MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0supp Structured version   Unicode version

Theorem nn0supp 10274
Description: Two ways to write the support of a function on  NN0. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
nn0supp  |-  ( F : I --> NN0  ->  ( `' F " ( _V 
\  { 0 } ) )  =  ( `' F " NN ) )

Proof of Theorem nn0supp
StepHypRef Expression
1 dfn2 10235 . . . 4  |-  NN  =  ( NN0  \  { 0 } )
2 invdif 3583 . . . 4  |-  ( NN0 
i^i  ( _V  \  { 0 } ) )  =  ( NN0  \  { 0 } )
31, 2eqtr4i 2460 . . 3  |-  NN  =  ( NN0  i^i  ( _V 
\  { 0 } ) )
43imaeq2i 5202 . 2  |-  ( `' F " NN )  =  ( `' F " ( NN0  i^i  ( _V  \  { 0 } ) ) )
5 ffun 5594 . . . 4  |-  ( F : I --> NN0  ->  Fun 
F )
6 inpreima 5858 . . . 4  |-  ( Fun 
F  ->  ( `' F " ( NN0  i^i  ( _V  \  { 0 } ) ) )  =  ( ( `' F " NN0 )  i^i  ( `' F "
( _V  \  {
0 } ) ) ) )
75, 6syl 16 . . 3  |-  ( F : I --> NN0  ->  ( `' F " ( NN0 
i^i  ( _V  \  { 0 } ) ) )  =  ( ( `' F " NN0 )  i^i  ( `' F " ( _V 
\  { 0 } ) ) ) )
8 cnvimass 5225 . . . . 5  |-  ( `' F " ( _V 
\  { 0 } ) )  C_  dom  F
9 fdm 5596 . . . . . 6  |-  ( F : I --> NN0  ->  dom 
F  =  I )
10 fimacnv 5863 . . . . . 6  |-  ( F : I --> NN0  ->  ( `' F " NN0 )  =  I )
119, 10eqtr4d 2472 . . . . 5  |-  ( F : I --> NN0  ->  dom 
F  =  ( `' F " NN0 )
)
128, 11syl5sseq 3397 . . . 4  |-  ( F : I --> NN0  ->  ( `' F " ( _V 
\  { 0 } ) )  C_  ( `' F " NN0 )
)
13 sseqin2 3561 . . . 4  |-  ( ( `' F " ( _V 
\  { 0 } ) )  C_  ( `' F " NN0 )  <->  ( ( `' F " NN0 )  i^i  ( `' F " ( _V 
\  { 0 } ) ) )  =  ( `' F "
( _V  \  {
0 } ) ) )
1412, 13sylib 190 . . 3  |-  ( F : I --> NN0  ->  ( ( `' F " NN0 )  i^i  ( `' F " ( _V 
\  { 0 } ) ) )  =  ( `' F "
( _V  \  {
0 } ) ) )
157, 14eqtrd 2469 . 2  |-  ( F : I --> NN0  ->  ( `' F " ( NN0 
i^i  ( _V  \  { 0 } ) ) )  =  ( `' F " ( _V 
\  { 0 } ) ) )
164, 15syl5req 2482 1  |-  ( F : I --> NN0  ->  ( `' F " ( _V 
\  { 0 } ) )  =  ( `' F " NN ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653   _Vcvv 2957    \ cdif 3318    i^i cin 3320    C_ wss 3321   {csn 3815   `'ccnv 4878   dom cdm 4879   "cima 4882   Fun wfun 5449   -->wf 5451   0cc0 8991   NNcn 10001   NN0cn0 10222
This theorem is referenced by:  psrbaglesupp  16434  psrbagaddcl  16436  psrbaglefi  16438  psrbas  16444  psrlidm  16468  psrridm  16469  mvridlem  16484  mplcoe3  16530  mplcoe2  16531  mplbas2  16532  ltbwe  16534  psrbagsuppfi  16566
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-n0 10223
  Copyright terms: Public domain W3C validator