MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0cnd Structured version   Unicode version

Theorem nn0cnd 10278
Description: A nonnegative integer is a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nn0red.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
nn0cnd  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )

Proof of Theorem nn0cnd
StepHypRef Expression
1 nn0red.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
21nn0red 10277 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
32recnd 9116 1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1726   CCcc 8990   NN0cn0 10223
This theorem is referenced by:  expaddzlem  11425  expaddz  11426  expmulz  11428  facdiv  11580  faclbnd4lem3  11588  bcp1n  11609  bcn2m1  11617  bcn2p1  11618  hashgadd  11653  hashdom  11655  hashun3  11660  hashssdif  11679  hashxplem  11698  hashmap  11700  hashbclem  11703  hashf1lem2  11707  hashf1  11708  ccatcl  11745  ccatval3  11749  ccatlid  11750  ccatrid  11751  ccatass  11752  swrdid  11774  swrdccat2  11777  ccatopth2  11779  spllen  11785  splfv2a  11787  cats1un  11792  revccat  11800  isercoll2  12464  iseraltlem3  12479  binomlem  12610  bcxmas  12617  incexclem  12618  incexc  12619  incexc2  12620  climcndslem1  12631  climcndslem2  12632  arisum  12641  arisum2  12642  geomulcvg  12655  mertens  12665  effsumlt  12714  dvdsexp  12907  divalgmod  12928  bitsinv1lem  12955  sadcp1  12969  sadcaddlem  12971  sadadd2lem  12973  sadadd3  12975  sadaddlem  12980  sadasslem  12984  smupp1  12994  smumullem  13006  mulgcd  13048  absmulgcd  13049  mulgcdr  13050  gcddiv  13051  mulgcddvds  13106  qredeu  13109  odzdvds  13183  coprimeprodsq  13185  pceulem  13221  pczpre  13223  pcqmul  13229  pcaddlem  13259  pcmpt  13263  pcmpt2  13264  sumhash  13267  mul4sq  13324  4sqlem12  13326  vdwapun  13344  vdwlem2  13352  vdwlem3  13353  vdwlem6  13356  vdwlem8  13358  vdwlem9  13359  ramub1lem2  13397  ramcl  13399  mulgnn0dir  14915  mulgnn0ass  14921  lagsubg2  15003  odmodnn0  15180  odmulg  15194  odmulgeq  15195  odinv  15199  sylow1lem1  15234  sylow2a  15255  sylow2blem3  15258  sylow3lem3  15265  sylow3lem4  15266  efginvrel2  15361  efgsval2  15367  efgsp1  15371  efgredlemg  15376  efgredleme  15377  efgcpbllemb  15389  odadd2  15466  odadd  15467  torsubg  15471  frgpnabllem1  15486  pgpfaclem1  15641  mplcoe2  16532  coe1tmmul2  16670  coe1tmmul2fv  16672  coe1pwmulfv  16674  mbfi1fseqlem3  19611  dvn2bss  19818  tdeglem4  19985  tdeglem2  19986  mdegmullem  20003  coe1mul3  20024  ply1divex  20061  fta1glem1  20090  plyaddlem1  20134  plymullem1  20135  coeeulem  20145  coemulc  20175  dgrmulc  20191  dgrcolem2  20194  dgrco  20195  dvply1  20203  dvply2g  20204  plydivlem4  20215  fta1lem  20226  vieta1lem1  20229  aareccl  20245  aaliou3lem8  20264  taylply2  20286  dvtaylp  20288  dvntaylp  20289  dvntaylp0  20290  dvradcnv  20339  pserdvlem2  20346  advlogexp  20548  cxpeq  20643  atantayl3  20781  birthdaylem2  20793  harmonicbnd4  20851  wilthlem2  20854  basellem2  20866  basellem3  20867  basellem5  20869  0sgm  20929  sgmppw  20983  chtublem  20997  chpval2  21004  sumdchr2  21056  bcp1ctr  21065  lgslem1  21082  lgseisenlem2  21136  lgseisenlem3  21137  lgsquadlem1  21140  lgsquadlem2  21141  lgsquad2lem2  21145  m1lgs  21148  2sqlem8  21158  dchrisumlem1  21185  dchrisum0flblem2  21205  rpvmasum2  21208  mulogsumlem  21227  selberg2lem  21246  pntrsumo1  21261  pntrlog2bndlem4  21276  cusgrasizeinds  21487  vdgrfiun  21675  eupath2lem3  21703  divnumden2  24163  ballotlemgun  24784  dmgmaddnn0  24813  lgamucov  24824  subfacp1lem6  24873  subfacval2  24875  subfaclim  24876  cvmliftlem7  24980  relexpadd  25140  rtrclreclem.trans  25148  risefacval2  25328  fallfacval2  25329  fallfacval3  25330  risefallfac  25342  risefacp1  25347  fallfacp1  25348  fallfacfwd  25354  binomfallfaclem1  25357  binomfallfaclem2  25358  binomrisefac  25360  faclimlem1  25364  faclim2  25369  bpolycl  26100  bpolysum  26101  bpolydiflem  26102  fsumkthpow  26104  bpoly4  26107  rmxyneg  26985  rmxyadd  26986  rmyp1  26998  rmxm1  26999  rmym1  27000  rmxluc  27001  rmyluc  27002  rmxdbl  27004  rmydbl  27005  jm2.18  27061  jm2.19lem1  27062  jm2.19lem2  27063  jm2.22  27068  jm2.23  27069  jm2.25  27072  jm2.27c  27080  rmxdiophlem  27088  expdioph  27096  hbtlem4  27309  psgnunilem2  27397  stoweidlem24  27751  stirlinglem3  27803  stirlinglem7  27807  fz0addcom  28124  wrdlenccats1lenm1  28200  swrdccat3b  28241  cshwlen  28263  lstccats1fst  28285  swrdtrcfvl  28287  nbhashuvtx1  28419  frghash2spot  28514  usgreghash2spotv  28517  frgregordn0  28521
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-nn 10003  df-n0 10224
  Copyright terms: Public domain W3C validator