Theorem nn0subt 6161

Description: Subtraction of nonnegative integers.

Assertion

Ref	Expression
nn0subt	|- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (M <_ N <-> (N - M) e. NN0))

Proof of Theorem nn0subt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsubt 5957	. . . . . . . 8 |- ((M e. NN /\ N e. NN) -> (M < N <-> (N - M) e. NN))
2	1	ex 373	. . . . . . 7 |- (M e. NN -> (N e. NN -> (M < N <-> (N - M) e. NN)))
3		breq2 2623	. . . . . . . . 9 |- (N = 0 -> (M < N <-> M < 0))
4		opreq1 3968	. . . . . . . . . 10 |- (N = 0 -> (N - M) = (0 - M))
5	4	eleq1d 1540	. . . . . . . . 9 |- (N = 0 -> ((N - M) e. NN <-> (0 - M) e. NN))
6	3, 5	bibi12d 629	. . . . . . . 8 |- (N = 0 -> ((M < N <-> (N - M) e. NN) <-> (M < 0 <-> (0 - M) e. NN)))
7		nnret 5929	. . . . . . . . . 10 |- (M e. NN -> M e. RR)
8		lt0neg1t 5668	. . . . . . . . . 10 |- (M e. RR -> (M < 0 <-> 0 < -uM))
9	7, 8	syl 10	. . . . . . . . 9 |- (M e. NN -> (M < 0 <-> 0 < -uM))
10		nnnegz 6138	. . . . . . . . . . 11 |- (M e. NN -> -uM e. ZZ)
11		elnnz 6145	. . . . . . . . . . . 12 |- (-uM e. NN <-> (-uM e. ZZ /\ 0 < -uM))
12	11	baib 685	. . . . . . . . . . 11 |- (-uM e. ZZ -> (-uM e. NN <-> 0 < -uM))
13	10, 12	syl 10	. . . . . . . . . 10 |- (M e. NN -> (-uM e. NN <-> 0 < -uM))
14		df-neg 5358	. . . . . . . . . . 11 |- -uM = (0 - M)
15	14	eleq1i 1537	. . . . . . . . . 10 |- (-uM e. NN <-> (0 - M) e. NN)
16	13, 15	syl5rbbr 535	. . . . . . . . 9 |- (M e. NN -> (0 < -uM <-> (0 - M) e. NN))
17	9, 16	bitrd 528	. . . . . . . 8 |- (M e. NN -> (M < 0 <-> (0 - M) e. NN))
18	6, 17	syl5cbir 211	. . . . . . 7 |- (M e. NN -> (N = 0 -> (M < N <-> (N - M) e. NN)))
19	2, 18	jaod 424	. . . . . 6 |- (M e. NN -> ((N e. NN \/ N = 0) -> (M < N <-> (N - M) e. NN)))
20		breq1 2622	. . . . . . . . 9 |- (M = 0 -> (M < N <-> 0 < N))
21		opreq2 3969	. . . . . . . . . 10 |- (M = 0 -> (N - M) = (N - 0))
22	21	eleq1d 1540	. . . . . . . . 9 |- (M = 0 -> ((N - M) e. NN <-> (N - 0) e. NN))
23	20, 22	bibi12d 629	. . . . . . . 8 |- (M = 0 -> ((M < N <-> (N - M) e. NN) <-> (0 < N <-> (N - 0) e. NN)))
24		nnzt 6153	. . . . . . . . 9 |- (N e. NN -> N e. ZZ)
25		zcnt 6140	. . . . . . . . . . 11 |- (N e. ZZ -> N e. CC)
26		subid1t 5396	. . . . . . . . . . . 12 |- (N e. CC -> (N - 0) = N)
27	26	eleq1d 1540	. . . . . . . . . . 11 |- (N e. CC -> ((N - 0) e. NN <-> N e. NN))
28	25, 27	syl 10	. . . . . . . . . 10 |- (N e. ZZ -> ((N - 0) e. NN <-> N e. NN))
29		elnnz 6145	. . . . . . . . . . 11 |- (N e. NN <-> (N e. ZZ /\ 0 < N))
30	29	baib 685	. . . . . . . . . 10 |- (N e. ZZ -> (N e. NN <-> 0 < N))
31	28, 30	bitr2d 529	. . . . . . . . 9 |- (N e. ZZ -> (0 < N <-> (N - 0) e. NN))
32	24, 31	syl 10	. . . . . . . 8 |- (N e. NN -> (0 < N <-> (N - 0) e. NN))
33	23, 32	syl5bir 210	. . . . . . 7 |- (M = 0 -> (N e. NN -> (M < N <-> (N - M) e. NN)))
34		0re 5440	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR
35	34	ltnr 5609	. . . . . . . . . 10 |- -. 0 < 0
36		0nnn 5948	. . . . . . . . . . 11 |- -. 0 e. NN
37		0cn 5328	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. CC
38	37	subid 5391	. . . . . . . . . . . 12 |- (0 - 0) = 0
39	38	eleq1i 1537	. . . . . . . . . . 11 |- ((0 - 0) e. NN <-> 0 e. NN)
40	36, 39	mtbir 192	. . . . . . . . . 10 |- -. (0 - 0) e. NN
41	35, 40	2false 719	. . . . . . . . 9 |- (0 < 0 <-> (0 - 0) e. NN)
42		breq2 2623	. . . . . . . . . 10 |- (N = 0 -> (0 < N <-> 0 < 0))
43		opreq1 3968	. . . . . . . . . . 11 |- (N = 0 -> (N - 0) = (0 - 0))
44	43	eleq1d 1540	. . . . . . . . . 10 |- (N = 0 -> ((N - 0) e. NN <-> (0 - 0) e. NN))
45	42, 44	bibi12d 629	. . . . . . . . 9 |- (N = 0 -> ((0 < N <-> (N - 0) e. NN) <-> (0 < 0 <-> (0 - 0) e. NN)))
46	41, 45	mpbiri 194	. . . . . . . 8 |- (N = 0 -> (0 < N <-> (N - 0) e. NN))
47	23, 46	syl5bir 210	. . . . . . 7 |- (M = 0 -> (N = 0 -> (M < N <-> (N - M) e. NN)))
48	33, 47	jaod 424	. . . . . 6 |- (M = 0 -> ((N e. NN \/ N = 0) -> (M < N <-> (N - M) e. NN)))
49	19, 48	jaoi 341	. . . . 5 |- ((M e. NN \/ M = 0) -> ((N e. NN \/ N = 0) -> (M < N <-> (N - M) e. NN)))
50	49	imp 350	. . . 4 |- (((M e. NN \/ M = 0) /\ (N e. NN \/ N = 0)) -> (M < N <-> (N - M) e. NN))
51		subeq0t 5403	. . . . . . 7 |- ((N e. CC /\ M e. CC) -> ((N - M) = 0 <-> N = M))
52		eqcom 1477	. . . . . . 7 |- (M = N <-> N = M)
53	51, 52	syl6rbbr 539	. . . . . 6 |- ((N e. CC /\ M e. CC) -> (M = N <-> (N - M) = 0))
54	53	ancoms 436	. . . . 5 |- ((M e. CC /\ N e. CC) -> (M = N <-> (N - M) = 0))
55		nncnt 5930	. . . . . 6 |- (M e. NN -> M e. CC)
56		eleq1 1534	. . . . . . 7 |- (M = 0 -> (M e. CC <-> 0 e. CC))
57	37, 56	mpbiri 194	. . . . . 6 |- (M = 0 -> M e. CC)
58	55, 57	jaoi 341	. . . . 5 |- ((M e. NN \/ M = 0) -> M e. CC)
59		nncnt 5930	. . . . . 6 |- (N e. NN -> N e. CC)
60		eleq1 1534	. . . . . . 7 |- (N = 0 -> (N e. CC <-> 0 e. CC))
61	37, 60	mpbiri 194	. . . . . 6 |- (N = 0 -> N e. CC)
62	59, 61	jaoi 341	. . . . 5 |- ((N e. NN \/ N = 0) -> N e. CC)
63	54, 58, 62	syl2an 454	. . . 4 |- (((M e. NN \/ M = 0) /\ (N e. NN \/ N = 0)) -> (M = N <-> (N - M) = 0))
64	50, 63	orbi12d 627	. . 3 |- (((M e. NN \/ M = 0) /\ (N e. NN \/ N = 0)) -> ((M < N \/ M = N) <-> ((N - M) e. NN \/ (N - M) = 0)))
65		leloet 5518	. . . 4 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> (M <_ N <-> (M < N \/ M = N)))
66		eleq1 1534	. . . . . 6 |- (M = 0 -> (M e. RR <-> 0 e. RR))
67	34, 66	mpbiri 194	. . . . 5 |- (M = 0 -> M e. RR)
68	7, 67	jaoi 341	. . . 4 |- ((M e. NN \/ M = 0) -> M e. RR)
69		nnret 5929	. . . . 5 |- (N e. NN -> N e. RR)
70		eleq1 1534	. . . . . 6 |- (N = 0 -> (N e. RR <-> 0 e. RR))
71	34, 70	mpbiri 194	. . . . 5 |- (N = 0 -> N e. RR)
72	69, 71	jaoi 341	. . . 4 |- ((N e. NN \/ N = 0) -> N e. RR)
73	65, 68, 72	syl2an 454	. . 3 |- (((M e. NN \/ M = 0) /\ (N e. NN \/ N = 0)) -> (M <_ N <-> (M < N \/ M = N)))
74		elnn0 6101	. . . 4 |- ((N - M) e. NN0 <-> ((N - M) e. NN \/ (N - M) = 0))
75	74	a1i 8	. . 3 |- (((M e. NN \/ M = 0) /\ (N e. NN \/ N = 0)) -> ((N - M) e. NN0 <-> ((N - M) e. NN \/ (N - M) = 0)))
76	64, 73, 75	3bitr4d 550	. 2 |- (((M e. NN \/ M = 0) /\ (N e. NN \/ N = 0)) -> (M <_ N <-> (N - M) e. NN0))
77		elnn0 6101	. 2 |- (M e. NN0 <-> (M e. NN \/ M = 0))
78		elnn0 6101	. 2 |- (N e. NN0 <-> (N e. NN \/ N = 0))
79	76, 77, 78	syl2anb 455	1 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (M <_ N <-> (N - M) e. NN0))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958   class class class wbr 2619  (class class class)co 3963  CCcc 5232  RRcr 5233  0cc0 5234   - cmin 5292  -ucneg 5293   <_ cle 5295  NNcn 5296  NN0cn0 5297  ZZcz 5298   < clt 5486

This theorem is referenced by:  nn0sub2t 6162  zaddclt 6165  expsubt 6598  bccmplt 6962  bcpasc2 6967

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-n 5925