MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0red Unicode version

Theorem nn0red 10019
Description: A nonnegative integer is a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nn0red.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
nn0red  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )

Proof of Theorem nn0red
StepHypRef Expression
1 nn0ssre 9969 . 2  |-  NN0  C_  RR
2 nn0red.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
31, 2sseldi 3178 1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684   RRcr 8736   NN0cn0 9965
This theorem is referenced by:  nn0cnd  10020  flmulnn0  10952  quoremz  10959  expneg  11111  expnbnd  11230  facdiv  11300  faclbnd6  11312  hashdom  11361  hashun2  11365  hashfun  11389  hashf1  11395  seqcoll2  11402  ccatval1  11431  swrds2  11560  climcnds  12310  geomulcvg  12332  mertenslem1  12340  efcllem  12359  eftlub  12389  ruclem10  12517  bitsfzolem  12625  bitsfzo  12626  bitsmod  12627  sadcaddlem  12648  sadaddlem  12657  sadasslem  12661  sadeq  12663  smuval2  12673  smupvallem  12674  smueqlem  12681  bezoutlem3  12719  bezoutlem4  12720  gcdeq  12731  dvdssqlem  12738  nn0seqcvgd  12740  eucalglt  12755  mulgcddvds  12783  qredeu  12786  prmdiveq  12854  odzdvds  12860  pythagtriplem3  12871  pythagtriplem6  12874  pythagtriplem7  12875  iserodd  12888  pclem  12891  pcpremul  12896  pcidlem  12924  pcgcd1  12929  pc2dvds  12931  pcz  12933  pcprmpw2  12934  fldivp1  12945  pcfaclem  12946  pcfac  12947  pcbc  12948  prmreclem2  12964  prmreclem3  12965  prmreclem4  12966  prmreclem5  12967  4sqlem11  13002  4sqlem12  13003  4sqlem14  13005  vdwlem11  13038  vdwlem12  13039  ramlb  13066  0ram  13067  ram0  13069  ramub1lem2  13074  ramcl  13076  odmodnn0  14855  mndodconglem  14856  mndodcong  14857  oddvds  14862  odhash3  14887  gexdvds  14895  sylow1lem1  14909  sylow1lem5  14913  pgpfi  14916  pgpssslw  14925  efgsfo  15048  efgredlemd  15053  efgredlem  15056  efgred  15057  lt6abl  15181  pgpfaclem2  15317  psrbaglesupp  16114  mplmonmul  16208  coe1tmmul2  16352  coe1tmmul2fv  16354  coe1pwmulfv  16356  zlpirlem3  16443  lebnumii  18464  dyadmaxlem  18952  mbfi1fseqlem3  19072  mbfi1fseqlem4  19073  mbfi1fseqlem5  19074  mdegmullem  19464  coe1mul3  19485  coe1mul4  19486  deg1sublt  19496  deg1mul2  19500  deg1tmle  19503  deg1tm  19504  ply1divmo  19521  ply1divex  19522  deg1submon1p  19538  dvdsq1p  19546  fta1glem2  19552  fta1blem  19554  plyco0  19574  plyeq0lem  19592  plypf1  19594  plyaddlem1  19595  coeeulem  19606  dgrub  19616  dgrlb  19618  dgreq  19626  coeaddlem  19630  coemullem  19631  coemulhi  19635  dgrlt  19647  dgradd2  19649  dgrmul  19651  dgrcolem2  19655  dgrco  19656  plydivlem3  19675  plydivlem4  19676  plydivex  19677  plydiveu  19678  fta1lem  19687  quotcan  19689  vieta1lem2  19691  radcnvlem1  19789  dvradcnv  19797  leibpilem1  20236  leibpi  20238  log2tlbnd  20241  birthdaylem2  20247  birthdaylem3  20248  fsumharmonic  20305  basellem3  20320  basellem5  20322  issqf  20374  ppip1le  20399  ppiltx  20415  mumullem2  20418  sgmppw  20436  ppiub  20443  chtublem  20450  chpub  20459  dchrabs  20499  bcmono  20516  bcmax  20517  bcp1ctr  20518  bclbnd  20519  bposlem5  20527  lgseisenlem1  20588  2sqlem7  20609  2sqlem8  20611  chebbnd1lem1  20618  chtppilimlem1  20622  dchrisum0re  20662  mulogsumlem  20680  selberg2lem  20699  pntrlog2bndlem4  20729  pntlemr  20751  pntlemj  20752  pnt  20763  ostth2lem3  20784  erdszelem8  23729  erdsze2lem2  23735  cvmliftlem7  23822  eupap1  23900  eupath2lem3  23903  snmlff  23912  rrnequiv  26559  eldioph2lem1  26839  pell1qrge1  26955  rmxypos  27034  ltrmynn0  27035  ltrmxnn0  27036  lermxnn0  27037  jm2.24nn  27046  jm2.24  27050  jm2.19  27086  jm2.26lem3  27094  jm2.27c  27100  hbt  27334  dgraa0p  27354  psgnunilem2  27418  wallispilem5  27818  stirlinglem15  27837
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-nn 9747  df-n0 9966
  Copyright terms: Public domain W3C validator