Theorem nn0suc 3154

Description: A natural number is either 0 or a successor.

Assertion

Ref	Expression
nn0suc	|- (A e. om -> (A = (/) \/ E.x e. om A = suc x))

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem nn0suc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsuc 3148	. . . 4 |- ((A e. om /\ A =/= (/)) -> E.x e. om A = suc x)
2		df-ne 1587	. . . 4 |- (A =/= (/) <-> -. A = (/))
3	1, 2	sylan2br 453	. . 3 |- ((A e. om /\ -. A = (/)) -> E.x e. om A = suc x)
4	3	ex 373	. 2 |- (A e. om -> (-. A = (/) -> E.x e. om A = suc x))
5	4	orrd 233	1 |- (A e. om -> (A = (/) \/ E.x e. om A = suc x))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   \/ wo 222   = wceq 956   e. wcel 958   =/= wne 1585  E.wrex 1646  (/)c0 2280  suc csuc 2950  omcom 3131

This theorem is referenced by:  nneneq 4512  php 4513

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132

Copyright terms: Public domain