MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0cnd Unicode version

Theorem nn0cnd 10036
Description: A nonnegative integer is a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nn0red.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
nn0cnd  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )

Proof of Theorem nn0cnd
StepHypRef Expression
1 nn0red.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
21nn0red 10035 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
32recnd 8877 1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1696   CCcc 8751   NN0cn0 9981
This theorem is referenced by:  expaddzlem  11161  expaddz  11162  expmulz  11164  facdiv  11316  faclbnd4lem3  11324  bcp1n  11344  hashgadd  11375  hashdom  11377  hashun3  11382  hashssdif  11390  hashxplem  11401  hashmap  11403  hashbclem  11406  hashf1lem2  11410  hashf1  11411  ccatcl  11445  ccatval3  11449  ccatlid  11450  ccatrid  11451  ccatass  11452  swrdid  11474  swrdccat2  11477  ccatopth2  11479  spllen  11485  splfv2a  11487  cats1un  11492  revccat  11500  isercoll2  12158  iseraltlem3  12172  binomlem  12303  bcxmas  12310  incexclem  12311  incexc  12312  incexc2  12313  climcndslem1  12324  climcndslem2  12325  arisum  12334  arisum2  12335  geomulcvg  12348  mertens  12358  effsumlt  12407  dvdsexp  12600  divalgmod  12621  bitsinv1lem  12648  sadcp1  12662  sadcaddlem  12664  sadadd2lem  12666  sadadd3  12668  sadaddlem  12673  sadasslem  12677  smupp1  12687  smumullem  12699  mulgcd  12741  absmulgcd  12742  mulgcdr  12743  gcddiv  12744  mulgcddvds  12799  qredeu  12802  odzdvds  12876  coprimeprodsq  12878  pceulem  12914  pczpre  12916  pcqmul  12922  pcaddlem  12952  pcmpt  12956  pcmpt2  12957  sumhash  12960  mul4sq  13017  4sqlem12  13019  vdwapun  13037  vdwlem2  13045  vdwlem3  13046  vdwlem6  13049  vdwlem8  13051  vdwlem9  13052  ramub1lem2  13090  ramcl  13092  mulgnn0dir  14606  mulgnn0ass  14612  lagsubg2  14694  odmodnn0  14871  odmulg  14885  odmulgeq  14886  odinv  14890  sylow1lem1  14925  sylow2a  14946  sylow2blem3  14949  sylow3lem3  14956  sylow3lem4  14957  efginvrel2  15052  efgsval2  15058  efgsp1  15062  efgredlemg  15067  efgredleme  15068  efgcpbllemb  15080  odadd2  15157  odadd  15158  torsubg  15162  frgpnabllem1  15177  pgpfaclem1  15332  mplcoe2  16227  coe1tmmul2  16368  coe1tmmul2fv  16370  coe1pwmulfv  16372  mbfi1fseqlem3  19088  dvn2bss  19295  tdeglem4  19462  tdeglem2  19463  mdegmullem  19480  coe1mul3  19501  ply1divex  19538  fta1glem1  19567  plyaddlem1  19611  plymullem1  19612  coeeulem  19622  coemulc  19652  dgrmulc  19668  dgrcolem2  19671  dgrco  19672  dvply1  19680  dvply2g  19681  plydivlem4  19692  fta1lem  19703  vieta1lem1  19706  aareccl  19722  aaliou3lem8  19741  taylply2  19763  dvtaylp  19765  dvntaylp  19766  dvntaylp0  19767  dvradcnv  19813  pserdvlem2  19820  advlogexp  20018  cxpeq  20113  atantayl3  20251  birthdaylem2  20263  harmonicbnd4  20320  wilthlem2  20323  basellem2  20335  basellem3  20336  basellem5  20338  0sgm  20398  sgmppw  20452  chtublem  20466  chpval2  20473  sumdchr2  20525  bcp1ctr  20534  lgslem1  20551  lgseisenlem2  20605  lgseisenlem3  20606  lgsquadlem1  20609  lgsquadlem2  20610  lgsquad2lem2  20614  m1lgs  20617  2sqlem8  20627  dchrisumlem1  20654  dchrisum0flblem2  20674  rpvmasum2  20677  mulogsumlem  20696  selberg2lem  20715  pntrsumo1  20730  pntrlog2bndlem4  20745  ballotlemgun  23099  dmgmseqn0  23711  subfacp1lem6  23731  subfacval2  23733  subfaclim  23734  cvmliftlem7  23837  vdgrun  23908  eupath2lem3  23918  relexpadd  24050  rtrclreclem.trans  24058  faclimlem9  24125  bpolycl  24859  bpolysum  24860  bpolydiflem  24861  fsumkthpow  24863  bpoly4  24866  rmxyneg  27108  rmxyadd  27109  rmyp1  27121  rmxm1  27122  rmym1  27123  rmxluc  27124  rmyluc  27125  rmxdbl  27127  rmydbl  27128  jm2.18  27184  jm2.19lem1  27185  jm2.19lem2  27186  jm2.22  27191  jm2.23  27192  jm2.25  27195  jm2.27c  27203  rmxdiophlem  27211  expdioph  27219  hbtlem4  27433  psgnunilem2  27521  stirlinglem3  27928  stirlinglem7  27932
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-nn 9763  df-n0 9982
  Copyright terms: Public domain W3C validator