MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0le2msqi Unicode version

Theorem nn0le2msqi 11523
Description: The square function on nonnegative integers is monotonic. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0le2msqi.1  |-  A  e. 
NN0
nn0le2msqi.2  |-  B  e. 
NN0
Assertion
Ref Expression
nn0le2msqi  |-  ( A  <_  B  <->  ( A  x.  A )  <_  ( B  x.  B )
)

Proof of Theorem nn0le2msqi
StepHypRef Expression
1 nn0le2msqi.1 . . . 4  |-  A  e. 
NN0
21nn0ge0i 10213 . . 3  |-  0  <_  A
3 nn0le2msqi.2 . . . 4  |-  B  e. 
NN0
43nn0ge0i 10213 . . 3  |-  0  <_  B
51nn0rei 10196 . . . 4  |-  A  e.  RR
63nn0rei 10196 . . . 4  |-  B  e.  RR
75, 6le2sqi 11434 . . 3  |-  ( ( 0  <_  A  /\  0  <_  B )  -> 
( A  <_  B  <->  ( A ^ 2 )  <_  ( B ^
2 ) ) )
82, 4, 7mp2an 654 . 2  |-  ( A  <_  B  <->  ( A ^ 2 )  <_ 
( B ^ 2 ) )
91nn0cni 10197 . . . 4  |-  A  e.  CC
109sqvali 11424 . . 3  |-  ( A ^ 2 )  =  ( A  x.  A
)
113nn0cni 10197 . . . 4  |-  B  e.  CC
1211sqvali 11424 . . 3  |-  ( B ^ 2 )  =  ( B  x.  B
)
1310, 12breq12i 4189 . 2  |-  ( ( A ^ 2 )  <_  ( B ^
2 )  <->  ( A  x.  A )  <_  ( B  x.  B )
)
148, 13bitri 241 1  |-  ( A  <_  B  <->  ( A  x.  A )  <_  ( B  x.  B )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    e. wcel 1721   class class class wbr 4180  (class class class)co 6048   0cc0 8954    x. cmul 8959    <_ cle 9085   2c2 10013   NN0cn0 10185   ^cexp 11345
This theorem is referenced by:  nn0opthlem1  11524
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-2 10022  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-seq 11287  df-exp 11346
  Copyright terms: Public domain W3C validator