MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0p1nn Structured version   Unicode version

Theorem nn0p1nn 10264
Description: A nonnegative integer plus 1 is a natural number. (Contributed by Raph Levien, 30-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
nn0p1nn  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )

Proof of Theorem nn0p1nn
StepHypRef Expression
1 1nn 10016 . 2  |-  1  e.  NN
2 nn0nnaddcl 10257 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  1  e.  NN )  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
31, 2mpan2 654 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1726  (class class class)co 6084   1c1 8996    + caddc 8998   NNcn 10005   NN0cn0 10226
This theorem is referenced by:  elnn0nn  10267  elz2  10303  peano5uzi  10363  fseq1p1m1  11127  nn0ennn  11323  expnbnd  11513  faccl  11581  facdiv  11583  facwordi  11585  faclbnd  11586  facubnd  11596  bcm1k  11611  bcp1n  11612  bcp1nk  11613  bcpasc  11617  hashf1  11711  fz1isolem  11715  wrdind  11796  isercoll  12466  isercoll2  12467  iseralt  12483  bcxmas  12620  climcndslem1  12634  efcllem  12685  ruclem7  12840  ruclem8  12841  ruclem9  12842  sadcp1  12972  smupp1  12997  prmfac1  13123  iserodd  13214  pcfac  13273  1arith  13300  4sqlem12  13329  vdwlem11  13364  vdwlem12  13365  vdwlem13  13366  ramub1  13401  ramcl  13402  sylow1lem1  15237  efgsrel  15371  efgsp1  15374  lebnumii  18996  lmnn  19221  vitalilem4  19508  plyco  20165  dgrcolem2  20197  dgrco  20198  advlogexp  20551  cxpmul2  20585  atantayl3  20784  leibpilem2  20786  leibpi  20787  leibpisum  20788  log2cnv  20789  log2tlbnd  20790  log2ublem2  20792  log2ub  20794  birthdaylem2  20796  harmoniclbnd  20852  harmonicbnd4  20854  fsumharmonic  20855  chpp1  20943  chtublem  21000  bcmono  21066  bcp1ctr  21068  chtppilimlem1  21172  rplogsumlem2  21184  rpvmasumlem  21186  dchrisumlema  21187  dchrisumlem1  21188  dchrisum0flblem1  21207  dchrisum0lem1b  21214  dchrisum0lem1  21215  dchrisum0lem3  21218  selberg2lem  21249  pntrsumo1  21264  pntrlog2bndlem2  21277  pntrlog2bndlem4  21279  pntrlog2bndlem6a  21281  pntpbnd1  21285  pntpbnd2  21286  pntlemg  21297  pntlemj  21302  pntlemf  21304  qabvle  21324  ostth2lem2  21333  eupath2lem3  21706  minvecolem3  22383  minvecolem4  22387  facgam  24855  subfacval2  24878  erdsze2lem2  24895  cvmliftlem7  24983  fprodser  25280  fallfacval4  25364  faclimlem1  25367  faclimlem2  25368  faclimlem3  25369  faclim  25370  faclim2  25372  bpolycl  26103  bpolysum  26104  bpolydiflem  26105  fsumkthpow  26107  heiborlem4  26537  heiborlem6  26539  diophin  26845  rexrabdioph  26868  2rexfrabdioph  26870  3rexfrabdioph  26871  4rexfrabdioph  26872  6rexfrabdioph  26873  7rexfrabdioph  26874  elnn0rabdioph  26877  dvdsrabdioph  26884  irrapxlem4  26902  irrapxlem5  26903  2nn0ind  27022  jm2.27a  27090  wallispilem3  27806  stirlinglem5  27817
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-ltxr 9130  df-nn 10006  df-n0 10227
  Copyright terms: Public domain W3C validator