MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0ge0d Unicode version

Theorem nn0ge0d 10037
Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nn0red.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
nn0ge0d  |-  ( ph  ->  0  <_  A )

Proof of Theorem nn0ge0d
StepHypRef Expression
1 nn0red.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
2 nn0ge0 10007 . 2  |-  ( A  e.  NN0  ->  0  <_  A )
31, 2syl 15 1  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1696   class class class wbr 4039   0cc0 8753    <_ cle 8884   NN0cn0 9981
This theorem is referenced by:  flmulnn0  10968  zmodfz  11007  expmulnbnd  11249  facwordi  11318  faclbnd  11319  faclbnd4lem3  11324  faclbnd6  11328  facavg  11330  hashdom  11377  climcnds  12326  geomulcvg  12348  mertenslem1  12356  eftabs  12373  efcllem  12375  efaddlem  12390  eftlub  12405  oexpneg  12606  divalg2  12620  bitsfzolem  12641  bitsmod  12643  sadcaddlem  12664  sadaddlem  12673  sadasslem  12677  sadeq  12679  smueqlem  12697  gcdmultiple  12745  gcdmultiplez  12746  dvdssqlem  12754  nn0seqcvgd  12756  mulgcddvds  12799  isprm5  12807  zsqrelqelz  12845  phibndlem  12854  dfphi2  12858  pythagtriplem3  12887  pythagtriplem10  12889  pythagtriplem6  12890  pythagtriplem7  12891  pythagtriplem12  12895  pythagtriplem14  12897  iserodd  12904  pcge0  12930  pcprmpw2  12950  pcmptdvds  12958  fldivp1  12961  pcbc  12964  qexpz  12965  pockthlem  12968  pockthg  12969  prmreclem3  12981  mul4sqlem  13016  4sqlem12  13019  4sqlem14  13021  4sqlem16  13023  0ram  13083  ram0  13085  ramcl  13092  2expltfac  13121  odmodnn0  14871  pgpfi  14932  ablfac1c  15322  psrbaglesupp  16130  psrbagcon  16133  psrlidm  16164  coe1tmmul2  16368  prmirred  16464  lebnumii  18480  mbfi1fseqlem1  19086  mbfi1fseqlem3  19088  mbfi1fseqlem4  19089  mbfi1fseqlem5  19090  itg2cnlem2  19133  fta1g  19569  coemulhi  19651  dgradd2  19665  dgrco  19672  aareccl  19722  aaliou3lem8  19741  radcnvlem1  19805  dvradcnv  19813  leibpilem1  20252  wilthlem1  20322  sgmmul  20456  chtublem  20466  fsumvma2  20469  chpchtsum  20474  perfectlem2  20485  bcmono  20532  bposlem5  20543  lgsval2lem  20561  lgsval4a  20573  lgsqrlem2  20597  lgseisenlem1  20604  lgseisenlem2  20605  lgsquadlem1  20609  2sqlem3  20621  2sqlem7  20625  2sqlem8  20627  2sqblem  20632  dchrisum0re  20678  pntrlog2bndlem4  20745  pntpbnd1a  20750  ostth2lem2  20799  ostth2lem3  20800  ostth2  20802  subfaclim  23734  cvmliftlem2  23832  cvmliftlem10  23840  snmlff  23927  itg2addnclem2  25004  rrnequiv  26662  irrapxlem2  27011  irrapxlem5  27014  pellexlem1  27017  pellexlem2  27018  pellexlem5  27021  pellexlem6  27022  pell14qrgt0  27047  pell1qrge1  27058  pellfundgt1  27071  rmspecnonsq  27095  rmspecfund  27097  rmspecpos  27104  rmxypos  27137  ltrmxnn0  27139  jm2.24  27153  acongeq  27173  jm2.22  27191  jm2.23  27192  jm2.27a  27201  jm2.27c  27203  wallispilem5  27921  stirlinglem4  27929  stirlinglem5  27930  stirlinglem10  27935  stirlinglem15  27940  stirlingr  27942
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982
  Copyright terms: Public domain W3C validator