `  G ) `  z
)  e.  X  /\  ( u  .+  ( ( inv g `  G
) `  z )
)  e.  X ) )  ->  ( (
z  .+  ( ( inv g `  G ) `
 z ) ) 
.+  ( u  .+  ( ( inv g `  G ) `  z
) ) )  =  ( z  .+  (
( ( inv g `  G ) `  z
)  .+  ( u  .+  ( ( inv g `  G ) `  z
) ) ) ) )
7157, 66, 58, 61, 70syl13anc 1186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
z  .+  ( ( inv g `  G ) `
 z ) ) 
.+  ( u  .+  ( ( inv g `  G ) `  z
) ) )  =  ( z  .+  (
( ( inv g `  G ) `  z
)  .+  ( u  .+  ( ( inv g `  G ) `  z
) ) ) ) )
725, 8, 6grplid 14827 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( u  .+  ( ( inv g `  G
) `  z )
)  e.  X )  ->  ( ( 0g
`  G )  .+  ( u  .+  ( ( inv g `  G
) `  z )
) )  =  ( u  .+  ( ( inv g `  G
) `  z )
) )
7357, 61, 72syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( ( 0g `  G )  .+  ( u  .+  ( ( inv g `  G
) `  z )
) )  =  ( u  .+  ( ( inv g `  G
) `  z )
) )
7469, 71, 733eqtr3d 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( z  .+  ( ( ( inv g `  G ) `
 z )  .+  ( u  .+  ( ( inv g `  G
) `  z )
) ) )  =  ( u  .+  (
( inv g `  G ) `  z
) ) )
7574eleq1d 2501 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
z  .+  ( (
( inv g `  G ) `  z
)  .+  ( u  .+  ( ( inv g `  G ) `  z
) ) ) )  e.  S  <->  ( u  .+  ( ( inv g `  G ) `  z
) )  e.  S
) )
765, 8grpass 14811 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 z )  e.  X  /\  ( u 
.+  ( ( inv g `  G ) `
 z ) )  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( ( ( inv g `  G
) `  z )  .+  ( u  .+  (
( inv g `  G ) `  z
) ) )  .+  z )  =  ( ( ( inv g `  G ) `  z
)  .+  ( (
u  .+  ( ( inv g `  G ) `
 z ) ) 
.+  z ) ) )
7757, 58, 61, 66, 76syl13anc 1186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
( ( inv g `  G ) `  z
)  .+  ( u  .+  ( ( inv g `  G ) `  z
) ) )  .+  z )  =  ( ( ( inv g `  G ) `  z
)  .+  ( (
u  .+  ( ( inv g `  G ) `
 z ) ) 
.+  z ) ) )
785, 8grpass 14811 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( u  e.  X  /\  ( ( inv g `  G ) `  z
)  e.  X  /\  z  e.  X )
)  ->  ( (
u  .+  ( ( inv g `  G ) `
 z ) ) 
.+  z )  =  ( u  .+  (
( ( inv g `  G ) `  z
)  .+  z )
) )
7957, 59, 58, 66, 78syl13anc 1186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
u  .+  ( ( inv g `  G ) `
 z ) ) 
.+  z )  =  ( u  .+  (
( ( inv g `  G ) `  z
)  .+  z )
) )
805, 8, 6, 53grplinv 14843 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X )  ->  ( ( ( inv g `  G ) `
 z )  .+  z )  =  ( 0g `  G ) )
8157, 66, 80syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
( inv g `  G ) `  z
)  .+  z )  =  ( 0g `  G ) )
8281oveq2d 6089 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( u  .+  ( ( ( inv g `  G ) `
 z )  .+  z ) )  =  ( u  .+  ( 0g `  G ) ) )
835, 8, 6grprid 14828 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  u  e.  X )  ->  ( u  .+  ( 0g `  G ) )  =  u )
8457, 59, 83syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( u  .+  ( 0g `  G
) )  =  u )
8579, 82, 843eqtrd 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
u  .+  ( ( inv g `  G ) `
 z ) ) 
.+  z )  =  u )
8685oveq2d 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
( inv g `  G ) `  z
)  .+  ( (
u  .+  ( ( inv g `  G ) `
 z ) ) 
.+  z ) )  =  ( ( ( inv g `  G
) `  z )  .+  u ) )
8777, 86eqtrd 2467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
( ( inv g `  G ) `  z
)  .+  ( u  .+  ( ( inv g `  G ) `  z
) ) )  .+  z )  =  ( ( ( inv g `  G ) `  z
)  .+  u )
)
8887eleq1d 2501 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
( ( ( inv g `  G ) `
 z )  .+  ( u  .+  ( ( inv g `  G
) `  z )
) )  .+  z
)  e.  S  <->  ( (
( inv g `  G ) `  z
)  .+  u )  e.  S ) )
8965, 75, 883bitr3rd 276 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
( ( inv g `  G ) `  z
)  .+  u )  e.  S  <->  ( u  .+  ( ( inv g `  G ) `  z
) )  e.  S
) )
9089ralrimiva 2781 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  ->  A. u  e.  X  ( ( ( ( inv g `  G
) `  z )  .+  u )  e.  S  <->  ( u  .+  ( ( inv g `  G
) `  z )
)  e.  S ) )
911elnmz 14971 . . . . 5  |-  ( ( ( inv g `  G ) `  z
)  e.  N  <->  ( (
( inv g `  G ) `  z
)  e.  X  /\  A. u  e.  X  ( ( ( ( inv g `  G ) `
 z )  .+  u )  e.  S  <->  ( u  .+  ( ( inv g `  G
) `  z )
)  e.  S ) ) )
9255, 90, 91sylanbrc 646 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  ->  ( ( inv g `  G ) `  z
)  e.  N )
9352, 92jca 519 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  ->  ( A. w  e.  N  ( z  .+  w )  e.  N  /\  ( ( inv g `  G ) `  z
)  e.  N ) )
9493ralrimiva 2781 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  A. z  e.  N  ( A. w  e.  N  (
z  .+  w )  e.  N  /\  (
( inv g `  G ) `  z
)  e.  N ) )
955, 8, 53issubg2 14951 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( N  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( N  C_  X  /\  N  =/=  (/)  /\  A. z  e.  N  ( A. w  e.  N  ( z  .+  w
)  e.  N  /\  ( ( inv g `  G ) `  z
)  e.  N ) ) ) )
964, 17, 94, 95mpbir3and 1137 1  |-  ( G  e.  Grp  ->  N  e.  (SubGrp `  G )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   {crab 2701    C_ wss 3312   (/)c0 3620   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13461   +g cplusg 13521   0gc0g 13715   Grpcgrp 14677   inv gcminusg 14678  SubGrpcsubg 14930
This theorem is referenced by:  nmznsg  14976  sylow3lem3  15255  sylow3lem4  15256  sylow3lem6  15258
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-subg 14933
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