MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0addcld Unicode version

Theorem nn0addcld 10203
Description: Closure of addition of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0red.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
nn0addcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
nn0addcld  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  e.  NN0 )

Proof of Theorem nn0addcld
StepHypRef Expression
1 nn0red.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
2 nn0addcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN0 )
3 nn0addcl 10180 . 2  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( A  +  B
)  e.  NN0 )
41, 2, 3syl2anc 643 1  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  e.  NN0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1717  (class class class)co 6013    + caddc 8919   NN0cn0 10146
This theorem is referenced by:  expaddz  11344  bccl  11533  swrdccat2  11695  splval2  11706  mertenslem1  12581  bitsmod  12868  bitsinv1lem  12873  sadcaddlem  12889  sadadd2lem  12891  sadadd  12899  sadass  12903  smupp1  12912  smumul  12925  pcpremul  13137  gzabssqcl  13229  mul4sq  13242  4sqlem12  13244  4sqlem14  13246  4sqlem16  13248  sylow1lem1  15152  efgcpbllemb  15307  coe1tmmul2fv  16590  coe1pwmulfv  16592  mdegmullem  19861  coe1mul3  19882  deg1mul2  19897  ply1domn  19906  ply1divex  19919  plymullem  19995  coeeulem  20003  dgrmul  20048  dvntaylp  20147  taylthlem2  20150  mumullem2  20823  lgseisenlem2  20994  2sqlem8  21016  vdgrfif  21511  dmgmaddnn0  24583  subfacp1lem6  24643  rtrclreclem.trans  24918  faclim2  25118  mon1psubm  27187  itgsinexp  27410  wallispilem5  27479  wallispi2lem2  27482  stirlinglem5  27488  stirlinglem7  27490
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-ltxr 9051  df-nn 9926  df-n0 10147
  Copyright terms: Public domain W3C validator