MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0ge0d Structured version   Unicode version

Theorem nn0ge0d 10279
Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nn0red.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
nn0ge0d  |-  ( ph  ->  0  <_  A )

Proof of Theorem nn0ge0d
StepHypRef Expression
1 nn0red.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
2 nn0ge0 10249 . 2  |-  ( A  e.  NN0  ->  0  <_  A )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1726   class class class wbr 4214   0cc0 8992    <_ cle 9123   NN0cn0 10223
This theorem is referenced by:  flmulnn0  11231  zmodfz  11270  expmulnbnd  11513  facwordi  11582  faclbnd  11583  faclbnd4lem3  11588  faclbnd6  11592  facavg  11594  hashdom  11655  climcnds  12633  geomulcvg  12655  mertenslem1  12663  eftabs  12680  efcllem  12682  efaddlem  12697  eftlub  12712  oexpneg  12913  divalg2  12927  bitsfzolem  12948  bitsmod  12950  sadcaddlem  12971  sadaddlem  12980  sadasslem  12984  sadeq  12986  smueqlem  13004  gcdmultiple  13052  gcdmultiplez  13053  dvdssqlem  13061  nn0seqcvgd  13063  mulgcddvds  13106  isprm5  13114  zsqrelqelz  13152  phibndlem  13161  dfphi2  13165  pythagtriplem3  13194  pythagtriplem10  13196  pythagtriplem6  13197  pythagtriplem7  13198  pythagtriplem12  13202  pythagtriplem14  13204  iserodd  13211  pcge0  13237  pcprmpw2  13257  pcmptdvds  13265  fldivp1  13268  pcbc  13271  qexpz  13272  pockthlem  13275  pockthg  13276  prmreclem3  13288  mul4sqlem  13323  4sqlem12  13326  4sqlem14  13328  4sqlem16  13330  0ram  13390  ram0  13392  ramcl  13399  2expltfac  13428  odmodnn0  15180  pgpfi  15241  ablfac1c  15631  psrbaglesupp  16435  psrbagcon  16438  psrlidm  16469  coe1tmmul2  16670  prmirred  16777  lebnumii  18993  mbfi1fseqlem1  19609  mbfi1fseqlem3  19611  mbfi1fseqlem4  19612  mbfi1fseqlem5  19613  itg2cnlem2  19656  fta1g  20092  coemulhi  20174  dgradd2  20188  dgrco  20195  aareccl  20245  aaliou3lem8  20264  radcnvlem1  20331  dvradcnv  20339  leibpilem1  20782  wilthlem1  20853  sgmmul  20987  chtublem  20997  fsumvma2  21000  chpchtsum  21005  perfectlem2  21016  bcmono  21063  bposlem5  21074  lgsval2lem  21092  lgsval4a  21104  lgsqrlem2  21128  lgseisenlem1  21135  lgseisenlem2  21136  lgsquadlem1  21140  2sqlem3  21152  2sqlem7  21156  2sqlem8  21158  2sqblem  21163  dchrisum0re  21209  pntrlog2bndlem4  21276  pntpbnd1a  21281  ostth2lem2  21330  ostth2lem3  21331  ostth2  21333  dmlogdmgm  24810  subfaclim  24876  cvmliftlem2  24975  cvmliftlem10  24983  snmlff  25018  itg2addnclem2  26259  rrnequiv  26546  irrapxlem2  26888  irrapxlem5  26891  pellexlem1  26894  pellexlem2  26895  pellexlem5  26898  pellexlem6  26899  pell14qrgt0  26924  pell1qrge1  26935  pellfundgt1  26948  rmspecnonsq  26972  rmspecfund  26974  rmspecpos  26981  rmxypos  27014  ltrmxnn0  27016  jm2.24  27030  acongeq  27050  jm2.22  27068  jm2.23  27069  jm2.27a  27078  jm2.27c  27080  stoweidlem24  27751  wallispilem3  27794  wallispilem4  27795  wallispilem5  27796  wallispi2lem1  27798  stirlinglem4  27804  stirlinglem5  27805  stirlinglem10  27810  stirlinglem15  27815  stirlingr  27817
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-n0 10224
  Copyright terms: Public domain W3C validator