MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0ind Unicode version

Theorem nn0ind 10124
Description: Principle of Mathematical Induction (inference schema) on nonnegative integers. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction hypothesis. (Contributed by NM, 13-May-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0ind.1  |-  ( x  =  0  ->  ( ph 
<->  ps ) )
nn0ind.2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
nn0ind.3  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( ph 
<->  th ) )
nn0ind.4  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
nn0ind.5  |-  ps
nn0ind.6  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( ch 
->  th ) )
Assertion
Ref Expression
nn0ind  |-  ( A  e.  NN0  ->  ta )
Distinct variable groups:    x, y    x, A    ps, x    ch, x    th, x    ta, x    ph, y
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)    ch( y)    th( y)    ta( y)    A( y)

Proof of Theorem nn0ind
StepHypRef Expression
1 elnn0z 10052 . 2  |-  ( A  e.  NN0  <->  ( A  e.  ZZ  /\  0  <_  A ) )
2 0z 10051 . . 3  |-  0  e.  ZZ
3 nn0ind.1 . . . 4  |-  ( x  =  0  ->  ( ph 
<->  ps ) )
4 nn0ind.2 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
5 nn0ind.3 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( ph 
<->  th ) )
6 nn0ind.4 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
7 nn0ind.5 . . . . 5  |-  ps
87a1i 10 . . . 4  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  ps )
9 elnn0z 10052 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN0  <->  ( y  e.  ZZ  /\  0  <_ 
y ) )
10 nn0ind.6 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( ch 
->  th ) )
119, 10sylbir 204 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  0  <_  y )  -> 
( ch  ->  th )
)
12113adant1 973 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ  /\  0  <_  y )  ->  ( ch  ->  th ) )
133, 4, 5, 6, 8, 12uzind 10119 . . 3  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  0  <_  A )  ->  ta )
142, 13mp3an1 1264 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  0  <_  A )  ->  ta )
151, 14sylbi 187 1  |-  ( A  e.  NN0  ->  ta )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   class class class wbr 4039  (class class class)co 5874   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    <_ cle 8884   NN0cn0 9981   ZZcz 10040
This theorem is referenced by:  nn0indALT  10125  zindd  10129  fzennn  11046  mulexp  11157  expadd  11160  expmul  11163  leexp1a  11176  bernneq  11243  modexp  11252  faccl  11314  facdiv  11316  facwordi  11318  faclbnd  11319  faclbnd6  11328  facubnd  11329  bccl  11350  wrdind  11493  cjexp  11651  absexp  11805  iseraltlem2  12171  binom  12304  bcxmas  12310  climcndslem1  12324  demoivreALT  12497  ruclem8  12531  odd2np1lem  12602  bitsinv1  12649  sadcadd  12665  sadadd2  12667  saddisjlem  12671  smu01lem  12692  smumullem  12699  alginv  12761  prmfac1  12813  pcfac  12963  ramcl  13092  mhmmulg  14615  sylow1lem1  14925  efgsrel  15059  efgsfo  15064  efgred  15073  mplcoe3  16226  cnfldexp  16423  tmdmulg  17791  expcn  18392  dvnadd  19294  dvnres  19296  dvnfre  19317  ply1divex  19538  fta1g  19569  plyco  19639  dgrco  19672  dvnply2  19683  plydivex  19693  fta1  19704  cxpmul2  20052  dchrisumlem1  20654  qabvle  20790  qabvexp  20791  ostth2lem2  20799  gxnn0add  20957  gxnn0mul  20960  subfacval2  23733  cvmliftlem7  23837  eupath2  23919  relexpsucl  24043  relexpcnv  24044  relexpdm  24047  relexprn  24048  relexpadd  24050  relexpindlem  24051  rtrclreclem.min  24059  faclim  24126  heiborlem4  26641  mzpexpmpt  26926  pell14qrexpclnn0  27054  rmxypos  27137  jm2.17a  27150  jm2.17b  27151  rmygeid  27154  jm2.19lem3  27187  hbtlem5  27435  cnsrexpcl  27473  psgnunilem3  27522  m1expeven  27828  stoweidlem17  27869  stoweidlem19  27871  wallispilem3  27919
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041
  Copyright terms: Public domain W3C validator