MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0ge0 Unicode version

Theorem nn0ge0 10211
Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
nn0ge0  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_  N )

Proof of Theorem nn0ge0
StepHypRef Expression
1 elnn0 10187 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
2 nngt0 9993 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
3 id 20 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  N  =  0 )
43eqcomd 2417 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  0  =  N )
52, 4orim12i 503 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0 )  ->  ( 0  < 
N  \/  0  =  N ) )
61, 5sylbi 188 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0  <  N  \/  0  =  N ) )
7 0re 9055 . . 3  |-  0  e.  RR
8 nn0re 10194 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
9 leloe 9125 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 0  <_  N  <->  ( 0  <  N  \/  0  =  N )
) )
107, 8, 9sylancr 645 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0  <_  N  <->  ( 0  <  N  \/  0  =  N ) ) )
116, 10mpbird 224 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_  N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    = wceq 1649    e. wcel 1721   class class class wbr 4180   RRcr 8953   0cc0 8954    < clt 9084    <_ cle 9085   NNcn 9964   NN0cn0 10185
This theorem is referenced by:  nn0nlt0  10212  nn0ge0i  10213  nn0le0eq0  10214  nn0addge1  10230  nn0addge2  10231  nn0ge0d  10241  nn0lt10b  10300  nn0pnfge0  10692  fzctr  11080  injresinjlem  11162  quoremnn0  11200  quoremnn0ALT  11201  bernneq  11468  bernneq3  11470  faclbnd  11544  faclbnd6  11553  facubnd  11554  bcval5  11572  brfi1uzind  11678  bitsinv1  12917  smuval2  12957  gcdn0gt0  12985  nn0gcdid0  12988  absmulgcd  13010  algcvgblem  13031  algcvga  13033  nonsq  13114  odzdvds  13144  pcfaclem  13230  coe1sclmul  16637  coe1sclmul2  16639  prmirredlem  16736  prmirred  16738  mdegle0  19961  plypf1  20092  dgrlt  20145  fta1  20186  taylfval  20236  basellem3  20826  bcmono  21022  lgsdinn0  21085  dchrisumlem1  21144  dchrisumlem2  21145  wlkonwlk  21496  cyclnspth  21579  cyclispthon  21581  nvnencycllem  21591  xrsmulgzz  24161  hashf2  24435  hasheuni  24436  eldmgm  24767  rprisefaccl  25299  faclimlem1  25318  faclimlem3  25320  faclim  25321  iprodfac  25322  rrntotbnd  26443  pell14qrgt0  26820  pell1qrgaplem  26834  monotoddzzfi  26903  jm2.17a  26923  jm2.22  26964  rmxdiophlem  26984  hashgcdlem  27392  wallispilem3  27691  stirlinglem7  27704  0mnnnnn0  27979  elfzelfzadd  27990  0elfz  27991  swrd0swrd  28017  swrdccatin12b  28035  swrdccat3  28037  swrdccat3b  28039
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-n0 10186
  Copyright terms: Public domain W3C validator