MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0ge0d Unicode version

Theorem nn0ge0d 10021
Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nn0red.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
nn0ge0d  |-  ( ph  ->  0  <_  A )

Proof of Theorem nn0ge0d
StepHypRef Expression
1 nn0red.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
2 nn0ge0 9991 . 2  |-  ( A  e.  NN0  ->  0  <_  A )
31, 2syl 15 1  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   0cc0 8737    <_ cle 8868   NN0cn0 9965
This theorem is referenced by:  flmulnn0  10952  zmodfz  10991  expmulnbnd  11233  facwordi  11302  faclbnd  11303  faclbnd4lem3  11308  faclbnd6  11312  facavg  11314  hashdom  11361  climcnds  12310  geomulcvg  12332  mertenslem1  12340  eftabs  12357  efcllem  12359  efaddlem  12374  eftlub  12389  oexpneg  12590  divalg2  12604  bitsfzolem  12625  bitsmod  12627  sadcaddlem  12648  sadaddlem  12657  sadasslem  12661  sadeq  12663  smueqlem  12681  gcdmultiple  12729  gcdmultiplez  12730  dvdssqlem  12738  nn0seqcvgd  12740  mulgcddvds  12783  isprm5  12791  zsqrelqelz  12829  phibndlem  12838  dfphi2  12842  pythagtriplem3  12871  pythagtriplem10  12873  pythagtriplem6  12874  pythagtriplem7  12875  pythagtriplem12  12879  pythagtriplem14  12881  iserodd  12888  pcge0  12914  pcprmpw2  12934  pcmptdvds  12942  fldivp1  12945  pcbc  12948  qexpz  12949  pockthlem  12952  pockthg  12953  prmreclem3  12965  mul4sqlem  13000  4sqlem12  13003  4sqlem14  13005  4sqlem16  13007  0ram  13067  ram0  13069  ramcl  13076  2expltfac  13105  odmodnn0  14855  pgpfi  14916  ablfac1c  15306  psrbaglesupp  16114  psrbagcon  16117  psrlidm  16148  coe1tmmul2  16352  prmirred  16448  lebnumii  18464  mbfi1fseqlem1  19070  mbfi1fseqlem3  19072  mbfi1fseqlem4  19073  mbfi1fseqlem5  19074  itg2cnlem2  19117  fta1g  19553  coemulhi  19635  dgradd2  19649  dgrco  19656  aareccl  19706  aaliou3lem8  19725  radcnvlem1  19789  dvradcnv  19797  leibpilem1  20236  wilthlem1  20306  sgmmul  20440  chtublem  20450  fsumvma2  20453  chpchtsum  20458  perfectlem2  20469  bcmono  20516  bposlem5  20527  lgsval2lem  20545  lgsval4a  20557  lgsqrlem2  20581  lgseisenlem1  20588  lgseisenlem2  20589  lgsquadlem1  20593  2sqlem3  20605  2sqlem7  20609  2sqlem8  20611  2sqblem  20616  dchrisum0re  20662  pntrlog2bndlem4  20729  pntpbnd1a  20734  ostth2lem2  20783  ostth2lem3  20784  ostth2  20786  subfaclim  23719  cvmliftlem2  23817  cvmliftlem10  23825  snmlff  23912  rrnequiv  26559  irrapxlem2  26908  irrapxlem5  26911  pellexlem1  26914  pellexlem2  26915  pellexlem5  26918  pellexlem6  26919  pell14qrgt0  26944  pell1qrge1  26955  pellfundgt1  26968  rmspecnonsq  26992  rmspecfund  26994  rmspecpos  27001  rmxypos  27034  ltrmxnn0  27036  jm2.24  27050  acongeq  27070  jm2.22  27088  jm2.23  27089  jm2.27a  27098  jm2.27c  27100  wallispilem5  27818  stirlinglem4  27826  stirlinglem5  27827  stirlinglem10  27832  stirlinglem15  27837  stirlingr  27839
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966
  Copyright terms: Public domain W3C validator