MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0ge0 Unicode version

Theorem nn0ge0 10083
Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
nn0ge0  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_  N )

Proof of Theorem nn0ge0
StepHypRef Expression
1 elnn0 10059 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
2 nngt0 9865 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
3 id 19 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  N  =  0 )
43eqcomd 2363 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  0  =  N )
52, 4orim12i 502 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0 )  ->  ( 0  < 
N  \/  0  =  N ) )
61, 5sylbi 187 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0  <  N  \/  0  =  N ) )
7 0re 8928 . . 3  |-  0  e.  RR
8 nn0re 10066 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
9 leloe 8998 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 0  <_  N  <->  ( 0  <  N  \/  0  =  N )
) )
107, 8, 9sylancr 644 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0  <_  N  <->  ( 0  <  N  \/  0  =  N ) ) )
116, 10mpbird 223 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_  N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    = wceq 1642    e. wcel 1710   class class class wbr 4104   RRcr 8826   0cc0 8827    < clt 8957    <_ cle 8958   NNcn 9836   NN0cn0 10057
This theorem is referenced by:  nn0nlt0  10084  nn0ge0i  10085  nn0le0eq0  10086  nn0addge1  10102  nn0addge2  10103  nn0ge0d  10113  nn0lt10b  10170  fzctr  10946  quoremnn0  11052  quoremnn0ALT  11053  bernneq  11320  bernneq3  11322  faclbnd  11396  faclbnd6  11405  facubnd  11406  bcval5  11423  bitsinv1  12730  smuval2  12770  gcdn0gt0  12798  nn0gcdid0  12801  absmulgcd  12823  algcvgblem  12844  algcvga  12846  nonsq  12927  odzdvds  12957  pcfaclem  13043  coe1sclmul  16457  coe1sclmul2  16459  prmirredlem  16552  prmirred  16554  mdegle0  19567  plypf1  19698  dgrlt  19751  fta1  19792  taylfval  19842  tayl0  19845  basellem3  20432  bcmono  20628  lgsdinn0  20691  dchrisumlem1  20750  dchrisumlem2  20751  xrsmulgzz  23396  hashf2  23740  hasheuni  23741  eldmgm  24055  rprisefaccl  24629  faclimlem1  24654  faclimlem3  24656  faclim  24657  iprodfac  24658  rrntotbnd  25883  pell14qrgt0  26267  pell1qrgaplem  26281  monotoddzzfi  26350  jm2.17a  26370  jm2.22  26411  rmxdiophlem  26431  hashgcdlem  26839  stoweidlem24  27096  wallispilem3  27139  wallispilem4  27140  wallispi2lem1  27143  stirlinglem7  27152  nn0pnfge0  27455  injresinjlem  27464  brfi1uzind  27497  wlkonwlk  27687  cyclnspth  27754  cyclispthon  27756  nvnencycllem  27767
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-nn 9837  df-n0 10058
  Copyright terms: Public domain W3C validator