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Theorem nn0prpw 26340
Description: Two nonnegative integers are the same if and only if they are divisible by the same prime powers. (Contributed by Jeff Hankins, 29-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
nn0prpw  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( A  =  B  <->  A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  (
( p ^ n
)  ||  A  <->  ( p ^ n )  ||  B ) ) )
Distinct variable groups:    n, p, A    B, n, p

Proof of Theorem nn0prpw
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4219 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  (
( p ^ n
)  ||  A  <->  ( p ^ n )  ||  B ) )
21a1d 24 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  (
( p  e.  Prime  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( p ^ n )  ||  A 
<->  ( p ^ n
)  ||  B )
) )
32ralrimivv 2799 . 2  |-  ( A  =  B  ->  A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) )
4 elnn0 10228 . . 3  |-  ( A  e.  NN0  <->  ( A  e.  NN  \/  A  =  0 ) )
5 elnn0 10228 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  NN0  <->  ( B  e.  NN  \/  B  =  0 ) )
6 nnre 10012 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
7 nnre 10012 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR )
8 lttri2 9162 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  =/=  B  <->  ( A  <  B  \/  B  <  A ) ) )
96, 7, 8syl2an 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  =/=  B  <->  ( A  <  B  \/  B  <  A ) ) )
109ancoms 441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  NN  /\  A  e.  NN )  ->  ( A  =/=  B  <->  ( A  <  B  \/  B  <  A ) ) )
11 nn0prpwlem 26339 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  NN  ->  A. k  e.  NN  ( k  < 
B  ->  E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  k  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) ) )
12 breq1 4218 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  A  ->  (
k  <  B  <->  A  <  B ) )
13 breq2 4219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  A  ->  (
( p ^ n
)  ||  k  <->  ( p ^ n )  ||  A ) )
1413bibi1d 312 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  A  ->  (
( ( p ^
n )  ||  k  <->  ( p ^ n ) 
||  B )  <->  ( (
p ^ n ) 
||  A  <->  ( p ^ n )  ||  B ) ) )
1514notbid 287 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  A  ->  ( -.  ( ( p ^
n )  ||  k  <->  ( p ^ n ) 
||  B )  <->  -.  (
( p ^ n
)  ||  A  <->  ( p ^ n )  ||  B ) ) )
16152rexbidv 2750 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  A  ->  ( E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  k  <->  ( p ^ n ) 
||  B )  <->  E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) ) )
1712, 16imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  A  ->  (
( k  <  B  ->  E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  k  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) )  <-> 
( A  <  B  ->  E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) ) ) )
1817rspcv 3050 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A. k  e.  NN  ( k  <  B  ->  E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  k  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) )  ->  ( A  < 
B  ->  E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) ) ) )
1911, 18mpan9 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  NN  /\  A  e.  NN )  ->  ( A  <  B  ->  E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) ) )
20 nn0prpwlem 26339 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  NN  ->  A. k  e.  NN  ( k  < 
A  ->  E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  k  <->  ( p ^ n ) 
||  A ) ) )
21 breq1 4218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  B  ->  (
k  <  A  <->  B  <  A ) )
22 breq2 4219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  B  ->  (
( p ^ n
)  ||  k  <->  ( p ^ n )  ||  B ) )
2322bibi1d 312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  B  ->  (
( ( p ^
n )  ||  k  <->  ( p ^ n ) 
||  A )  <->  ( (
p ^ n ) 
||  B  <->  ( p ^ n )  ||  A ) ) )
24 bicom 193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( p ^ n
)  ||  B  <->  ( p ^ n )  ||  A )  <->  ( (
p ^ n ) 
||  A  <->  ( p ^ n )  ||  B ) )
2523, 24syl6bb 254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  B  ->  (
( ( p ^
n )  ||  k  <->  ( p ^ n ) 
||  A )  <->  ( (
p ^ n ) 
||  A  <->  ( p ^ n )  ||  B ) ) )
2625notbid 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  B  ->  ( -.  ( ( p ^
n )  ||  k  <->  ( p ^ n ) 
||  A )  <->  -.  (
( p ^ n
)  ||  A  <->  ( p ^ n )  ||  B ) ) )
27262rexbidv 2750 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  B  ->  ( E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  k  <->  ( p ^ n ) 
||  A )  <->  E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) ) )
2821, 27imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  B  ->  (
( k  <  A  ->  E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  k  <->  ( p ^ n ) 
||  A ) )  <-> 
( B  <  A  ->  E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) ) ) )
2928rspcv 3050 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  NN  ->  ( A. k  e.  NN  ( k  <  A  ->  E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  k  <->  ( p ^ n ) 
||  A ) )  ->  ( B  < 
A  ->  E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) ) ) )
3020, 29syl5com 29 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  NN  ->  ( B  e.  NN  ->  ( B  <  A  ->  E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) ) ) )
3130impcom 421 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  NN  /\  A  e.  NN )  ->  ( B  <  A  ->  E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) ) )
3219, 31jaod 371 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  NN  /\  A  e.  NN )  ->  ( ( A  < 
B  \/  B  < 
A )  ->  E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) ) )
3310, 32sylbid 208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  NN  /\  A  e.  NN )  ->  ( A  =/=  B  ->  E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) ) )
34 df-ne 2603 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =/=  B  <->  -.  A  =  B )
35 rexnal 2718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  B )  <->  -.  A. n  e.  NN  ( ( p ^ n )  ||  A 
<->  ( p ^ n
)  ||  B )
)
3635rexbii 2732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^ n ) 
||  A  <->  ( p ^ n )  ||  B )  <->  E. p  e.  Prime  -.  A. n  e.  NN  ( ( p ^ n )  ||  A 
<->  ( p ^ n
)  ||  B )
)
37 rexnal 2718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. p  e.  Prime  -.  A. n  e.  NN  (
( p ^ n
)  ||  A  <->  ( p ^ n )  ||  B )  <->  -.  A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) )
3836, 37bitri 242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^ n ) 
||  A  <->  ( p ^ n )  ||  B )  <->  -.  A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) )
3933, 34, 383imtr3g 262 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  NN  /\  A  e.  NN )  ->  ( -.  A  =  B  ->  -.  A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) ) )
4039con4d 100 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  NN  /\  A  e.  NN )  ->  ( A. p  e. 
Prime  A. n  e.  NN  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  B )  ->  A  =  B )
)
4140ex 425 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  NN  ->  ( A  e.  NN  ->  ( A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  (
( p ^ n
)  ||  A  <->  ( p ^ n )  ||  B )  ->  A  =  B ) ) )
42 prmunb 13287 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  NN  ->  E. p  e.  Prime  A  <  p
)
43 1nn 10016 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  NN
44 prmz 13088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  ZZ )
45 1nn0 10242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  e.  NN0
46 zexpcl 11401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  1  e.  NN0 )  -> 
( p ^ 1 )  e.  ZZ )
4744, 45, 46sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( p  e.  Prime  ->  ( p ^ 1 )  e.  ZZ )
48 dvdsle 12900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( p ^ 1 )  e.  ZZ  /\  A  e.  NN )  ->  ( ( p ^
1 )  ||  A  ->  ( p ^ 1 )  <_  A )
)
4947, 48sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  A  e.  NN )  ->  (
( p ^ 1 )  ||  A  -> 
( p ^ 1 )  <_  A )
)
50 prmnn 13087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  NN )
51 nnre 10012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( p  e.  NN  ->  p  e.  RR )
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  RR )
53 reexpcl 11403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( p  e.  RR  /\  1  e.  NN0 )  -> 
( p ^ 1 )  e.  RR )
5452, 45, 53sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( p  e.  Prime  ->  ( p ^ 1 )  e.  RR )
55 lenlt 9159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( p ^ 1 )  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( p ^
1 )  <_  A  <->  -.  A  <  ( p ^ 1 ) ) )
5654, 6, 55syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  A  e.  NN )  ->  (
( p ^ 1 )  <_  A  <->  -.  A  <  ( p ^ 1 ) ) )
5750nncnd 10021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  CC )
5857exp1d 11523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( p  e.  Prime  ->  ( p ^ 1 )  =  p )
5958adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  A  e.  NN )  ->  (
p ^ 1 )  =  p )
6059breq2d 4227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  A  e.  NN )  ->  ( A  <  ( p ^
1 )  <->  A  <  p ) )
6160notbid 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  A  e.  NN )  ->  ( -.  A  <  ( p ^ 1 )  <->  -.  A  <  p ) )
6256, 61bitrd 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  A  e.  NN )  ->  (
( p ^ 1 )  <_  A  <->  -.  A  <  p ) )
6349, 62sylibd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  A  e.  NN )  ->  (
( p ^ 1 )  ||  A  ->  -.  A  <  p ) )
6463ancoms 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( p ^
1 )  ||  A  ->  -.  A  <  p
) )
6564con2d 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( A  <  p  ->  -.  ( p ^
1 )  ||  A
) )
66653impia 1151 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  NN  /\  p  e.  Prime  /\  A  <  p )  ->  -.  ( p ^ 1 )  ||  A )
67 dvds0 12870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( p ^ 1 )  e.  ZZ  ->  (
p ^ 1 ) 
||  0 )
6847, 67syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( p  e.  Prime  ->  ( p ^ 1 )  ||  0 )
69683ad2ant2 980 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  NN  /\  p  e.  Prime  /\  A  <  p )  ->  (
p ^ 1 ) 
||  0 )
70 idd 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  NN  /\  p  e.  Prime  /\  A  <  p )  ->  (
( ( p ^
1 )  ||  0  ->  ( p ^ 1 )  ||  A )  ->  ( ( p ^ 1 )  ||  0  ->  ( p ^
1 )  ||  A
) ) )
7169, 70mpid 40 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  NN  /\  p  e.  Prime  /\  A  <  p )  ->  (
( ( p ^
1 )  ||  0  ->  ( p ^ 1 )  ||  A )  ->  ( p ^
1 )  ||  A
) )
7266, 71mtod 171 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  NN  /\  p  e.  Prime  /\  A  <  p )  ->  -.  ( ( p ^
1 )  ||  0  ->  ( p ^ 1 )  ||  A ) )
73 bi2 191 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( p ^ 1 )  ||  A  <->  ( p ^ 1 )  ||  0 )  ->  (
( p ^ 1 )  ||  0  -> 
( p ^ 1 )  ||  A ) )
7472, 73nsyl 116 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  NN  /\  p  e.  Prime  /\  A  <  p )  ->  -.  ( ( p ^
1 )  ||  A  <->  ( p ^ 1 ) 
||  0 ) )
75 oveq2 6092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  1  ->  (
p ^ n )  =  ( p ^
1 ) )
7675breq1d 4225 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  1  ->  (
( p ^ n
)  ||  A  <->  ( p ^ 1 )  ||  A ) )
7775breq1d 4225 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  1  ->  (
( p ^ n
)  ||  0  <->  ( p ^ 1 )  ||  0 ) )
7876, 77bibi12d 314 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  1  ->  (
( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  0 )  <->  ( (
p ^ 1 ) 
||  A  <->  ( p ^ 1 )  ||  0 ) ) )
7978notbid 287 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  1  ->  ( -.  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  0 )  <->  -.  (
( p ^ 1 )  ||  A  <->  ( p ^ 1 )  ||  0 ) ) )
8079rspcev 3054 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  -.  ( ( p ^
1 )  ||  A  <->  ( p ^ 1 ) 
||  0 ) )  ->  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  0 ) )
8143, 74, 80sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN  /\  p  e.  Prime  /\  A  <  p )  ->  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^ n ) 
||  A  <->  ( p ^ n )  ||  0 ) )
82813expia 1156 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( A  <  p  ->  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  0 ) ) )
8382reximdva 2820 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  NN  ->  ( E. p  e.  Prime  A  <  p  ->  E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  0 ) ) )
8442, 83mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  NN  ->  E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  0 ) )
85 rexnal 2718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  0 )  <->  -.  A. n  e.  NN  ( ( p ^ n )  ||  A 
<->  ( p ^ n
)  ||  0 ) )
8685rexbii 2732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^ n ) 
||  A  <->  ( p ^ n )  ||  0 )  <->  E. p  e.  Prime  -.  A. n  e.  NN  ( ( p ^ n )  ||  A 
<->  ( p ^ n
)  ||  0 ) )
87 rexnal 2718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. p  e.  Prime  -.  A. n  e.  NN  (
( p ^ n
)  ||  A  <->  ( p ^ n )  ||  0 )  <->  -.  A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  0 ) )
8886, 87bitri 242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^ n ) 
||  A  <->  ( p ^ n )  ||  0 )  <->  -.  A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  0 ) )
8984, 88sylib 190 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  NN  ->  -.  A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  ( ( p ^ n )  ||  A 
<->  ( p ^ n
)  ||  0 ) )
9089pm2.21d 101 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  (
( p ^ n
)  ||  A  <->  ( p ^ n )  ||  0 )  ->  A  =  0 ) )
91 breq2 4219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  =  0  ->  (
( p ^ n
)  ||  B  <->  ( p ^ n )  ||  0 ) )
9291bibi2d 311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  =  0  ->  (
( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  B )  <->  ( (
p ^ n ) 
||  A  <->  ( p ^ n )  ||  0 ) ) )
93922ralbidv 2749 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  =  0  ->  ( A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  (
( p ^ n
)  ||  A  <->  ( p ^ n )  ||  B )  <->  A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  0 ) ) )
94 eqeq2 2447 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  =  0  ->  ( A  =  B  <->  A  = 
0 ) )
9593, 94imbi12d 313 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =  0  ->  (
( A. p  e. 
Prime  A. n  e.  NN  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  B )  ->  A  =  B )  <->  ( A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  (
( p ^ n
)  ||  A  <->  ( p ^ n )  ||  0 )  ->  A  =  0 ) ) )
9690, 95syl5ibr 214 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  0  ->  ( A  e.  NN  ->  ( A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  (
( p ^ n
)  ||  A  <->  ( p ^ n )  ||  B )  ->  A  =  B ) ) )
9741, 96jaoi 370 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  NN  \/  B  =  0 )  ->  ( A  e.  NN  ->  ( A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  ( ( p ^ n )  ||  A 
<->  ( p ^ n
)  ||  B )  ->  A  =  B ) ) )
985, 97sylbi 189 . . . . . 6  |-  ( B  e.  NN0  ->  ( A  e.  NN  ->  ( A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  (
( p ^ n
)  ||  A  <->  ( p ^ n )  ||  B )  ->  A  =  B ) ) )
9998com12 30 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  ( B  e.  NN0  ->  ( A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  (
( p ^ n
)  ||  A  <->  ( p ^ n )  ||  B )  ->  A  =  B ) ) )
100 orcom 378 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  NN  \/  B  =  0 )  <-> 
( B  =  0  \/  B  e.  NN ) )
101 df-or 361 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  =  0  \/  B  e.  NN )  <-> 
( -.  B  =  0  ->  B  e.  NN ) )
102100, 101bitri 242 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  NN  \/  B  =  0 )  <-> 
( -.  B  =  0  ->  B  e.  NN ) )
1035, 102bitri 242 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  NN0  <->  ( -.  B  =  0  ->  B  e.  NN ) )
104 prmunb 13287 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  NN  ->  E. p  e.  Prime  B  <  p
)
105 dvdsle 12900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( p ^ 1 )  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( p ^
1 )  ||  B  ->  ( p ^ 1 )  <_  B )
)
10647, 105sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  B  e.  NN )  ->  (
( p ^ 1 )  ||  B  -> 
( p ^ 1 )  <_  B )
)
107 lenlt 9159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( p ^ 1 )  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( p ^
1 )  <_  B  <->  -.  B  <  ( p ^ 1 ) ) )
10854, 7, 107syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  B  e.  NN )  ->  (
( p ^ 1 )  <_  B  <->  -.  B  <  ( p ^ 1 ) ) )
10958adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  B  e.  NN )  ->  (
p ^ 1 )  =  p )
110109breq2d 4227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  B  e.  NN )  ->  ( B  <  ( p ^
1 )  <->  B  <  p ) )
111110notbid 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  B  e.  NN )  ->  ( -.  B  <  ( p ^ 1 )  <->  -.  B  <  p ) )
112108, 111bitrd 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  B  e.  NN )  ->  (
( p ^ 1 )  <_  B  <->  -.  B  <  p ) )
113106, 112sylibd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  B  e.  NN )  ->  (
( p ^ 1 )  ||  B  ->  -.  B  <  p ) )
114113ancoms 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( p ^
1 )  ||  B  ->  -.  B  <  p
) )
115114con2d 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( B  <  p  ->  -.  ( p ^
1 )  ||  B
) )
1161153impia 1151 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  NN  /\  p  e.  Prime  /\  B  <  p )  ->  -.  ( p ^ 1 )  ||  B )
117683ad2ant2 980 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  NN  /\  p  e.  Prime  /\  B  <  p )  ->  (
p ^ 1 ) 
||  0 )
118 idd 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  NN  /\  p  e.  Prime  /\  B  <  p )  ->  (
( ( p ^
1 )  ||  0  ->  ( p ^ 1 )  ||  B )  ->  ( ( p ^ 1 )  ||  0  ->  ( p ^
1 )  ||  B
) ) )
119117, 118mpid 40 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  NN  /\  p  e.  Prime  /\  B  <  p )  ->  (
( ( p ^
1 )  ||  0  ->  ( p ^ 1 )  ||  B )  ->  ( p ^
1 )  ||  B
) )
120116, 119mtod 171 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  NN  /\  p  e.  Prime  /\  B  <  p )  ->  -.  ( ( p ^
1 )  ||  0  ->  ( p ^ 1 )  ||  B ) )
121 bi1 180 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( p ^ 1 )  ||  0  <->  (
p ^ 1 ) 
||  B )  -> 
( ( p ^
1 )  ||  0  ->  ( p ^ 1 )  ||  B ) )
122120, 121nsyl 116 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  NN  /\  p  e.  Prime  /\  B  <  p )  ->  -.  ( ( p ^
1 )  ||  0  <->  ( p ^ 1 ) 
||  B ) )
12375breq1d 4225 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  1  ->  (
( p ^ n
)  ||  B  <->  ( p ^ 1 )  ||  B ) )
12477, 123bibi12d 314 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  1  ->  (
( ( p ^
n )  ||  0  <->  ( p ^ n ) 
||  B )  <->  ( (
p ^ 1 ) 
||  0  <->  ( p ^ 1 )  ||  B ) ) )
125124notbid 287 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  1  ->  ( -.  ( ( p ^
n )  ||  0  <->  ( p ^ n ) 
||  B )  <->  -.  (
( p ^ 1 )  ||  0  <->  (
p ^ 1 ) 
||  B ) ) )
126125rspcev 3054 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  -.  ( ( p ^
1 )  ||  0  <->  ( p ^ 1 ) 
||  B ) )  ->  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  0  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) )
12743, 122, 126sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  NN  /\  p  e.  Prime  /\  B  <  p )  ->  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^ n ) 
||  0  <->  ( p ^ n )  ||  B ) )
1281273expia 1156 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( B  <  p  ->  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  0  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) ) )
129128reximdva 2820 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  NN  ->  ( E. p  e.  Prime  B  <  p  ->  E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  0  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) ) )
130104, 129mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  NN  ->  E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  0  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) )
131 rexnal 2718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  0  <->  ( p ^ n ) 
||  B )  <->  -.  A. n  e.  NN  ( ( p ^ n )  ||  0 
<->  ( p ^ n
)  ||  B )
)
132131rexbii 2732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^ n ) 
||  0  <->  ( p ^ n )  ||  B )  <->  E. p  e.  Prime  -.  A. n  e.  NN  ( ( p ^ n )  ||  0 
<->  ( p ^ n
)  ||  B )
)
133 rexnal 2718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. p  e.  Prime  -.  A. n  e.  NN  (
( p ^ n
)  ||  0  <->  ( p ^ n )  ||  B )  <->  -.  A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  ( ( p ^
n )  ||  0  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) )
134132, 133bitri 242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^ n ) 
||  0  <->  ( p ^ n )  ||  B )  <->  -.  A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  ( ( p ^
n )  ||  0  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) )
135130, 134sylib 190 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  NN  ->  -.  A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  ( ( p ^ n )  ||  0 
<->  ( p ^ n
)  ||  B )
)
136135imim2i 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  B  =  0  ->  B  e.  NN )  ->  ( -.  B  =  0  ->  -.  A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  ( ( p ^ n )  ||  0 
<->  ( p ^ n
)  ||  B )
) )
137103, 136sylbi 189 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  NN0  ->  ( -.  B  =  0  ->  -.  A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  (
( p ^ n
)  ||  0  <->  ( p ^ n )  ||  B ) ) )
138137con4d 100 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  NN0  ->  ( A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  ( ( p ^ n )  ||  0 
<->  ( p ^ n
)  ||  B )  ->  B  =  0 ) )
139 eqcom 2440 . . . . . . 7  |-  ( B  =  0  <->  0  =  B )
140138, 139syl6ib 219 . . . . . 6  |-  ( B  e.  NN0  ->  ( A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  ( ( p ^ n )  ||  0 
<->  ( p ^ n
)  ||  B )  ->  0  =  B ) )
141 breq2 4219 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  0  ->  (
( p ^ n
)  ||  A  <->  ( p ^ n )  ||  0 ) )
142141bibi1d 312 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  0  ->  (
( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  B )  <->  ( (
p ^ n ) 
||  0  <->  ( p ^ n )  ||  B ) ) )
1431422ralbidv 2749 . . . . . . 7  |-  ( A  =  0  ->  ( A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  (
( p ^ n
)  ||  A  <->  ( p ^ n )  ||  B )  <->  A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  ( ( p ^
n )  ||  0  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) ) )
144 eqeq1 2444 . . . . . . 7  |-  ( A  =  0  ->  ( A  =  B  <->  0  =  B ) )
145143, 144imbi12d 313 . . . . . 6  |-  ( A  =  0  ->  (
( A. p  e. 
Prime  A. n  e.  NN  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  B )  ->  A  =  B )  <->  ( A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  (
( p ^ n
)  ||  0  <->  ( p ^ n )  ||  B )  ->  0  =  B ) ) )
146140, 145syl5ibr 214 . . . . 5  |-  ( A  =  0  ->  ( B  e.  NN0  ->  ( A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  (
( p ^ n
)  ||  A  <->  ( p ^ n )  ||  B )  ->  A  =  B ) ) )
14799, 146jaoi 370 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  \/  A  =  0 )  ->  ( B  e. 
NN0  ->  ( A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  B )  ->  A  =  B )
) )
148147imp 420 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN  \/  A  =  0
)  /\  B  e.  NN0 )  ->  ( A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  ( ( p ^ n )  ||  A 
<->  ( p ^ n
)  ||  B )  ->  A  =  B ) )
1494, 148sylanb 460 . 2  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( A. p  e. 
Prime  A. n  e.  NN  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  B )  ->  A  =  B )
)
1503, 149impbid2 197 1  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( A  =  B  <->  A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  (
( p ^ n
)  ||  A  <->  ( p ^ n )  ||  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708   class class class wbr 4215  (class class class)co 6084   RRcr 8994   0cc0 8995   1c1 8996    < clt 9125    <_ cle 9126   NNcn 10005   NN0cn0 10226   ZZcz 10287   ^cexp 11387    || cdivides 12857   Primecprime 13084
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-fz 11049  df-fl 11207  df-mod 11256  df-seq 11329  df-exp 11388  df-fac 11572  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-dvds 12858  df-gcd 13012  df-prm 13085
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