MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0addcld Structured version   Unicode version

Theorem nn0addcld 10268
Description: Closure of addition of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0red.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
nn0addcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
nn0addcld  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  e.  NN0 )

Proof of Theorem nn0addcld
StepHypRef Expression
1 nn0red.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
2 nn0addcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN0 )
3 nn0addcl 10245 . 2  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( A  +  B
)  e.  NN0 )
41, 2, 3syl2anc 643 1  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  e.  NN0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725  (class class class)co 6073    + caddc 8983   NN0cn0 10211
This theorem is referenced by:  expaddz  11414  bccl  11603  swrdccat2  11765  splval2  11776  mertenslem1  12651  bitsmod  12938  bitsinv1lem  12943  sadcaddlem  12959  sadadd2lem  12961  sadadd  12969  sadass  12973  smupp1  12982  smumul  12995  pcpremul  13207  gzabssqcl  13299  mul4sq  13312  4sqlem12  13314  4sqlem14  13316  4sqlem16  13318  sylow1lem1  15222  efgcpbllemb  15377  coe1tmmul2fv  16660  coe1pwmulfv  16662  mdegmullem  19991  coe1mul3  20012  deg1mul2  20027  ply1domn  20036  ply1divex  20049  plymullem  20125  coeeulem  20133  dgrmul  20178  dvntaylp  20277  taylthlem2  20280  mumullem2  20953  lgseisenlem2  21124  2sqlem8  21146  vdgrfif  21660  dmgmaddnn0  24801  subfacp1lem6  24861  rtrclreclem.trans  25136  faclim2  25357  mon1psubm  27457  itgsinexp  27680  wallispilem5  27749  wallispi2lem2  27752  stirlinglem5  27758  stirlinglem7  27760
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-ltxr 9115  df-nn 9991  df-n0 10212
  Copyright terms: Public domain W3C validator