MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0ex Unicode version

Theorem nn0ex 9971
Description: The set of nonnegative integers exists. (Contributed by NM, 18-Jul-2004.)
Assertion
Ref Expression
nn0ex  |-  NN0  e.  _V

Proof of Theorem nn0ex
StepHypRef Expression
1 df-n0 9966 . 2  |-  NN0  =  ( NN  u.  { 0 } )
2 nnex 9752 . . 3  |-  NN  e.  _V
3 snex 4216 . . 3  |-  { 0 }  e.  _V
42, 3unex 4518 . 2  |-  ( NN  u.  { 0 } )  e.  _V
51, 4eqeltri 2353 1  |-  NN0  e.  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    u. cun 3150   {csn 3640   0cc0 8737   NNcn 9746   NN0cn0 9965
This theorem is referenced by:  nn0ennn  11041  nnenom  11042  expcnv  12322  geolim  12326  cvgrat  12339  mertenslem2  12341  eftlub  12389  bitsfval  12614  bitsf  12618  sadfval  12643  smufval  12668  smupf  12669  1arith  12974  ramcl  13076  psrbag  16112  coe1fval  16286  fvcoe1  16288  coe1fval3  16289  coe1f2  16290  coe1sfi  16293  00ply1bas  16318  ply1plusgfvi  16320  coe1z  16340  coe1add  16341  coe1addfv  16342  coe1mul2lem1  16344  coe1mul2lem2  16345  coe1mul2  16346  coe1tm  16349  coe1sclmul  16358  coe1sclmulfv  16359  coe1sclmul2  16360  ply1coe  16368  dyadmax  18953  cpnfval  19281  deg1ldg  19478  deg1leb  19481  deg1val  19482  deg1mul3  19501  uc1pmon1p  19537  plyval  19575  elply2  19578  plyf  19580  elplyr  19583  plyeq0lem  19592  plyeq0  19593  plypf1  19594  plyaddlem1  19595  plyaddlem  19597  plymullem  19598  coeeulem  19606  coeeq  19609  dgrlem  19611  coeidlem  19619  coeaddlem  19630  coemulc  19636  coe0  19637  coesub  19638  dgradd2  19649  dgrcolem2  19655  plydivlem4  19676  plydiveu  19678  vieta1lem2  19691  taylfval  19738  pserval  19786  dvradcnv  19797  pserdvlem2  19804  abelthlem1  19807  abelthlem3  19809  abelthlem6  19812  logtayl  20007  leibpi  20238  sqff1o  20420  iseupa  23881  dfrtrclrec2  24040  rtrclreclem.refl  24041  rtrclreclem.subset  24042  rtrclreclem.min  24044  bpolylem  24783  isKleene  25988  heiborlem3  26537  eldiophb  26836  diophrw  26838  hbtlem1  27327  hbtlem7  27329  dgrsub2  27339  mpaaeu  27355  deg1mhm  27526
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-nn 9747  df-n0 9966
  Copyright terms: Public domain W3C validator