MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0cnd Unicode version

Theorem nn0cnd 10020
Description: A nonnegative integer is a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nn0red.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
nn0cnd  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )

Proof of Theorem nn0cnd
StepHypRef Expression
1 nn0red.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
21nn0red 10019 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
32recnd 8861 1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684   CCcc 8735   NN0cn0 9965
This theorem is referenced by:  expaddzlem  11145  expaddz  11146  expmulz  11148  facdiv  11300  faclbnd4lem3  11308  bcp1n  11328  hashgadd  11359  hashdom  11361  hashun3  11366  hashssdif  11374  hashxplem  11385  hashmap  11387  hashbclem  11390  hashf1lem2  11394  hashf1  11395  ccatcl  11429  ccatval3  11433  ccatlid  11434  ccatrid  11435  ccatass  11436  swrdid  11458  swrdccat2  11461  ccatopth2  11463  spllen  11469  splfv2a  11471  cats1un  11476  revccat  11484  isercoll2  12142  iseraltlem3  12156  binomlem  12287  bcxmas  12294  incexclem  12295  incexc  12296  incexc2  12297  climcndslem1  12308  climcndslem2  12309  arisum  12318  arisum2  12319  geomulcvg  12332  mertens  12342  effsumlt  12391  dvdsexp  12584  divalgmod  12605  bitsinv1lem  12632  sadcp1  12646  sadcaddlem  12648  sadadd2lem  12650  sadadd3  12652  sadaddlem  12657  sadasslem  12661  smupp1  12671  smumullem  12683  mulgcd  12725  absmulgcd  12726  mulgcdr  12727  gcddiv  12728  mulgcddvds  12783  qredeu  12786  odzdvds  12860  coprimeprodsq  12862  pceulem  12898  pczpre  12900  pcqmul  12906  pcaddlem  12936  pcmpt  12940  pcmpt2  12941  sumhash  12944  mul4sq  13001  4sqlem12  13003  vdwapun  13021  vdwlem2  13029  vdwlem3  13030  vdwlem6  13033  vdwlem8  13035  vdwlem9  13036  ramub1lem2  13074  ramcl  13076  mulgnn0dir  14590  mulgnn0ass  14596  lagsubg2  14678  odmodnn0  14855  odmulg  14869  odmulgeq  14870  odinv  14874  sylow1lem1  14909  sylow2a  14930  sylow2blem3  14933  sylow3lem3  14940  sylow3lem4  14941  efginvrel2  15036  efgsval2  15042  efgsp1  15046  efgredlemg  15051  efgredleme  15052  efgcpbllemb  15064  odadd2  15141  odadd  15142  torsubg  15146  frgpnabllem1  15161  pgpfaclem1  15316  mplcoe2  16211  coe1tmmul2  16352  coe1tmmul2fv  16354  coe1pwmulfv  16356  mbfi1fseqlem3  19072  dvn2bss  19279  tdeglem4  19446  tdeglem2  19447  mdegmullem  19464  coe1mul3  19485  ply1divex  19522  fta1glem1  19551  plyaddlem1  19595  plymullem1  19596  coeeulem  19606  coemulc  19636  dgrmulc  19652  dgrcolem2  19655  dgrco  19656  dvply1  19664  dvply2g  19665  plydivlem4  19676  fta1lem  19687  vieta1lem1  19690  aareccl  19706  aaliou3lem8  19725  taylply2  19747  dvtaylp  19749  dvntaylp  19750  dvntaylp0  19751  dvradcnv  19797  pserdvlem2  19804  advlogexp  20002  cxpeq  20097  atantayl3  20235  birthdaylem2  20247  harmonicbnd4  20304  wilthlem2  20307  basellem2  20319  basellem3  20320  basellem5  20322  0sgm  20382  sgmppw  20436  chtublem  20450  chpval2  20457  sumdchr2  20509  bcp1ctr  20518  lgslem1  20535  lgseisenlem2  20589  lgseisenlem3  20590  lgsquadlem1  20593  lgsquadlem2  20594  lgsquad2lem2  20598  m1lgs  20601  2sqlem8  20611  dchrisumlem1  20638  dchrisum0flblem2  20658  rpvmasum2  20661  mulogsumlem  20680  selberg2lem  20699  pntrsumo1  20714  pntrlog2bndlem4  20729  ballotlemgun  23083  dmgmseqn0  23696  subfacp1lem6  23716  subfacval2  23718  subfaclim  23719  cvmliftlem7  23822  vdgrun  23893  eupath2lem3  23903  relexpadd  24035  rtrclreclem.trans  24043  bpolycl  24787  bpolysum  24788  bpolydiflem  24789  fsumkthpow  24791  bpoly4  24794  rmxyneg  27005  rmxyadd  27006  rmyp1  27018  rmxm1  27019  rmym1  27020  rmxluc  27021  rmyluc  27022  rmxdbl  27024  rmydbl  27025  jm2.18  27081  jm2.19lem1  27082  jm2.19lem2  27083  jm2.22  27088  jm2.23  27089  jm2.25  27092  jm2.27c  27100  rmxdiophlem  27108  expdioph  27116  hbtlem4  27330  psgnunilem2  27418  stirlinglem3  27825  stirlinglem7  27829
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-nn 9747  df-n0 9966
  Copyright terms: Public domain W3C validator