MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0ge0 Structured version   Unicode version

Theorem nn0ge0 10252
Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
nn0ge0  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_  N )

Proof of Theorem nn0ge0
StepHypRef Expression
1 elnn0 10228 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
2 nngt0 10034 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
3 id 21 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  N  =  0 )
43eqcomd 2443 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  0  =  N )
52, 4orim12i 504 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0 )  ->  ( 0  < 
N  \/  0  =  N ) )
61, 5sylbi 189 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0  <  N  \/  0  =  N ) )
7 0re 9096 . . 3  |-  0  e.  RR
8 nn0re 10235 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
9 leloe 9166 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 0  <_  N  <->  ( 0  <  N  \/  0  =  N )
) )
107, 8, 9sylancr 646 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0  <_  N  <->  ( 0  <  N  \/  0  =  N ) ) )
116, 10mpbird 225 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_  N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    = wceq 1653    e. wcel 1726   class class class wbr 4215   RRcr 8994   0cc0 8995    < clt 9125    <_ cle 9126   NNcn 10005   NN0cn0 10226
This theorem is referenced by:  nn0nlt0  10253  nn0ge0i  10254  nn0le0eq0  10255  nn0addge1  10271  nn0addge2  10272  nn0ge0d  10282  nn0lt10b  10341  nn0pnfge0  10733  fzctr  11122  injresinjlem  11204  quoremnn0  11242  quoremnn0ALT  11243  bernneq  11510  bernneq3  11512  faclbnd  11586  faclbnd6  11595  facubnd  11596  bcval5  11614  brfi1uzind  11720  bitsinv1  12959  smuval2  12999  gcdn0gt0  13027  nn0gcdid0  13030  absmulgcd  13052  algcvgblem  13073  algcvga  13075  nonsq  13156  odzdvds  13186  pcfaclem  13272  coe1sclmul  16679  coe1sclmul2  16681  prmirredlem  16778  prmirred  16780  mdegle0  20005  plypf1  20136  dgrlt  20189  fta1  20230  taylfval  20280  basellem3  20870  bcmono  21066  lgsdinn0  21129  dchrisumlem1  21188  dchrisumlem2  21189  wlkonwlk  21540  cyclnspth  21623  cyclispthon  21625  nvnencycllem  21635  xrsmulgzz  24205  hashf2  24479  hasheuni  24480  eldmgm  24811  rprisefaccl  25344  faclimlem1  25367  faclimlem3  25369  faclim  25370  iprodfac  25371  rrntotbnd  26559  pell14qrgt0  26936  pell1qrgaplem  26950  monotoddzzfi  27019  jm2.17a  27039  jm2.22  27080  rmxdiophlem  27100  hashgcdlem  27507  wallispilem3  27806  stirlinglem7  27819  0mnnnnn0  28118  elfz2z  28128  elfzelfzadd  28133  0elfz  28134  fz0fzelfz0  28141  fz0fzdiffz0  28142  fz0addge0  28143  2ffzoeq  28163  nn0ge0div  28165  modifeq2int  28184  swrd0swrd  28231  2cshw1lem1  28282  2cshw1lem2  28283  2cshw1lem3  28284  2cshw2lem1  28286  cshweqdif2s  28305  cshw1  28309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-n0 10227
  Copyright terms: Public domain W3C validator