MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0addcl Structured version   Unicode version

Theorem nn0addcl 10260
Description: Closure of addition of nonnegative integers. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
nn0addcl  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  +  N
)  e.  NN0 )

Proof of Theorem nn0addcl
StepHypRef Expression
1 nnsscn 10010 . 2  |-  NN  C_  CC
2 id 21 . . 3  |-  ( NN  C_  CC  ->  NN  C_  CC )
3 df-n0 10227 . . 3  |-  NN0  =  ( NN  u.  { 0 } )
4 nnaddcl 10027 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  +  N
)  e.  NN )
54adantl 454 . . 3  |-  ( ( NN  C_  CC  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN ) )  -> 
( M  +  N
)  e.  NN )
62, 3, 5un0addcl 10258 . 2  |-  ( ( NN  C_  CC  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) )  -> 
( M  +  N
)  e.  NN0 )
71, 6mpan 653 1  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  +  N
)  e.  NN0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    e. wcel 1726    C_ wss 3322  (class class class)co 6084   CCcc 8993    + caddc 8998   NNcn 10005   NN0cn0 10226
This theorem is referenced by:  nn0addcli  10262  peano2nn0  10265  nn0addcld  10283  expadd  11427  faclbnd4lem3  11591  faclbnd5  11594  faclbnd6  11595  facavg  11597  ccatlen  11749  splfv2a  11790  fsumnn0cl  12535  bcxmas  12620  eftlub  12715  4sqlem1  13321  sylow1lem1  15237  psrbagaddcl  16440  nn0subm  16759  expmhm  16781  dvnadd  19820  ply1divex  20064  coemullem  20173  coemulhi  20177  plymul0or  20203  chtublem  21000  2sqlem7  21159  vdgrf  21674  relexpsucr  25135  relexpadd  25143  nn0risefaccl  25343  psgnunilem2  27409  nn0readdcl  28121  elfzelfzadd  28133  swrd0swrd  28231  swrdswrdlem  28232  swrdswrd  28233  swrdccatin1  28239  swrdccatin12lem4  28247  cshwidxmod  28277  2cshw1lem3  28284  2cshw2lem3  28288  2cshw  28290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-ltxr 9130  df-nn 10006  df-n0 10227
  Copyright terms: Public domain W3C validator