Theorem nn0opthlem1 6664

Description: A rather pretty lemma for nn0opth 6666. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0opthlem1.1	|- A e. NN0
nn0opthlem1.2	|- C e. NN0

Assertion

Ref	Expression
nn0opthlem1	|- (A < C <-> ((A x. A) + (2 x. A)) < (C x. C))

Proof of Theorem nn0opthlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0opthlem1.1	. . . 4 |- A e. NN0
2		1nn0 6114	. . . 4 |- 1 e. NN0
3	1, 2	nn0addcl 6121	. . 3 |- (A + 1) e. NN0
4		nn0opthlem1.2	. . 3 |- C e. NN0
5	3, 4	nn0le2msqt 6663	. 2 |- ((A + 1) <_ C <-> ((A + 1) x. (A + 1)) <_ (C x. C))
6		nn0ltp1let 6127	. . 3 |- ((A e. NN0 /\ C e. NN0) -> (A < C <-> (A + 1) <_ C))
7	1, 4, 6	mp2an 697	. 2 |- (A < C <-> (A + 1) <_ C)
8	1, 1	nn0mulcl 6122	. . . . 5 |- (A x. A) e. NN0
9		2nn0 6115	. . . . . 6 |- 2 e. NN0
10	9, 1	nn0mulcl 6122	. . . . 5 |- (2 x. A) e. NN0
11	8, 10	nn0addcl 6121	. . . 4 |- ((A x. A) + (2 x. A)) e. NN0
12	4, 4	nn0mulcl 6122	. . . 4 |- (C x. C) e. NN0
13		nn0ltp1let 6127	. . . 4 |- ((((A x. A) + (2 x. A)) e. NN0 /\ (C x. C) e. NN0) -> (((A x. A) + (2 x. A)) < (C x. C) <-> (((A x. A) + (2 x. A)) + 1) <_ (C x. C)))
14	11, 12, 13	mp2an 697	. . 3 |- (((A x. A) + (2 x. A)) < (C x. C) <-> (((A x. A) + (2 x. A)) + 1) <_ (C x. C))
15	1	nn0cn 6111	. . . . . . 7 |- A e. CC
16		ax1cn 5269	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
17	15, 16	binom2 6644	. . . . . 6 |- ((A + 1)^2) = (((A^2) + (2 x. (A x. 1))) + (1^2))
18	15, 16	addcl 5320	. . . . . . 7 |- (A + 1) e. CC
19	18	sqval 6614	. . . . . 6 |- ((A + 1)^2) = ((A + 1) x. (A + 1))
20	15	sqval 6614	. . . . . . . 8 |- (A^2) = (A x. A)
21	20	opreq1i 3971	. . . . . . 7 |- ((A^2) + (2 x. (A x. 1))) = ((A x. A) + (2 x. (A x. 1)))
22	16	sqval 6614	. . . . . . 7 |- (1^2) = (1 x. 1)
23	21, 22	opreq12i 3973	. . . . . 6 |- (((A^2) + (2 x. (A x. 1))) + (1^2)) = (((A x. A) + (2 x. (A x. 1))) + (1 x. 1))
24	17, 19, 23	3eqtr3 1503	. . . . 5 |- ((A + 1) x. (A + 1)) = (((A x. A) + (2 x. (A x. 1))) + (1 x. 1))
25	15	mulid1 5332	. . . . . . . 8 |- (A x. 1) = A
26	25	opreq2i 3972	. . . . . . 7 |- (2 x. (A x. 1)) = (2 x. A)
27	26	opreq2i 3972	. . . . . 6 |- ((A x. A) + (2 x. (A x. 1))) = ((A x. A) + (2 x. A))
28	16	mulid1 5332	. . . . . 6 |- (1 x. 1) = 1
29	27, 28	opreq12i 3973	. . . . 5 |- (((A x. A) + (2 x. (A x. 1))) + (1 x. 1)) = (((A x. A) + (2 x. A)) + 1)
30	24, 29	eqtr 1495	. . . 4 |- ((A + 1) x. (A + 1)) = (((A x. A) + (2 x. A)) + 1)
31	30	breq1i 2626	. . 3 |- (((A + 1) x. (A + 1)) <_ (C x. C) <-> (((A x. A) + (2 x. A)) + 1) <_ (C x. C))
32	14, 31	bitr4 176	. 2 |- (((A x. A) + (2 x. A)) < (C x. C) <-> ((A + 1) x. (A + 1)) <_ (C x. C))
33	5, 7, 32	3bitr4 183	1 |- (A < C <-> ((A x. A) + (2 x. A)) < (C x. C))

Syntax hints:   <-> wb 146   e. wcel 958   class class class wbr 2619  (class class class)co 3963  1c1 5235   + caddc 5237   x. cmul 5239   <_ cle 5295  NN0cn0 5297   < clt 5486  2c2 5961  ^cexp 6568

This theorem is referenced by:  nn0opthlem2 6665

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-n 5925  df-2 5970  df-n0 6100  df-z 6136  df-seq1 6308  df-exp 6569

Copyright terms: Public domain