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Theorem nn0seqcvgd 12740
Description: A strictly-decreasing nonnegative integer sequence with initial term  N reaches zero by the  N th term. Deduction version. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0seqcvgd.1  |-  ( ph  ->  F : NN0 --> NN0 )
nn0seqcvgd.2  |-  ( ph  ->  N  =  ( F `
 0 ) )
nn0seqcvgd.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  =/=  0  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <  ( F `  k ) ) )
Assertion
Ref Expression
nn0seqcvgd  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  =  0 )
Distinct variable groups:    k, F    k, N    ph, k

Proof of Theorem nn0seqcvgd
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0seqcvgd.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  =  ( F `
 0 ) )
2 nn0seqcvgd.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : NN0 --> NN0 )
3 0nn0 9980 . . . . . . 7  |-  0  e.  NN0
4 ffvelrn 5663 . . . . . . 7  |-  ( ( F : NN0 --> NN0  /\  0  e.  NN0 )  -> 
( F `  0
)  e.  NN0 )
52, 3, 4sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  e.  NN0 )
61, 5eqeltrd 2357 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
76nn0red 10019 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
87leidd 9339 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  <_  N )
9 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  0  ->  ( F `  m )  =  ( F ` 
0 ) )
10 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  0  ->  ( N  -  m )  =  ( N  - 
0 ) )
119, 10breq12d 4036 . . . . . . 7  |-  ( m  =  0  ->  (
( F `  m
)  <_  ( N  -  m )  <->  ( F `  0 )  <_ 
( N  -  0 ) ) )
1211imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( m  =  0  ->  (
( ph  ->  ( F `
 m )  <_ 
( N  -  m
) )  <->  ( ph  ->  ( F `  0
)  <_  ( N  -  0 ) ) ) )
13 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  k  ->  ( F `  m )  =  ( F `  k ) )
14 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  k  ->  ( N  -  m )  =  ( N  -  k ) )
1513, 14breq12d 4036 . . . . . . 7  |-  ( m  =  k  ->  (
( F `  m
)  <_  ( N  -  m )  <->  ( F `  k )  <_  ( N  -  k )
) )
1615imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( m  =  k  ->  (
( ph  ->  ( F `
 m )  <_ 
( N  -  m
) )  <->  ( ph  ->  ( F `  k
)  <_  ( N  -  k ) ) ) )
17 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  ( F `  m )  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
18 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  ( N  -  m )  =  ( N  -  ( k  +  1 ) ) )
1917, 18breq12d 4036 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( F `  m
)  <_  ( N  -  m )  <->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) )
2019imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ph  ->  ( F `
 m )  <_ 
( N  -  m
) )  <->  ( ph  ->  ( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) ) )
21 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  N  ->  ( F `  m )  =  ( F `  N ) )
22 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  N  ->  ( N  -  m )  =  ( N  -  N ) )
2321, 22breq12d 4036 . . . . . . 7  |-  ( m  =  N  ->  (
( F `  m
)  <_  ( N  -  m )  <->  ( F `  N )  <_  ( N  -  N )
) )
2423imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( m  =  N  ->  (
( ph  ->  ( F `
 m )  <_ 
( N  -  m
) )  <->  ( ph  ->  ( F `  N
)  <_  ( N  -  N ) ) ) )
251, 8eqbrtrrd 4045 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  <_  N )
267recnd 8861 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
2726subid1d 9146 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  -  0 )  =  N )
2825, 27breqtrrd 4049 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  <_  ( N  -  0 ) )
2928a1i 10 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ph  ->  ( F `  0
)  <_  ( N  -  0 ) ) )
30 nn0re 9974 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  RR )
31 posdif 9267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( k  <  N  <->  0  <  ( N  -  k ) ) )
3230, 7, 31syl2anr 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( k  <  N  <->  0  <  ( N  -  k )
) )
3332adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  0 )  -> 
( k  <  N  <->  0  <  ( N  -  k ) ) )
34 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  =  0  ->  (
( F `  (
k  +  1 ) )  <  ( N  -  k )  <->  0  <  ( N  -  k ) ) )
3534adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  0 )  -> 
( ( F `  ( k  +  1 ) )  <  ( N  -  k )  <->  0  <  ( N  -  k ) ) )
36 peano2nn0 10004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e. 
NN0 )
37 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F : NN0 --> NN0  /\  ( k  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( F `  (
k  +  1 ) )  e.  NN0 )
382, 36, 37syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  NN0 )
3938nn0zd 10115 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  ZZ )
406nn0zd 10115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
41 nn0z 10046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  ZZ )
42 zsubcl 10061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  -  k
)  e.  ZZ )
4340, 41, 42syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( N  -  k )  e.  ZZ )
44 zltlem1 10070 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F `  (
k  +  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( N  -  k
)  e.  ZZ )  ->  ( ( F `
 ( k  +  1 ) )  < 
( N  -  k
)  <->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  (
( N  -  k
)  -  1 ) ) )
4539, 43, 44syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  <  ( N  -  k )  <->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  (
( N  -  k
)  -  1 ) ) )
46 nn0cn 9975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  CC )
47 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  CC
48 subsub4 9080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  CC  /\  k  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( N  -  k
)  -  1 )  =  ( N  -  ( k  +  1 ) ) )
4947, 48mp3an3 1266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( N  -  k )  -  1 )  =  ( N  -  ( k  +  1 ) ) )
5026, 46, 49syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( N  -  k )  -  1 )  =  ( N  -  (
k  +  1 ) ) )
5150breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( ( N  -  k )  - 
1 )  <->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) )
5245, 51bitrd 244 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  <  ( N  -  k )  <->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) )
5352adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  0 )  -> 
( ( F `  ( k  +  1 ) )  <  ( N  -  k )  <->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) )
5433, 35, 533bitr2d 272 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  0 )  -> 
( k  <  N  <->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) )
5554biimpa 470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  0 )  /\  k  <  N )  -> 
( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) )
5655an32s 779 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  k  <  N )  /\  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  0 )  -> 
( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) )
5756a1d 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  k  <  N )  /\  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  0 )  -> 
( ( F `  k )  <_  ( N  -  k )  ->  ( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) )
58 nn0seqcvgd.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  =/=  0  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <  ( F `  k ) ) )
5938nn0red 10019 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
60 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : NN0 --> NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( F `  k
)  e.  NN0 )
612, 60sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  k )  e.  NN0 )
6261nn0red 10019 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
6343zred 10117 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( N  -  k )  e.  RR )
64 ltletr 8913 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F `  (
k  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( F `  k )  e.  RR  /\  ( N  -  k )  e.  RR )  ->  (
( ( F `  ( k  +  1 ) )  <  ( F `  k )  /\  ( F `  k
)  <_  ( N  -  k ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <  ( N  -  k )
) )
6559, 62, 63, 64syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( F `  (
k  +  1 ) )  <  ( F `
 k )  /\  ( F `  k )  <_  ( N  -  k ) )  -> 
( F `  (
k  +  1 ) )  <  ( N  -  k ) ) )
6665, 52sylibd 205 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( F `  (
k  +  1 ) )  <  ( F `
 k )  /\  ( F `  k )  <_  ( N  -  k ) )  -> 
( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) )
6758, 66syland 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( F `  (
k  +  1 ) )  =/=  0  /\  ( F `  k
)  <_  ( N  -  k ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) )
6867adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  k  <  N )  ->  (
( ( F `  ( k  +  1 ) )  =/=  0  /\  ( F `  k
)  <_  ( N  -  k ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) )
6968expdimp 426 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  k  <  N )  /\  ( F `  ( k  +  1 ) )  =/=  0 )  -> 
( ( F `  k )  <_  ( N  -  k )  ->  ( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) )
7057, 69pm2.61dane 2524 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  k  <  N )  ->  (
( F `  k
)  <_  ( N  -  k )  -> 
( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) )
7170anasss 628 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  k  < 
N ) )  -> 
( ( F `  k )  <_  ( N  -  k )  ->  ( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) )
7271expcom 424 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  k  <  N )  -> 
( ph  ->  ( ( F `  k )  <_  ( N  -  k )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) ) )
7372a2d 23 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  k  <  N )  -> 
( ( ph  ->  ( F `  k )  <_  ( N  -  k ) )  -> 
( ph  ->  ( F `
 ( k  +  1 ) )  <_ 
( N  -  (
k  +  1 ) ) ) ) )
74733adant1 973 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0  /\  k  <  N )  ->  (
( ph  ->  ( F `
 k )  <_ 
( N  -  k
) )  ->  ( ph  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) ) )
7512, 16, 20, 24, 29, 74fnn0ind 10111 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  N  <_  N )  ->  ( ph  ->  ( F `  N )  <_  ( N  -  N )
) )
766, 6, 8, 75syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ph  ->  ( F `  N )  <_  ( N  -  N
) ) )
7776pm2.43i 43 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  <_  ( N  -  N ) )
7826subidd 9145 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N  -  N
)  =  0 )
7977, 78breqtrd 4047 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  <_  0 )
80 ffvelrn 5663 . . . 4  |-  ( ( F : NN0 --> NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( F `  N
)  e.  NN0 )
812, 6, 80syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  e.  NN0 )
8281nn0ge0d 10021 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  ( F `  N ) )
8381nn0red 10019 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  e.  RR )
84 0re 8838 . . 3  |-  0  e.  RR
85 letri3 8907 . . 3  |-  ( ( ( F `  N
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( F `  N )  =  0  <-> 
( ( F `  N )  <_  0  /\  0  <_  ( F `
 N ) ) ) )
8683, 84, 85sylancl 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F `  N )  =  0  <-> 
( ( F `  N )  <_  0  /\  0  <_  ( F `
 N ) ) ) )
8779, 82, 86mpbir2and 888 1  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   class class class wbr 4023   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   NN0cn0 9965   ZZcz 10024
This theorem is referenced by:  algcvg  12746  nn0seqcvg  24009
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025
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