Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmzsubg Structured version   Unicode version

Theorem nmzsubg 14986
 Description: The normalizer NG(S) of a subset of the group is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
elnmz.1
nmzsubg.2
nmzsubg.3
Assertion
Ref Expression
nmzsubg SubGrp
Distinct variable groups:   ,,   ,,   , ,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem nmzsubg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnmz.1 . . . 4
2 ssrab2 3430 . . . 4
31, 2eqsstri 3380 . . 3
43a1i 11 . 2
5 nmzsubg.2 . . . . 5
6 eqid 2438 . . . . 5
75, 6grpidcl 14838 . . . 4
8 nmzsubg.3 . . . . . . . 8
95, 8, 6grplid 14840 . . . . . . 7
105, 8, 6grprid 14841 . . . . . . 7
119, 10eqtr4d 2473 . . . . . 6
1211eleq1d 2504 . . . . 5
1312ralrimiva 2791 . . . 4
141elnmz 14984 . . . 4
157, 13, 14sylanbrc 647 . . 3
16 ne0i 3636 . . 3
1715, 16syl 16 . 2
18 id 21 . . . . . . . 8
193sseli 3346 . . . . . . . 8
203sseli 3346 . . . . . . . 8
215, 8grpcl 14823 . . . . . . . 8
2218, 19, 20, 21syl3an 1227 . . . . . . 7
23 simpl1 961 . . . . . . . . . . 11
24 simpl2 962 . . . . . . . . . . . 12
253, 24sseldi 3348 . . . . . . . . . . 11
26 simpl3 963 . . . . . . . . . . . 12
273, 26sseldi 3348 . . . . . . . . . . 11
28 simpr 449 . . . . . . . . . . 11
295, 8grpass 14824 . . . . . . . . . . 11
3023, 25, 27, 28, 29syl13anc 1187 . . . . . . . . . 10
3130eleq1d 2504 . . . . . . . . 9
325, 8grpcl 14823 . . . . . . . . . . . 12
3323, 27, 28, 32syl3anc 1185 . . . . . . . . . . 11
341nmzbi 14985 . . . . . . . . . . 11
3524, 33, 34syl2anc 644 . . . . . . . . . 10
365, 8grpass 14824 . . . . . . . . . . . 12
3723, 27, 28, 25, 36syl13anc 1187 . . . . . . . . . . 11
3837eleq1d 2504 . . . . . . . . . 10
395, 8grpcl 14823 . . . . . . . . . . . 12
4023, 28, 25, 39syl3anc 1185 . . . . . . . . . . 11
411nmzbi 14985 . . . . . . . . . . 11
4226, 40, 41syl2anc 644 . . . . . . . . . 10
4335, 38, 423bitrd 272 . . . . . . . . 9
445, 8grpass 14824 . . . . . . . . . . 11
4523, 28, 25, 27, 44syl13anc 1187 . . . . . . . . . 10
4645eleq1d 2504 . . . . . . . . 9
4731, 43, 463bitrd 272 . . . . . . . 8
4847ralrimiva 2791 . . . . . . 7
491elnmz 14984 . . . . . . 7
5022, 48, 49sylanbrc 647 . . . . . 6
51503expa 1154 . . . . 5
5251ralrimiva 2791 . . . 4
53 eqid 2438 . . . . . . 7
545, 53grpinvcl 14855 . . . . . 6
5519, 54sylan2 462 . . . . 5
56 simplr 733 . . . . . . . 8
57 simpll 732 . . . . . . . . 9
5855adantr 453 . . . . . . . . 9
59 simpr 449 . . . . . . . . . 10
605, 8grpcl 14823 . . . . . . . . . 10
6157, 59, 58, 60syl3anc 1185 . . . . . . . . 9
625, 8grpcl 14823 . . . . . . . . 9
6357, 58, 61, 62syl3anc 1185 . . . . . . . 8
641nmzbi 14985 . . . . . . . 8
6556, 63, 64syl2anc 644 . . . . . . 7
663, 56sseldi 3348 . . . . . . . . . . 11
675, 8, 6, 53grprinv 14857 . . . . . . . . . . 11
6857, 66, 67syl2anc 644 . . . . . . . . . 10
6968oveq1d 6099 . . . . . . . . 9
705, 8grpass 14824 . . . . . . . . . 10
7157, 66, 58, 61, 70syl13anc 1187 . . . . . . . . 9
725, 8, 6grplid 14840 . . . . . . . . . 10
7357, 61, 72syl2anc 644 . . . . . . . . 9
7469, 71, 733eqtr3d 2478 . . . . . . . 8
7574eleq1d 2504 . . . . . . 7
765, 8grpass 14824 . . . . . . . . . 10
7757, 58, 61, 66, 76syl13anc 1187 . . . . . . . . 9
785, 8grpass 14824 . . . . . . . . . . . 12
7957, 59, 58, 66, 78syl13anc 1187 . . . . . . . . . . 11
805, 8, 6, 53grplinv 14856 . . . . . . . . . . . . 13
8157, 66, 80syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12
8281oveq2d 6100 . . . . . . . . . . 11
835, 8, 6grprid 14841 . . . . . . . . . . . 12
8457, 59, 83syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11
8579, 82, 843eqtrd 2474 . . . . . . . . . 10
8685oveq2d 6100 . . . . . . . . 9
8777, 86eqtrd 2470 . . . . . . . 8
8887eleq1d 2504 . . . . . . 7
8965, 75, 883bitr3rd 277 . . . . . 6
9089ralrimiva 2791 . . . . 5
911elnmz 14984 . . . . 5
9255, 90, 91sylanbrc 647 . . . 4
9352, 92jca 520 . . 3
9493ralrimiva 2791 . 2
955, 8, 53issubg2 14964 . 2 SubGrp
964, 17, 94, 95mpbir3and 1138 1 SubGrp
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wral 2707  crab 2711   wss 3322  c0 3630  cfv 5457  (class class class)co 6084  cbs 13474   cplusg 13534  c0g 13728  cgrp 14690  cminusg 14691  SubGrpcsubg 14943 This theorem is referenced by:  nmznsg  14989  sylow3lem3  15268  sylow3lem4  15269  sylow3lem6  15271 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-0g 13732  df-mnd 14695  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-subg 14946
 Copyright terms: Public domain W3C validator