MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0ssre Unicode version

Theorem nn0ssre 10150
Description: Nonnegative integers are a subset of the reals. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)
Assertion
Ref Expression
nn0ssre  |-  NN0  C_  RR

Proof of Theorem nn0ssre
StepHypRef Expression
1 df-n0 10147 . 2  |-  NN0  =  ( NN  u.  { 0 } )
2 nnssre 9929 . . 3  |-  NN  C_  RR
3 0re 9017 . . . 4  |-  0  e.  RR
4 snssi 3878 . . . 4  |-  ( 0  e.  RR  ->  { 0 }  C_  RR )
53, 4ax-mp 8 . . 3  |-  { 0 }  C_  RR
62, 5unssi 3458 . 2  |-  ( NN  u.  { 0 } )  C_  RR
71, 6eqsstri 3314 1  |-  NN0  C_  RR
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1717    u. cun 3254    C_ wss 3256   {csn 3750   RRcr 8915   0cc0 8916   NNcn 9925   NN0cn0 10146
This theorem is referenced by:  nn0sscn  10151  nn0re  10155  nn0rei  10157  nn0red  10200  hashxrcl  11560  ramtlecl  13288  ramcl2lem  13297  ramxrcl  13305  0ram2  13309  0ramcl  13311  mdegleb  19847  mdeglt  19848  mdegldg  19849  mdegxrcl  19850  mdegcl  19852  mdegaddle  19857  mdegmullem  19861  deg1mul3le  19899  plyeq0lem  19989  dgrval  20007  dgrcl  20012  dgrub  20013  dgrlb  20015  aannenlem2  20106  taylfval  20135  xrsmulgzz  24026  esumcst  24244  lermxnn0  26699  hbtlem2  26990
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-nn 9926  df-n0 10147
  Copyright terms: Public domain W3C validator