MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0le0eq0 Structured version   Unicode version

Theorem nn0le0eq0 10240
Description: A nonnegative integer is less than or equal to zero iff it is equal to zero. (Contributed by NM, 9-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
nn0le0eq0  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  <_  0  <->  N  = 
0 ) )

Proof of Theorem nn0le0eq0
StepHypRef Expression
1 nn0ge0 10237 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_  N )
21biantrud 494 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  <_  0  <->  ( N  <_  0  /\  0  <_  N ) ) )
3 nn0re 10220 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
4 0re 9081 . . 3  |-  0  e.  RR
5 letri3 9150 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( N  =  0  <-> 
( N  <_  0  /\  0  <_  N ) ) )
63, 4, 5sylancl 644 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  =  0  <->  ( N  <_  0  /\  0  <_  N ) ) )
72, 6bitr4d 248 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  <_  0  <->  N  = 
0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4204   RRcr 8979   0cc0 8980    <_ cle 9111   NN0cn0 10211
This theorem is referenced by:  facwordi  11570  algcvgblem  13058  pcpre1  13206  ramz2  13382  deg1scl  20026  0dgr  20154  coemulc  20163  ppieq0  20949  swrdccat3a  28147  swrdccat3blem  28148
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-nn 9991  df-n0 10212
  Copyright terms: Public domain W3C validator