MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0ge0 Unicode version

Theorem nn0ge0 9991
Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
nn0ge0  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_  N )

Proof of Theorem nn0ge0
StepHypRef Expression
1 elnn0 9967 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
2 nngt0 9775 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
3 id 19 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  N  =  0 )
43eqcomd 2288 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  0  =  N )
52, 4orim12i 502 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0 )  ->  ( 0  < 
N  \/  0  =  N ) )
61, 5sylbi 187 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0  <  N  \/  0  =  N ) )
7 0re 8838 . . 3  |-  0  e.  RR
8 nn0re 9974 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
9 leloe 8908 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 0  <_  N  <->  ( 0  <  N  \/  0  =  N )
) )
107, 8, 9sylancr 644 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0  <_  N  <->  ( 0  <  N  \/  0  =  N ) ) )
116, 10mpbird 223 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_  N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   RRcr 8736   0cc0 8737    < clt 8867    <_ cle 8868   NNcn 9746   NN0cn0 9965
This theorem is referenced by:  nn0nlt0  9992  nn0ge0i  9993  nn0le0eq0  9994  nn0addge1  10010  nn0addge2  10011  nn0ge0d  10021  nn0lt10b  10078  fzctr  10854  quoremnn0  10960  quoremnn0ALT  10961  bernneq  11227  bernneq3  11229  faclbnd  11303  faclbnd6  11312  facubnd  11313  bcval5  11330  bitsinv1  12633  smuval2  12673  gcdn0gt0  12701  nn0gcdid0  12704  absmulgcd  12726  algcvgblem  12747  algcvga  12749  nonsq  12830  odzdvds  12860  pcfaclem  12946  coe1sclmul  16358  coe1sclmul2  16360  prmirredlem  16446  prmirred  16448  mdegle0  19463  plypf1  19594  dgrlt  19647  fta1  19688  taylfval  19738  tayl0  19741  basellem3  20320  bcmono  20516  lgsdinn0  20579  dchrisumlem1  20638  dchrisumlem2  20639  xrsmulgzz  23307  hashf2  23452  hasheuni  23453  eldmgm  23694  clscnc  26010  rrntotbnd  26560  pell14qrgt0  26944  pell1qrgaplem  26958  monotoddzzfi  27027  jm2.17a  27047  jm2.22  27088  rmxdiophlem  27108  hashgcdlem  27516  stoweidlem24  27773  wallispilem3  27816  wallispilem4  27817  wallispi2lem1  27820  stirlinglem7  27829
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966
  Copyright terms: Public domain W3C validator