MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0ex Unicode version

Theorem nn0ex 9987
Description: The set of nonnegative integers exists. (Contributed by NM, 18-Jul-2004.)
Assertion
Ref Expression
nn0ex  |-  NN0  e.  _V

Proof of Theorem nn0ex
StepHypRef Expression
1 df-n0 9982 . 2  |-  NN0  =  ( NN  u.  { 0 } )
2 nnex 9768 . . 3  |-  NN  e.  _V
3 snex 4232 . . 3  |-  { 0 }  e.  _V
42, 3unex 4534 . 2  |-  ( NN  u.  { 0 } )  e.  _V
51, 4eqeltri 2366 1  |-  NN0  e.  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    u. cun 3163   {csn 3653   0cc0 8753   NNcn 9762   NN0cn0 9981
This theorem is referenced by:  nn0ennn  11057  nnenom  11058  expcnv  12338  geolim  12342  cvgrat  12355  mertenslem2  12357  eftlub  12405  bitsfval  12630  bitsf  12634  sadfval  12659  smufval  12684  smupf  12685  1arith  12990  ramcl  13092  psrbag  16128  coe1fval  16302  fvcoe1  16304  coe1fval3  16305  coe1f2  16306  coe1sfi  16309  00ply1bas  16334  ply1plusgfvi  16336  coe1z  16356  coe1add  16357  coe1addfv  16358  coe1mul2lem1  16360  coe1mul2lem2  16361  coe1mul2  16362  coe1tm  16365  coe1sclmul  16374  coe1sclmulfv  16375  coe1sclmul2  16376  ply1coe  16384  dyadmax  18969  cpnfval  19297  deg1ldg  19494  deg1leb  19497  deg1val  19498  deg1mul3  19517  uc1pmon1p  19553  plyval  19591  elply2  19594  plyf  19596  elplyr  19599  plyeq0lem  19608  plyeq0  19609  plypf1  19610  plyaddlem1  19611  plyaddlem  19613  plymullem  19614  coeeulem  19622  coeeq  19625  dgrlem  19627  coeidlem  19635  coeaddlem  19646  coemulc  19652  coe0  19653  coesub  19654  dgradd2  19665  dgrcolem2  19671  plydivlem4  19692  plydiveu  19694  vieta1lem2  19707  taylfval  19754  pserval  19802  dvradcnv  19813  pserdvlem2  19820  abelthlem1  19823  abelthlem3  19825  abelthlem6  19828  logtayl  20023  leibpi  20254  sqff1o  20436  iseupa  23896  dfrtrclrec2  24055  rtrclreclem.refl  24056  rtrclreclem.subset  24057  rtrclreclem.min  24059  bpolylem  24855  isKleene  26091  heiborlem3  26640  eldiophb  26939  diophrw  26941  hbtlem1  27430  hbtlem7  27432  dgrsub2  27442  mpaaeu  27458  deg1mhm  27629
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-nn 9763  df-n0 9982
  Copyright terms: Public domain W3C validator