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Theorem nmzsubg 14674
Description: The normalizer NG(S) of a subset  S of the group is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
elnmz.1  |-  N  =  { x  e.  X  |  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  <->  ( y  .+  x )  e.  S ) }
nmzsubg.2  |-  X  =  ( Base `  G
)
nmzsubg.3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
nmzsubg  |-  ( G  e.  Grp  ->  N  e.  (SubGrp `  G )
)
Distinct variable groups:    x, y, G    x, S, y    x,  .+ , y    x, X, y
Allowed substitution hints:    N( x, y)

Proof of Theorem nmzsubg
Dummy variables  z  w  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnmz.1 . . . 4  |-  N  =  { x  e.  X  |  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  <->  ( y  .+  x )  e.  S ) }
2 ssrab2 3271 . . . 4  |-  { x  e.  X  |  A. y  e.  X  (
( x  .+  y
)  e.  S  <->  ( y  .+  x )  e.  S
) }  C_  X
31, 2eqsstri 3221 . . 3  |-  N  C_  X
43a1i 10 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  N  C_  X )
5 nmzsubg.2 . . . . 5  |-  X  =  ( Base `  G
)
6 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
75, 6grpidcl 14526 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
8 nmzsubg.3 . . . . . . . 8  |-  .+  =  ( +g  `  G )
95, 8, 6grplid 14528 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X )  ->  ( ( 0g `  G )  .+  z
)  =  z )
105, 8, 6grprid 14529 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X )  ->  ( z  .+  ( 0g `  G ) )  =  z )
119, 10eqtr4d 2331 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X )  ->  ( ( 0g `  G )  .+  z
)  =  ( z 
.+  ( 0g `  G ) ) )
1211eleq1d 2362 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X )  ->  ( ( ( 0g
`  G )  .+  z )  e.  S  <->  ( z  .+  ( 0g
`  G ) )  e.  S ) )
1312ralrimiva 2639 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  A. z  e.  X  ( (
( 0g `  G
)  .+  z )  e.  S  <->  ( z  .+  ( 0g `  G ) )  e.  S ) )
141elnmz 14672 . . . 4  |-  ( ( 0g `  G )  e.  N  <->  ( ( 0g `  G )  e.  X  /\  A. z  e.  X  ( (
( 0g `  G
)  .+  z )  e.  S  <->  ( z  .+  ( 0g `  G ) )  e.  S ) ) )
157, 13, 14sylanbrc 645 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  N )
16 ne0i 3474 . . 3  |-  ( ( 0g `  G )  e.  N  ->  N  =/=  (/) )
1715, 16syl 15 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  N  =/=  (/) )
18 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Grp )
193sseli 3189 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  N  ->  z  e.  X )
203sseli 3189 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  N  ->  w  e.  X )
215, 8grpcl 14511 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X  /\  w  e.  X )  ->  ( z  .+  w
)  e.  X )
2218, 19, 20, 21syl3an 1224 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  ->  ( z  .+  w
)  e.  X )
23 simpl1 958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  G  e.  Grp )
24 simpl2 959 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  z  e.  N )
253, 24sseldi 3191 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  z  e.  X )
26 simpl3 960 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  w  e.  N )
273, 26sseldi 3191 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  w  e.  X )
28 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  u  e.  X )
295, 8grpass 14512 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X  /\  u  e.  X
) )  ->  (
( z  .+  w
)  .+  u )  =  ( z  .+  ( w  .+  u ) ) )
3023, 25, 27, 28, 29syl13anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
z  .+  w )  .+  u )  =  ( z  .+  ( w 
.+  u ) ) )
3130eleq1d 2362 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
( z  .+  w
)  .+  u )  e.  S  <->  ( z  .+  ( w  .+  u ) )  e.  S ) )
325, 8grpcl 14511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  w  e.  X  /\  u  e.  X )  ->  ( w  .+  u
)  e.  X )
3323, 27, 28, 32syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( w  .+  u )  e.  X
)
341nmzbi 14673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  N  /\  ( w  .+  u )  e.  X )  -> 
( ( z  .+  ( w  .+  u ) )  e.  S  <->  ( (
w  .+  u )  .+  z )  e.  S
) )
3524, 33, 34syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
z  .+  ( w  .+  u ) )  e.  S  <->  ( ( w 
.+  u )  .+  z )  e.  S
) )
365, 8grpass 14512 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( w  e.  X  /\  u  e.  X  /\  z  e.  X
) )  ->  (
( w  .+  u
)  .+  z )  =  ( w  .+  ( u  .+  z ) ) )
3723, 27, 28, 25, 36syl13anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
w  .+  u )  .+  z )  =  ( w  .+  ( u 
.+  z ) ) )
3837eleq1d 2362 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
( w  .+  u
)  .+  z )  e.  S  <->  ( w  .+  ( u  .+  z ) )  e.  S ) )
395, 8grpcl 14511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  u  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( u  .+  z
)  e.  X )
4023, 28, 25, 39syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( u  .+  z )  e.  X
)
411nmzbi 14673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  N  /\  ( u  .+  z )  e.  X )  -> 
( ( w  .+  ( u  .+  z ) )  e.  S  <->  ( (
u  .+  z )  .+  w )  e.  S
) )
4226, 40, 41syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
w  .+  ( u  .+  z ) )  e.  S  <->  ( ( u 
.+  z )  .+  w )  e.  S
) )
4335, 38, 423bitrd 270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
z  .+  ( w  .+  u ) )  e.  S  <->  ( ( u 
.+  z )  .+  w )  e.  S
) )
445, 8grpass 14512 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( u  e.  X  /\  z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  ->  (
( u  .+  z
)  .+  w )  =  ( u  .+  ( z  .+  w
) ) )
4523, 28, 25, 27, 44syl13anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
u  .+  z )  .+  w )  =  ( u  .+  ( z 
.+  w ) ) )
4645eleq1d 2362 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
( u  .+  z
)  .+  w )  e.  S  <->  ( u  .+  ( z  .+  w
) )  e.  S
) )
4731, 43, 463bitrd 270 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
( z  .+  w
)  .+  u )  e.  S  <->  ( u  .+  ( z  .+  w
) )  e.  S
) )
4847ralrimiva 2639 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  ->  A. u  e.  X  ( ( ( z 
.+  w )  .+  u )  e.  S  <->  ( u  .+  ( z 
.+  w ) )  e.  S ) )
491elnmz 14672 . . . . . . 7  |-  ( ( z  .+  w )  e.  N  <->  ( (
z  .+  w )  e.  X  /\  A. u  e.  X  ( (
( z  .+  w
)  .+  u )  e.  S  <->  ( u  .+  ( z  .+  w
) )  e.  S
) ) )
5022, 48, 49sylanbrc 645 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  ->  ( z  .+  w
)  e.  N )
51503expa 1151 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  w  e.  N
)  ->  ( z  .+  w )  e.  N
)
5251ralrimiva 2639 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  ->  A. w  e.  N  ( z  .+  w
)  e.  N )
53 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
545, 53grpinvcl 14543 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X )  ->  ( ( inv g `  G ) `  z
)  e.  X )
5519, 54sylan2 460 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  ->  ( ( inv g `  G ) `  z
)  e.  X )
56 simplr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  z  e.  N )
57 simpll 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  G  e.  Grp )
5855adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( ( inv g `  G ) `
 z )  e.  X )
59 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  u  e.  X )
605, 8grpcl 14511 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  u  e.  X  /\  ( ( inv g `  G ) `  z
)  e.  X )  ->  ( u  .+  ( ( inv g `  G ) `  z
) )  e.  X
)
6157, 59, 58, 60syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( u  .+  ( ( inv g `  G ) `  z
) )  e.  X
)
625, 8grpcl 14511 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( inv g `  G ) `  z
)  e.  X  /\  ( u  .+  ( ( inv g `  G
) `  z )
)  e.  X )  ->  ( ( ( inv g `  G
) `  z )  .+  ( u  .+  (
( inv g `  G ) `  z
) ) )  e.  X )
6357, 58, 61, 62syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
( inv g `  G ) `  z
)  .+  ( u  .+  ( ( inv g `  G ) `  z
) ) )  e.  X )
641nmzbi 14673 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  N  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 z )  .+  ( u  .+  ( ( inv g `  G
) `  z )
) )  e.  X
)  ->  ( (
z  .+  ( (
( inv g `  G ) `  z
)  .+  ( u  .+  ( ( inv g `  G ) `  z
) ) ) )  e.  S  <->  ( (
( ( inv g `  G ) `  z
)  .+  ( u  .+  ( ( inv g `  G ) `  z
) ) )  .+  z )  e.  S
) )
6556, 63, 64syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
z  .+  ( (
( inv g `  G ) `  z
)  .+  ( u  .+  ( ( inv g `  G ) `  z
) ) ) )  e.  S  <->  ( (
( ( inv g `  G ) `  z
)  .+  ( u  .+  ( ( inv g `  G ) `  z
) ) )  .+  z )  e.  S
) )
663, 56sseldi 3191 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  z  e.  X )
675, 8, 6, 53grprinv 14545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X )  ->  ( z  .+  (
( inv g `  G ) `  z
) )  =  ( 0g `  G ) )
6857, 66, 67syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( z  .+  ( ( inv g `  G ) `  z
) )  =  ( 0g `  G ) )
6968oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
z  .+  ( ( inv g `  G ) `
 z ) ) 
.+  ( u  .+  ( ( inv g `  G ) `  z
) ) )  =  ( ( 0g `  G )  .+  (
u  .+  ( ( inv g `  G ) `
 z ) ) ) )
705, 8grpass 14512 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( z  e.  X  /\  ( ( inv g `  G ) `  z
)  e.  X  /\  ( u  .+  ( ( inv g `  G
) `  z )
)  e.  X ) )  ->  ( (
z  .+  ( ( inv g `  G ) `
 z ) ) 
.+  ( u  .+  ( ( inv g `  G ) `  z
) ) )  =  ( z  .+  (
( ( inv g `  G ) `  z
)  .+  ( u  .+  ( ( inv g `  G ) `  z
) ) ) ) )
7157, 66, 58, 61, 70syl13anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
z  .+  ( ( inv g `  G ) `
 z ) ) 
.+  ( u  .+  ( ( inv g `  G ) `  z
) ) )  =  ( z  .+  (
( ( inv g `  G ) `  z
)  .+  ( u  .+  ( ( inv g `  G ) `  z
) ) ) ) )
725, 8, 6grplid 14528 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( u  .+  ( ( inv g `  G
) `  z )
)  e.  X )  ->  ( ( 0g
`  G )  .+  ( u  .+  ( ( inv g `  G
) `  z )
) )  =  ( u  .+  ( ( inv g `  G
) `  z )
) )
7357, 61, 72syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( ( 0g `  G )  .+  ( u  .+  ( ( inv g `  G
) `  z )
) )  =  ( u  .+  ( ( inv g `  G
) `  z )
) )
7469, 71, 733eqtr3d 2336 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( z  .+  ( ( ( inv g `  G ) `
 z )  .+  ( u  .+  ( ( inv g `  G
) `  z )
) ) )  =  ( u  .+  (
( inv g `  G ) `  z
) ) )
7574eleq1d 2362 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
z  .+  ( (
( inv g `  G ) `  z
)  .+  ( u  .+  ( ( inv g `  G ) `  z
) ) ) )  e.  S  <->  ( u  .+  ( ( inv g `  G ) `  z
) )  e.  S
) )
765, 8grpass 14512 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 z )  e.  X  /\  ( u 
.+  ( ( inv g `  G ) `
 z ) )  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( ( ( inv g `  G
) `  z )  .+  ( u  .+  (
( inv g `  G ) `  z
) ) )  .+  z )  =  ( ( ( inv g `  G ) `  z
)  .+  ( (
u  .+  ( ( inv g `  G ) `
 z ) ) 
.+  z ) ) )
7757, 58, 61, 66, 76syl13anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
( ( inv g `  G ) `  z
)  .+  ( u  .+  ( ( inv g `  G ) `  z
) ) )  .+  z )  =  ( ( ( inv g `  G ) `  z
)  .+  ( (
u  .+  ( ( inv g `  G ) `
 z ) ) 
.+  z ) ) )
785, 8grpass 14512 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( u  e.  X  /\  ( ( inv g `  G ) `  z
)  e.  X  /\  z  e.  X )
)  ->  ( (
u  .+  ( ( inv g `  G ) `
 z ) ) 
.+  z )  =  ( u  .+  (
( ( inv g `  G ) `  z
)  .+  z )
) )
7957, 59, 58, 66, 78syl13anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
u  .+  ( ( inv g `  G ) `
 z ) ) 
.+  z )  =  ( u  .+  (
( ( inv g `  G ) `  z
)  .+  z )
) )
805, 8, 6, 53grplinv 14544 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X )  ->  ( ( ( inv g `  G ) `
 z )  .+  z )  =  ( 0g `  G ) )
8157, 66, 80syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
( inv g `  G ) `  z
)  .+  z )  =  ( 0g `  G ) )
8281oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( u  .+  ( ( ( inv g `  G ) `
 z )  .+  z ) )  =  ( u  .+  ( 0g `  G ) ) )
835, 8, 6grprid 14529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  u  e.  X )  ->  ( u  .+  ( 0g `  G ) )  =  u )
8457, 59, 83syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( u  .+  ( 0g `  G
) )  =  u )
8579, 82, 843eqtrd 2332 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
u  .+  ( ( inv g `  G ) `
 z ) ) 
.+  z )  =  u )
8685oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
( inv g `  G ) `  z
)  .+  ( (
u  .+  ( ( inv g `  G ) `
 z ) ) 
.+  z ) )  =  ( ( ( inv g `  G
) `  z )  .+  u ) )
8777, 86eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
( ( inv g `  G ) `  z
)  .+  ( u  .+  ( ( inv g `  G ) `  z
) ) )  .+  z )  =  ( ( ( inv g `  G ) `  z
)  .+  u )
)
8887eleq1d 2362 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
( ( ( inv g `  G ) `
 z )  .+  ( u  .+  ( ( inv g `  G
) `  z )
) )  .+  z
)  e.  S  <->  ( (
( inv g `  G ) `  z
)  .+  u )  e.  S ) )
8965, 75, 883bitr3rd 275 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
( ( inv g `  G ) `  z
)  .+  u )  e.  S  <->  ( u  .+  ( ( inv g `  G ) `  z
) )  e.  S
) )
9089ralrimiva 2639 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  ->  A. u  e.  X  ( ( ( ( inv g `  G
) `  z )  .+  u )  e.  S  <->  ( u  .+  ( ( inv g `  G
) `  z )
)  e.  S ) )
911elnmz 14672 . . . . 5  |-  ( ( ( inv g `  G ) `  z
)  e.  N  <->  ( (
( inv g `  G ) `  z
)  e.  X  /\  A. u  e.  X  ( ( ( ( inv g `  G ) `
 z )  .+  u )  e.  S  <->  ( u  .+  ( ( inv g `  G
) `  z )
)  e.  S ) ) )
9255, 90, 91sylanbrc 645 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  ->  ( ( inv g `  G ) `  z
)  e.  N )
9352, 92jca 518 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  ->  ( A. w  e.  N  ( z  .+  w )  e.  N  /\  ( ( inv g `  G ) `  z
)  e.  N ) )
9493ralrimiva 2639 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  A. z  e.  N  ( A. w  e.  N  (
z  .+  w )  e.  N  /\  (
( inv g `  G ) `  z
)  e.  N ) )
955, 8, 53issubg2 14652 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( N  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( N  C_  X  /\  N  =/=  (/)  /\  A. z  e.  N  ( A. w  e.  N  ( z  .+  w
)  e.  N  /\  ( ( inv g `  G ) `  z
)  e.  N ) ) ) )
964, 17, 94, 95mpbir3and 1135 1  |-  ( G  e.  Grp  ->  N  e.  (SubGrp `  G )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   {crab 2560    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   0gc0g 13416   Grpcgrp 14378   inv gcminusg 14379  SubGrpcsubg 14631
This theorem is referenced by:  nmznsg  14677  sylow3lem3  14956  sylow3lem4  14957  sylow3lem6  14959
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-subg 14634
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