MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0red Structured version   Unicode version

Theorem nn0red 10275
Description: A nonnegative integer is a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nn0red.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
nn0red  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )

Proof of Theorem nn0red
StepHypRef Expression
1 nn0ssre 10225 . 2  |-  NN0  C_  RR
2 nn0red.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
31, 2sseldi 3346 1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725   RRcr 8989   NN0cn0 10221
This theorem is referenced by:  nn0cnd  10276  flmulnn0  11229  quoremz  11236  expneg  11389  expnbnd  11508  facdiv  11578  faclbnd6  11590  facavg  11592  hashdom  11653  hashun2  11657  hashunx  11660  hashtpg  11691  hashfun  11700  hashf1  11706  seqcoll2  11713  ccatval1  11745  swrds2  11880  climcnds  12631  geomulcvg  12653  mertenslem1  12661  efcllem  12680  eftlub  12710  ruclem10  12838  bitsfzolem  12946  bitsfzo  12947  bitsmod  12948  sadcaddlem  12969  sadaddlem  12978  sadasslem  12982  sadeq  12984  smuval2  12994  smupvallem  12995  smueqlem  13002  bezoutlem3  13040  bezoutlem4  13041  gcdeq  13052  dvdssqlem  13059  nn0seqcvgd  13061  eucalglt  13076  mulgcddvds  13104  qredeu  13107  prmdiveq  13175  odzdvds  13181  pythagtriplem3  13192  pythagtriplem6  13195  pythagtriplem7  13196  iserodd  13209  pclem  13212  pcpremul  13217  pcidlem  13245  pcgcd1  13250  pc2dvds  13252  pcz  13254  pcprmpw2  13255  fldivp1  13266  pcfaclem  13267  pcfac  13268  pcbc  13269  prmreclem2  13285  prmreclem3  13286  prmreclem4  13287  prmreclem5  13288  4sqlem11  13323  4sqlem12  13324  4sqlem14  13326  vdwlem11  13359  vdwlem12  13360  ramlb  13387  0ram  13388  ram0  13390  ramub1lem2  13395  ramcl  13397  odmodnn0  15178  mndodconglem  15179  mndodcong  15180  oddvds  15185  odhash3  15210  gexdvds  15218  sylow1lem1  15232  sylow1lem5  15236  pgpfi  15239  pgpssslw  15248  efgsfo  15371  efgredlemd  15376  efgredlem  15379  efgred  15380  lt6abl  15504  pgpfaclem2  15640  psrbaglesupp  16433  mplmonmul  16527  coe1tmmul2  16668  coe1tmmul2fv  16670  coe1pwmulfv  16672  zlpirlem3  16770  lebnumii  18991  dyadmaxlem  19489  mbfi1fseqlem3  19609  mbfi1fseqlem4  19610  mbfi1fseqlem5  19611  mdegmullem  20001  coe1mul3  20022  coe1mul4  20023  deg1sublt  20033  deg1mul2  20037  deg1tmle  20040  deg1tm  20041  ply1divmo  20058  ply1divex  20059  deg1submon1p  20075  dvdsq1p  20083  fta1glem2  20089  fta1blem  20091  plyco0  20111  plyeq0lem  20129  plypf1  20131  plyaddlem1  20132  coeeulem  20143  dgrub  20153  dgrlb  20155  dgreq  20163  coeaddlem  20167  coemullem  20168  coemulhi  20172  dgrlt  20184  dgradd2  20186  dgrmul  20188  dgrcolem2  20192  dgrco  20193  plydivlem3  20212  plydivlem4  20213  plydivex  20214  plydiveu  20215  fta1lem  20224  quotcan  20226  vieta1lem2  20228  radcnvlem1  20329  dvradcnv  20337  leibpilem1  20780  leibpi  20782  log2tlbnd  20785  birthdaylem2  20791  birthdaylem3  20792  fsumharmonic  20850  basellem3  20865  basellem5  20867  issqf  20919  ppip1le  20944  ppiltx  20960  mumullem2  20963  sgmppw  20981  ppiub  20988  chtublem  20995  chpub  21004  dchrabs  21044  bcmono  21061  bcmax  21062  bcp1ctr  21063  bclbnd  21064  bposlem5  21072  lgseisenlem1  21133  2sqlem7  21154  2sqlem8  21156  chebbnd1lem1  21163  chtppilimlem1  21167  dchrisum0re  21207  mulogsumlem  21225  selberg2lem  21244  pntrlog2bndlem4  21274  pntlemr  21296  pntlemj  21297  pnt  21308  ostth2lem3  21329  spthispth  21573  vdgrfival  21668  eupap1  21698  eupath2lem3  21701  coinfliplem  24736  dmlogdmgm  24808  erdszelem8  24884  erdsze2lem2  24890  cvmliftlem7  24978  snmlff  25016  binomfallfaclem2  25356  binomrisefac  25358  fallfacval4  25359  faclim  25365  rrnequiv  26544  eldioph2lem1  26818  pell1qrge1  26933  rmxypos  27012  ltrmynn0  27013  ltrmxnn0  27014  lermxnn0  27015  jm2.24nn  27024  jm2.24  27028  jm2.19  27064  jm2.26lem3  27072  jm2.27c  27078  hbt  27311  dgraa0p  27331  psgnunilem2  27395  stoweidlem17  27742  stoweidlem24  27749  wallispilem5  27794  stirlinglem15  27813  nn0readdcl  28098  wrdlenge2n0  28176  ccatsymb  28179  cshwoor  28237  2cshw  28256  lstccats1fst  28263  frghash2spot  28452  usgreghash2spotv  28455
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-nn 10001  df-n0 10222
  Copyright terms: Public domain W3C validator