MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0p1nn Unicode version

Theorem nn0p1nn 10092
Description: A nonnegative integer plus 1 is a natural number. (Contributed by Raph Levien, 30-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
nn0p1nn  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )

Proof of Theorem nn0p1nn
StepHypRef Expression
1 1nn 9844 . 2  |-  1  e.  NN
2 nn0nnaddcl 10085 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  1  e.  NN )  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
31, 2mpan2 652 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1710  (class class class)co 5942   1c1 8825    + caddc 8827   NNcn 9833   NN0cn0 10054
This theorem is referenced by:  elnn0nn  10095  elz2  10129  peano5uzi  10189  fseq1p1m1  10946  nn0ennn  11130  expnbnd  11320  faccl  11388  facdiv  11390  facwordi  11392  faclbnd  11393  facubnd  11403  bcm1k  11417  bcp1n  11418  bcp1nk  11419  bcpasc  11423  hashf1  11485  fz1isolem  11489  wrdind  11567  isercoll  12231  isercoll2  12232  iseralt  12248  bcxmas  12385  climcndslem1  12399  efcllem  12450  ruclem7  12605  ruclem8  12606  ruclem9  12607  sadcp1  12737  smupp1  12762  prmfac1  12888  iserodd  12979  pcfac  13038  1arith  13065  4sqlem12  13094  vdwlem11  13129  vdwlem12  13130  vdwlem13  13131  ramub1  13166  ramcl  13167  sylow1lem1  15002  efgsrel  15136  efgsp1  15139  lebnumii  18562  lmnn  18787  vitalilem4  19064  plyco  19721  dgrcolem2  19753  dgrco  19754  advlogexp  20107  cxpmul2  20141  atantayl3  20340  leibpilem2  20342  leibpi  20343  leibpisum  20344  log2cnv  20345  log2tlbnd  20346  log2ublem2  20348  log2ub  20350  birthdaylem2  20352  harmoniclbnd  20408  harmonicbnd4  20410  fsumharmonic  20411  chpp1  20499  chtublem  20556  bcmono  20622  bcp1ctr  20624  chtppilimlem1  20728  rplogsumlem2  20740  rpvmasumlem  20742  dchrisumlema  20743  dchrisumlem1  20744  dchrisum0flblem1  20763  dchrisum0lem1b  20770  dchrisum0lem1  20771  dchrisum0lem3  20774  selberg2lem  20805  pntrsumo1  20820  pntrlog2bndlem2  20833  pntrlog2bndlem4  20835  pntrlog2bndlem6a  20837  pntpbnd1  20841  pntpbnd2  20842  pntlemg  20853  pntlemj  20858  pntlemf  20860  qabvle  20880  ostth2lem2  20889  minvecolem3  21563  minvecolem4  21567  facgam  24099  subfacval2  24122  erdsze2lem2  24139  cvmliftlem7  24226  eupath2lem3  24307  fprodser  24576  faclimlem1  24654  faclimlem2  24655  faclimlem3  24656  faclim  24657  faclim2  24659  bpolycl  25346  bpolysum  25347  bpolydiflem  25348  fsumkthpow  25350  heiborlem4  25861  heiborlem6  25863  diophin  26175  rexrabdioph  26198  2rexfrabdioph  26200  3rexfrabdioph  26201  4rexfrabdioph  26202  6rexfrabdioph  26203  7rexfrabdioph  26204  elnn0rabdioph  26207  dvdsrabdioph  26214  irrapxlem4  26233  irrapxlem5  26234  2nn0ind  26353  jm2.27a  26421  wallispilem3  27139  stirlinglem5  27150
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-er 6744  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-ltxr 8959  df-nn 9834  df-n0 10055
  Copyright terms: Public domain W3C validator