MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0mulcld Unicode version

Theorem nn0mulcld 10212
Description: Closure of multiplication of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0red.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
nn0addcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
nn0mulcld  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  NN0 )

Proof of Theorem nn0mulcld
StepHypRef Expression
1 nn0red.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
2 nn0addcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN0 )
3 nn0mulcl 10189 . 2  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( A  x.  B
)  e.  NN0 )
41, 2, 3syl2anc 643 1  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  NN0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1717  (class class class)co 6021    x. cmul 8929   NN0cn0 10154
This theorem is referenced by:  expmulz  11354  faclbnd4lem3  11514  mulgcd  12974  rpmulgcd2  13033  odzdvds  13109  prmreclem3  13214  vdwapf  13268  vdwlem5  13281  vdwlem6  13282  odmodnn0  15106  odmulg  15120  odadd  15393  ablfacrplem  15551  ablfacrp2  15553  dchrisumlem1  21051  erdsze2lem1  24669  erdsze2lem2  24670  pell1qrge1  26625  jm2.27c  26770  rmxdiophlem  26778  hashgcdlem  27186  m1expeven  27394  stoweidlem1  27419  wallispilem4  27486  wallispilem5  27487  wallispi2lem2  27490  stirlinglem3  27494  stirlinglem5  27496  stirlinglem7  27498  stirlinglem10  27501  stirlinglem11  27502
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-ltxr 9059  df-nn 9934  df-n0 10155
  Copyright terms: Public domain W3C validator