MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0ssre Structured version   Unicode version

Theorem nn0ssre 10217
Description: Nonnegative integers are a subset of the reals. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)
Assertion
Ref Expression
nn0ssre  |-  NN0  C_  RR

Proof of Theorem nn0ssre
StepHypRef Expression
1 df-n0 10214 . 2  |-  NN0  =  ( NN  u.  { 0 } )
2 nnssre 9996 . . 3  |-  NN  C_  RR
3 0re 9083 . . . 4  |-  0  e.  RR
4 snssi 3934 . . . 4  |-  ( 0  e.  RR  ->  { 0 }  C_  RR )
53, 4ax-mp 8 . . 3  |-  { 0 }  C_  RR
62, 5unssi 3514 . 2  |-  ( NN  u.  { 0 } )  C_  RR
71, 6eqsstri 3370 1  |-  NN0  C_  RR
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1725    u. cun 3310    C_ wss 3312   {csn 3806   RRcr 8981   0cc0 8982   NNcn 9992   NN0cn0 10213
This theorem is referenced by:  nn0sscn  10218  nn0re  10222  nn0rei  10224  nn0red  10267  hashxrcl  11632  ramtlecl  13360  ramcl2lem  13369  ramxrcl  13377  0ram2  13381  0ramcl  13383  mdegleb  19979  mdeglt  19980  mdegldg  19981  mdegxrcl  19982  mdegcl  19984  mdegaddle  19989  mdegmullem  19993  deg1mul3le  20031  plyeq0lem  20121  dgrval  20139  dgrcl  20144  dgrub  20145  dgrlb  20147  aannenlem2  20238  taylfval  20267  xrsmulgzz  24192  esumcst  24447  lermxnn0  27006  hbtlem2  27296
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-nn 9993  df-n0 10214
  Copyright terms: Public domain W3C validator