MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0ex Structured version   Unicode version

Theorem nn0ex 10229
Description: The set of nonnegative integers exists. (Contributed by NM, 18-Jul-2004.)
Assertion
Ref Expression
nn0ex  |-  NN0  e.  _V

Proof of Theorem nn0ex
StepHypRef Expression
1 df-n0 10224 . 2  |-  NN0  =  ( NN  u.  { 0 } )
2 nnex 10008 . . 3  |-  NN  e.  _V
3 snex 4407 . . 3  |-  { 0 }  e.  _V
42, 3unex 4709 . 2  |-  ( NN  u.  { 0 } )  e.  _V
51, 4eqeltri 2508 1  |-  NN0  e.  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1726   _Vcvv 2958    u. cun 3320   {csn 3816   0cc0 8992   NNcn 10002   NN0cn0 10223
This theorem is referenced by:  nn0ennn  11320  nnenom  11321  expcnv  12645  geolim  12649  cvgrat  12662  mertenslem2  12664  eftlub  12712  bitsfval  12937  bitsf  12941  sadfval  12966  smufval  12991  smupf  12992  1arith  13297  ramcl  13399  psrbag  16433  coe1fval  16605  fvcoe1  16607  coe1fval3  16608  coe1f2  16609  coe1sfi  16612  00ply1bas  16636  ply1plusgfvi  16638  coe1z  16658  coe1add  16659  coe1addfv  16660  coe1mul2lem1  16662  coe1mul2lem2  16663  coe1mul2  16664  coe1tm  16667  coe1sclmul  16676  coe1sclmulfv  16677  coe1sclmul2  16678  ply1coe  16686  dyadmax  19492  cpnfval  19820  deg1ldg  20017  deg1leb  20020  deg1val  20021  deg1mul3  20040  uc1pmon1p  20076  plyval  20114  elply2  20117  plyf  20119  elplyr  20122  plyeq0lem  20131  plyeq0  20132  plypf1  20133  plyaddlem1  20134  plyaddlem  20136  plymullem  20137  coeeulem  20145  coeeq  20148  dgrlem  20150  coeidlem  20158  coeaddlem  20169  coemulc  20175  coe0  20176  coesub  20177  dgradd2  20188  dgrcolem2  20194  plydivlem4  20215  plydiveu  20217  vieta1lem2  20230  taylfval  20277  pserval  20328  dvradcnv  20339  pserdvlem2  20346  abelthlem1  20349  abelthlem3  20351  abelthlem6  20354  logtayl  20553  leibpi  20784  sqff1o  20967  iseupa  21689  dfrtrclrec2  25145  rtrclreclem.refl  25146  rtrclreclem.subset  25147  rtrclreclem.min  25149  bpolylem  26096  heiborlem3  26524  eldiophb  26817  diophrw  26819  hbtlem1  27306  hbtlem7  27308  dgrsub2  27318  mpaaeu  27334  deg1mhm  27505  elovmptnn0wrd  28202  wwlkn  28352
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-nn 10003  df-n0 10224
  Copyright terms: Public domain W3C validator