MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0p1nn Unicode version

Theorem nn0p1nn 10003
Description: A nonnegative integer plus 1 is a natural number. (Contributed by Raph Levien, 30-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
nn0p1nn  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )

Proof of Theorem nn0p1nn
StepHypRef Expression
1 1nn 9757 . 2  |-  1  e.  NN
2 nn0nnaddcl 9996 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  1  e.  NN )  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
31, 2mpan2 652 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684  (class class class)co 5858   1c1 8738    + caddc 8740   NNcn 9746   NN0cn0 9965
This theorem is referenced by:  elnn0nn  10006  elz2  10040  peano5uzi  10100  fseq1p1m1  10857  nn0ennn  11041  expnbnd  11230  faccl  11298  facdiv  11300  facwordi  11302  faclbnd  11303  facubnd  11313  bcm1k  11327  bcp1n  11328  bcp1nk  11329  bcpasc  11333  hashf1  11395  fz1isolem  11399  wrdind  11477  isercoll  12141  isercoll2  12142  iseralt  12157  bcxmas  12294  climcndslem1  12308  efcllem  12359  ruclem7  12514  ruclem8  12515  ruclem9  12516  sadcp1  12646  smupp1  12671  prmfac1  12797  iserodd  12888  pcfac  12947  1arith  12974  4sqlem12  13003  vdwlem11  13038  vdwlem12  13039  vdwlem13  13040  ramub1  13075  ramcl  13076  sylow1lem1  14909  efgsrel  15043  efgsp1  15046  lebnumii  18464  lmnn  18689  vitalilem4  18966  plyco  19623  dgrcolem2  19655  dgrco  19656  advlogexp  20002  cxpmul2  20036  atantayl3  20235  leibpilem2  20237  leibpi  20238  leibpisum  20239  log2cnv  20240  log2tlbnd  20241  log2ublem2  20243  log2ub  20245  birthdaylem2  20247  harmoniclbnd  20302  harmonicbnd4  20304  fsumharmonic  20305  chpp1  20393  chtublem  20450  bcmono  20516  bcp1ctr  20518  chtppilimlem1  20622  rplogsumlem2  20634  rpvmasumlem  20636  dchrisumlema  20637  dchrisumlem1  20638  dchrisum0flblem1  20657  dchrisum0lem1b  20664  dchrisum0lem1  20665  dchrisum0lem3  20668  selberg2lem  20699  pntrsumo1  20714  pntrlog2bndlem2  20727  pntrlog2bndlem4  20729  pntrlog2bndlem6a  20731  pntpbnd1  20735  pntpbnd2  20736  pntlemg  20747  pntlemj  20752  pntlemf  20754  qabvle  20774  ostth2lem2  20783  minvecolem3  21455  minvecolem4  21459  subfacval2  23718  erdsze2lem2  23735  cvmliftlem7  23822  eupath2lem3  23903  bpolycl  24787  bpolysum  24788  bpolydiflem  24789  fsumkthpow  24791  heiborlem4  26538  heiborlem6  26540  diophin  26852  rexrabdioph  26875  2rexfrabdioph  26877  3rexfrabdioph  26878  4rexfrabdioph  26879  6rexfrabdioph  26880  7rexfrabdioph  26881  elnn0rabdioph  26884  dvdsrabdioph  26891  irrapxlem4  26910  irrapxlem5  26911  2nn0ind  27030  jm2.27a  27098  wallispilem3  27816  stirlinglem5  27827
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-ltxr 8872  df-nn 9747  df-n0 9966
  Copyright terms: Public domain W3C validator