Theorem nn0ennn 7497

Description: The nonnegative integers are equinumerous to the natural numbers.

Assertion

Ref	Expression
nn0ennn	|- NN0 ~~ NN

Proof of Theorem nn0ennn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ex 6105	. 2 |- NN0 e. V
2		nn0p1nnt 6175	. 2 |- (x e. NN0 -> (x + 1) e. NN)
3		nnm1nn0t 6176	. 2 |- (y e. NN -> (y - 1) e. NN0)
4		ax1cn 5269	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
5		subaddt 5375	. . . . . . 7 |- ((y e. CC /\ 1 e. CC /\ x e. CC) -> ((y - 1) = x <-> (1 + x) = y))
6	4, 5	mp3an2 904	. . . . . 6 |- ((y e. CC /\ x e. CC) -> ((y - 1) = x <-> (1 + x) = y))
7		eqcom 1477	. . . . . 6 |- (x = (y - 1) <-> (y - 1) = x)
8		eqcom 1477	. . . . . 6 |- (y = (1 + x) <-> (1 + x) = y)
9	6, 7, 8	3bitr4g 555	. . . . 5 |- ((y e. CC /\ x e. CC) -> (x = (y - 1) <-> y = (1 + x)))
10		axaddcom 5275	. . . . . . . 8 |- ((1 e. CC /\ x e. CC) -> (1 + x) = (x + 1))
11	4, 10	mpan 695	. . . . . . 7 |- (x e. CC -> (1 + x) = (x + 1))
12	11	eqeq2d 1486	. . . . . 6 |- (x e. CC -> (y = (1 + x) <-> y = (x + 1)))
13	12	adantl 388	. . . . 5 |- ((y e. CC /\ x e. CC) -> (y = (1 + x) <-> y = (x + 1)))
14	9, 13	bitrd 528	. . . 4 |- ((y e. CC /\ x e. CC) -> (x = (y - 1) <-> y = (x + 1)))
15		nncnt 5930	. . . 4 |- (y e. NN -> y e. CC)
16		nn0cnt 6109	. . . 4 |- (x e. NN0 -> x e. CC)
17	14, 15, 16	syl2an 454	. . 3 |- ((y e. NN /\ x e. NN0) -> (x = (y - 1) <-> y = (x + 1)))
18	17	ancoms 436	. 2 |- ((x e. NN0 /\ y e. NN) -> (x = (y - 1) <-> y = (x + 1)))
19	1, 2, 3, 18	en3 4403	1 |- NN0 ~~ NN

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958   class class class wbr 2619  (class class class)co 3963   ~~ cen 4364  CCcc 5232  1c1 5235   + caddc 5237   - cmin 5292  NNcn 5296  NN0cn0 5297

This theorem is referenced by:  nnenom 7498  znnen 7502

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-n 5925  df-n0 6100  df-z 6136

Copyright terms: Public domain