MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0uz Unicode version

Theorem nn0uz 10262
Description: Nonnegative integers expressed as a set of upper integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
nn0uz  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )

Proof of Theorem nn0uz
StepHypRef Expression
1 nn0zrab 10052 . 2  |-  NN0  =  { k  e.  ZZ  |  0  <_  k }
2 0z 10035 . . 3  |-  0  e.  ZZ
3 uzval 10232 . . 3  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  ( ZZ>=
`  0 )  =  { k  e.  ZZ  |  0  <_  k } )
42, 3ax-mp 8 . 2  |-  ( ZZ>= ` 
0 )  =  {
k  e.  ZZ  | 
0  <_  k }
51, 4eqtr4i 2306 1  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1623    e. wcel 1684   {crab 2547   class class class wbr 4023   ` cfv 5255   0cc0 8737    <_ cle 8868   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230
This theorem is referenced by:  elnn0uz  10265  eluznn0  10288  nn0infm  10299  fznn0sub2  10825  fseq1p1m1  10857  fzennn  11030  hashgf1o  11033  exple1  11161  faclbnd4lem1  11306  bcn0  11323  bcn1  11325  bcval5  11330  bcpasc  11333  hashfzo0  11384  hashf1  11395  ccatval2  11432  ccatass  11436  swrdid  11458  swrdccat1  11460  swrdccat2  11461  splfv2a  11471  splval2  11472  wrdeqcats1  11474  wrdeqs1cat  11475  cats1un  11476  revccat  11484  cats1fv  11509  binom1dif  12291  isumnn0nn  12301  climcndslem1  12308  climcnds  12310  harmonic  12317  arisum2  12319  explecnv  12323  geoser  12325  geolim  12326  geolim2  12327  geomulcvg  12332  geoisum  12333  geoisumr  12334  mertenslem1  12340  mertenslem2  12341  mertens  12342  efcllem  12359  ef0lem  12360  eff  12363  efcvg  12366  efcvgfsum  12367  reefcl  12368  ege2le3  12371  efcj  12373  eftlcvg  12386  eftlub  12389  effsumlt  12391  ef4p  12393  efgt1p2  12394  efgt1p  12395  eflegeo  12401  eirrlem  12482  ruclem6  12513  ruclem7  12514  divalglem2  12594  divalglem5  12596  bitsfzolem  12625  bitsfzo  12626  bitsfi  12628  bitsinv1lem  12632  bitsinv1  12633  bitsinvp1  12640  sadcf  12644  sadcp1  12646  sadadd  12658  sadass  12662  bitsres  12664  smupf  12669  smupp1  12671  smuval2  12673  smupval  12679  smueqlem  12681  smumul  12684  alginv  12745  algcvg  12746  algcvga  12749  algfx  12750  eucalgcvga  12756  eucalg  12757  dfphi2  12842  phiprmpw  12844  prmdiv  12853  iserodd  12888  pcfac  12947  prmreclem2  12964  prmreclem4  12966  vdwapun  13021  vdwlem1  13028  ramcl2lem  13056  ramtcl  13057  ramtub  13059  gsumwsubmcl  14461  gsumws1  14462  gsumccat  14464  gsumwmhm  14467  sylow1lem1  14909  efginvrel2  15036  efgsp1  15046  efgsres  15047  efgredleme  15052  efgredlemd  15053  efgredlemc  15054  efgredlem  15056  efgcpbllemb  15064  frgpuplem  15081  pgpfaclem1  15316  psrbaglefi  16118  ltbwe  16214  iscmet3lem3  18716  dyadmax  18953  mbfi1fseqlem3  19072  iblcnlem1  19142  itgcnlem  19144  dvnff  19272  dvnp1  19274  dvn2bss  19279  cpncn  19285  dveflem  19326  c1lip2  19345  ig1peu  19557  ig1pdvds  19562  ply1termlem  19585  plyeq0lem  19592  plyaddlem1  19595  plymullem1  19596  coeeulem  19606  dgrcl  19615  dgrub  19616  dgrlb  19618  coeid3  19622  plyco  19623  coeeq2  19624  coefv0  19629  coemulhi  19635  coemulc  19636  dvply1  19664  vieta1lem2  19691  vieta1  19692  elqaalem2  19700  elqaalem3  19701  geolim3  19719  dvtaylp  19749  dvntaylp  19750  taylthlem1  19752  taylthlem2  19753  radcnvlem1  19789  radcnvlem2  19790  radcnvlem3  19791  radcnv0  19792  radcnvlt2  19795  dvradcnv  19797  pserulm  19798  psercn2  19799  pserdvlem2  19804  pserdv2  19806  abelthlem4  19810  abelthlem5  19811  abelthlem6  19812  abelthlem7  19814  abelthlem8  19815  abelthlem9  19816  advlogexp  20002  logtayllem  20006  logtayl  20007  cxpeq  20097  leibpilem2  20237  leibpi  20238  leibpisum  20239  log2cnv  20240  log2tlbnd  20241  log2ublem2  20243  birthdaylem3  20248  wilthlem2  20307  ftalem1  20310  ftalem5  20314  basellem2  20319  basellem3  20320  basellem5  20322  musum  20431  0sgmppw  20437  1sgmprm  20438  chtublem  20450  logexprlim  20464  lgseisenlem1  20588  lgsquadlem2  20594  dchrisumlem1  20638  dchrisumlem2  20639  dchrisum0flblem1  20657  ostth2lem3  20784  ballotlemfrci  23086  ballotlemfrceq  23087  dmgmseqn0  23696  subfacval2  23718  subfaclim  23719  cvmliftlem7  23822  eupares  23899  eupap1  23900  eupath2lem3  23903  eupath2  23904  konigsberg  23911  relexpsucr  24026  prednn0  24202  bpolylem  24783  bpolysum  24788  bpolydiflem  24789  fsumkthpow  24791  bpoly2  24792  bpoly3  24793  bpoly4  24794  heiborlem4  26538  heiborlem6  26540  mapfzcons  26793  irrapxlem1  26907  ltrmynn0  27035  ltrmxnn0  27036  acongeq  27070  jm2.23  27089  jm2.26lem3  27094  psgnunilem2  27418  psgnunilem4  27420  stoweidlem17  27766  stoweidlem34  27783  stirlinglem5  27827  stirlinglem7  27829
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231
  Copyright terms: Public domain W3C validator