MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0addcl Unicode version

Theorem nn0addcl 10088
Description: Closure of addition of nonnegative integers. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
nn0addcl  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  +  N
)  e.  NN0 )

Proof of Theorem nn0addcl
StepHypRef Expression
1 nnsscn 9838 . 2  |-  NN  C_  CC
2 id 19 . . 3  |-  ( NN  C_  CC  ->  NN  C_  CC )
3 df-n0 10055 . . 3  |-  NN0  =  ( NN  u.  { 0 } )
4 nnaddcl 9855 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  +  N
)  e.  NN )
54adantl 452 . . 3  |-  ( ( NN  C_  CC  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN ) )  -> 
( M  +  N
)  e.  NN )
62, 3, 5un0addcl 10086 . 2  |-  ( ( NN  C_  CC  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) )  -> 
( M  +  N
)  e.  NN0 )
71, 6mpan 651 1  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  +  N
)  e.  NN0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1710    C_ wss 3228  (class class class)co 5942   CCcc 8822    + caddc 8827   NNcn 9833   NN0cn0 10054
This theorem is referenced by:  nn0addcli  10090  peano2nn0  10093  nn0addcld  10111  expadd  11234  faclbnd4lem3  11398  faclbnd5  11401  faclbnd6  11402  facavg  11404  ccatlen  11520  splfv2a  11561  fsumnn0cl  12300  bcxmas  12385  eftlub  12480  4sqlem1  13086  sylow1lem1  15002  psrbagaddcl  16209  nn0subm  16527  expmhm  16549  dvnadd  19376  ply1divex  19620  coemullem  19729  coemulhi  19733  plymul0or  19759  chtublem  20556  2sqlem7  20715  relexpsucr  24430  relexpadd  24439  nn0risefaccl  24628  psgnunilem2  26741  vdgref  27788
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-er 6744  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-ltxr 8959  df-nn 9834  df-n0 10055
  Copyright terms: Public domain W3C validator