MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0ind Structured version   Unicode version

Theorem nn0ind 10366
Description: Principle of Mathematical Induction (inference schema) on nonnegative integers. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction hypothesis. (Contributed by NM, 13-May-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0ind.1  |-  ( x  =  0  ->  ( ph 
<->  ps ) )
nn0ind.2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
nn0ind.3  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( ph 
<->  th ) )
nn0ind.4  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
nn0ind.5  |-  ps
nn0ind.6  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( ch 
->  th ) )
Assertion
Ref Expression
nn0ind  |-  ( A  e.  NN0  ->  ta )
Distinct variable groups:    x, y    x, A    ps, x    ch, x    th, x    ta, x    ph, y
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)    ch( y)    th( y)    ta( y)    A( y)

Proof of Theorem nn0ind
StepHypRef Expression
1 elnn0z 10294 . 2  |-  ( A  e.  NN0  <->  ( A  e.  ZZ  /\  0  <_  A ) )
2 0z 10293 . . 3  |-  0  e.  ZZ
3 nn0ind.1 . . . 4  |-  ( x  =  0  ->  ( ph 
<->  ps ) )
4 nn0ind.2 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
5 nn0ind.3 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( ph 
<->  th ) )
6 nn0ind.4 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
7 nn0ind.5 . . . . 5  |-  ps
87a1i 11 . . . 4  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  ps )
9 elnn0z 10294 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN0  <->  ( y  e.  ZZ  /\  0  <_ 
y ) )
10 nn0ind.6 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( ch 
->  th ) )
119, 10sylbir 205 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  0  <_  y )  -> 
( ch  ->  th )
)
12113adant1 975 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ  /\  0  <_  y )  ->  ( ch  ->  th ) )
133, 4, 5, 6, 8, 12uzind 10361 . . 3  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  0  <_  A )  ->  ta )
142, 13mp3an1 1266 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  0  <_  A )  ->  ta )
151, 14sylbi 188 1  |-  ( A  e.  NN0  ->  ta )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4212  (class class class)co 6081   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    <_ cle 9121   NN0cn0 10221   ZZcz 10282
This theorem is referenced by:  nn0indALT  10367  zindd  10371  fzennn  11307  mulexp  11419  expadd  11422  expmul  11425  leexp1a  11438  bernneq  11505  modexp  11514  faccl  11576  facdiv  11578  facwordi  11580  faclbnd  11581  faclbnd6  11590  facubnd  11591  bccl  11613  wrdind  11791  cjexp  11955  absexp  12109  iseraltlem2  12476  binom  12609  bcxmas  12615  climcndslem1  12629  demoivreALT  12802  ruclem8  12836  odd2np1lem  12907  bitsinv1  12954  sadcadd  12970  sadadd2  12972  saddisjlem  12976  smu01lem  12997  smumullem  13004  alginv  13066  prmfac1  13118  pcfac  13268  ramcl  13397  mhmmulg  14922  sylow1lem1  15232  efgsrel  15366  efgsfo  15371  efgred  15380  mplcoe3  16529  cnfldexp  16734  tmdmulg  18122  expcn  18902  dvnadd  19815  dvnres  19817  dvnfre  19838  ply1divex  20059  fta1g  20090  plyco  20160  dgrco  20193  dvnply2  20204  plydivex  20214  fta1  20225  cxpmul2  20580  dchrisumlem1  21183  qabvle  21319  qabvexp  21320  ostth2lem2  21328  eupath2  21702  gxnn0add  21862  gxnn0mul  21865  facgam  24850  subfacval2  24873  cvmliftlem7  24978  relexpsucl  25132  relexpcnv  25133  relexpdm  25135  relexprn  25136  relexpadd  25138  relexpindlem  25139  rtrclreclem.min  25147  binomfallfac  25357  faclim  25365  faclim2  25367  heiborlem4  26523  mzpexpmpt  26802  pell14qrexpclnn0  26929  rmxypos  27012  jm2.17a  27025  jm2.17b  27026  rmygeid  27029  jm2.19lem3  27062  hbtlem5  27309  cnsrexpcl  27347  psgnunilem3  27396  m1expeven  27701  stoweidlem17  27742  stoweidlem19  27744  wallispilem3  27792  cshweqrep  28274
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283
  Copyright terms: Public domain W3C validator