MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0z Unicode version

Theorem nn0z 10046
Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
nn0z  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )

Proof of Theorem nn0z
StepHypRef Expression
1 nn0ssz 10044 . 2  |-  NN0  C_  ZZ
21sseli 3176 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684   NN0cn0 9965   ZZcz 10024
This theorem is referenced by:  nn0negz  10057  nn0ltp1le  10074  nn0leltp1  10075  nn0ltlem1  10076  nn0lt10b  10078  nn0lem1lt  10079  fnn0ind  10111  fz1n  10812  elfz2nn0  10821  fznn0  10851  fzctr  10854  flmulnn0  10952  quoremnn0  10960  expdiv  11152  faclbnd3  11305  bccmpl  11322  bcnp1n  11326  bcval5  11330  bcn2  11331  bcp1m1  11332  revlen  11480  cats1fv  11509  isercoll  12141  iseraltlem2  12155  bcxmas  12294  geo2sum2  12330  geomulcvg  12332  esum  12362  ege2le3  12371  eftlcl  12387  reeftlcl  12388  eftlub  12389  effsumlt  12391  eirrlem  12482  dvdseq  12576  dvds1  12577  dvdsext  12579  divalglem4  12595  divalglem5  12596  bitsinv1  12633  nn0gcdid0  12704  nn0seqcvgd  12740  algcvga  12749  eucalgf  12753  nonsq  12830  odzdvds  12860  coprimeprodsq  12862  coprimeprodsq2  12863  oddprm  12868  iserodd  12888  pcexp  12912  pcidlem  12924  pc11  12932  pcfac  12947  prmunb  12961  hashbc2  13053  mulgz  14588  mulgdirlem  14591  mulgass  14597  mndodcongi  14858  oddvdsnn0  14859  odeq  14865  odmulg  14869  efgsdmi  15041  cyggex2  15183  mulgass2  15387  chrrhm  16485  zncrng  16498  znzrh2  16499  zndvds  16503  znchr  16516  znunit  16517  clmmulg  18591  itgcnlem  19144  degltlem1  19458  plyco0  19574  dgreq0  19646  plydivex  19677  aannenlem1  19708  abelthlem1  19807  abelthlem3  19809  abelthlem8  19815  abelthlem9  19816  advlogexp  20002  cxpexp  20015  leibpilem1  20236  leibpi  20238  log2cnv  20240  log2tlbnd  20241  basellem2  20319  sgmnncl  20385  chpp1  20393  bcmono  20516  bcmax  20517  bcp1ctr  20518  lgsneg1  20559  lgsdirnn0  20578  lgsdinn0  20579  dchrisumlem1  20638  qabvle  20774  ostth2lem2  20783  gxcom  20936  gxinv  20937  gxid  20940  gxnn0add  20941  gxnn0mul  20944  gxdi  20963  hashf2  23452  fz0n  24097  bpolylem  24783  fsumkthpow  24791  clscnc  26010  nacsfix  26787  fzsplit1nn0  26833  eldioph2lem1  26839  fz1eqin  26848  diophin  26852  eq0rabdioph  26856  rexrabdioph  26875  rexzrexnn0  26885  irrapxlem4  26910  pell14qrss1234  26941  pell1qrss14  26953  monotoddzz  27028  rmxypos  27034  ltrmynn0  27035  ltrmxnn0  27036  lermxnn0  27037  rmxnn  27038  rmynn0  27044  jm2.17a  27047  jm2.17b  27048  rmygeid  27051  jm2.18  27081  jm2.19lem3  27084  jm2.19lem4  27085  jm2.22  27088  rmxdiophlem  27108  hbt  27334  proot1ex  27520
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025
  Copyright terms: Public domain W3C validator