MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0red Unicode version

Theorem nn0red 10035
Description: A nonnegative integer is a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nn0red.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
nn0red  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )

Proof of Theorem nn0red
StepHypRef Expression
1 nn0ssre 9985 . 2  |-  NN0  C_  RR
2 nn0red.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
31, 2sseldi 3191 1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1696   RRcr 8752   NN0cn0 9981
This theorem is referenced by:  nn0cnd  10036  flmulnn0  10968  quoremz  10975  expneg  11127  expnbnd  11246  facdiv  11316  faclbnd6  11328  hashdom  11377  hashun2  11381  hashfun  11405  hashf1  11411  seqcoll2  11418  ccatval1  11447  swrds2  11576  climcnds  12326  geomulcvg  12348  mertenslem1  12356  efcllem  12375  eftlub  12405  ruclem10  12533  bitsfzolem  12641  bitsfzo  12642  bitsmod  12643  sadcaddlem  12664  sadaddlem  12673  sadasslem  12677  sadeq  12679  smuval2  12689  smupvallem  12690  smueqlem  12697  bezoutlem3  12735  bezoutlem4  12736  gcdeq  12747  dvdssqlem  12754  nn0seqcvgd  12756  eucalglt  12771  mulgcddvds  12799  qredeu  12802  prmdiveq  12870  odzdvds  12876  pythagtriplem3  12887  pythagtriplem6  12890  pythagtriplem7  12891  iserodd  12904  pclem  12907  pcpremul  12912  pcidlem  12940  pcgcd1  12945  pc2dvds  12947  pcz  12949  pcprmpw2  12950  fldivp1  12961  pcfaclem  12962  pcfac  12963  pcbc  12964  prmreclem2  12980  prmreclem3  12981  prmreclem4  12982  prmreclem5  12983  4sqlem11  13018  4sqlem12  13019  4sqlem14  13021  vdwlem11  13054  vdwlem12  13055  ramlb  13082  0ram  13083  ram0  13085  ramub1lem2  13090  ramcl  13092  odmodnn0  14871  mndodconglem  14872  mndodcong  14873  oddvds  14878  odhash3  14903  gexdvds  14911  sylow1lem1  14925  sylow1lem5  14929  pgpfi  14932  pgpssslw  14941  efgsfo  15064  efgredlemd  15069  efgredlem  15072  efgred  15073  lt6abl  15197  pgpfaclem2  15333  psrbaglesupp  16130  mplmonmul  16224  coe1tmmul2  16368  coe1tmmul2fv  16370  coe1pwmulfv  16372  zlpirlem3  16459  lebnumii  18480  dyadmaxlem  18968  mbfi1fseqlem3  19088  mbfi1fseqlem4  19089  mbfi1fseqlem5  19090  mdegmullem  19480  coe1mul3  19501  coe1mul4  19502  deg1sublt  19512  deg1mul2  19516  deg1tmle  19519  deg1tm  19520  ply1divmo  19537  ply1divex  19538  deg1submon1p  19554  dvdsq1p  19562  fta1glem2  19568  fta1blem  19570  plyco0  19590  plyeq0lem  19608  plypf1  19610  plyaddlem1  19611  coeeulem  19622  dgrub  19632  dgrlb  19634  dgreq  19642  coeaddlem  19646  coemullem  19647  coemulhi  19651  dgrlt  19663  dgradd2  19665  dgrmul  19667  dgrcolem2  19671  dgrco  19672  plydivlem3  19691  plydivlem4  19692  plydivex  19693  plydiveu  19694  fta1lem  19703  quotcan  19705  vieta1lem2  19707  radcnvlem1  19805  dvradcnv  19813  leibpilem1  20252  leibpi  20254  log2tlbnd  20257  birthdaylem2  20263  birthdaylem3  20264  fsumharmonic  20321  basellem3  20336  basellem5  20338  issqf  20390  ppip1le  20415  ppiltx  20431  mumullem2  20434  sgmppw  20452  ppiub  20459  chtublem  20466  chpub  20475  dchrabs  20515  bcmono  20532  bcmax  20533  bcp1ctr  20534  bclbnd  20535  bposlem5  20543  lgseisenlem1  20604  2sqlem7  20625  2sqlem8  20627  chebbnd1lem1  20634  chtppilimlem1  20638  dchrisum0re  20678  mulogsumlem  20696  selberg2lem  20715  pntrlog2bndlem4  20745  pntlemr  20767  pntlemj  20768  pnt  20779  ostth2lem3  20800  erdszelem8  23744  erdsze2lem2  23750  cvmliftlem7  23837  eupap1  23915  eupath2lem3  23918  snmlff  23927  rrnequiv  26662  eldioph2lem1  26942  pell1qrge1  27058  rmxypos  27137  ltrmynn0  27138  ltrmxnn0  27139  lermxnn0  27140  jm2.24nn  27149  jm2.24  27153  jm2.19  27189  jm2.26lem3  27197  jm2.27c  27203  hbt  27437  dgraa0p  27457  psgnunilem2  27521  wallispilem5  27921  stirlinglem15  27940  hashtpg  28217  spthispth  28359
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-nn 9763  df-n0 9982
  Copyright terms: Public domain W3C validator