MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0zd Unicode version

Theorem nn0zd 10131
Description: A natural number is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nn0zd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
nn0zd  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )

Proof of Theorem nn0zd
StepHypRef Expression
1 nn0ssz 10060 . 2  |-  NN0  C_  ZZ
2 nn0zd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
31, 2sseldi 3191 1  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1696   NN0cn0 9981   ZZcz 10040
This theorem is referenced by:  nnzd  10132  zmodfz  11007  expnegz  11152  expaddzlem  11161  expaddz  11162  expmulz  11164  faclbnd  11319  bcpasc  11349  hashf1  11411  fz1isolem  11415  ccatcl  11445  ccatval1  11447  ccatval3  11449  ccatass  11452  swrdccat1  11476  swrdccat2  11477  splfv2a  11487  splval2  11488  revcl  11495  revccat  11500  revrev  11501  revco  11505  ccatco  11506  nnabscl  11825  absrdbnd  11841  iseraltlem3  12172  fsum0diaglem  12255  binomlem  12303  binom1p  12305  incexc2  12313  climcndslem1  12324  geoser  12341  geolim2  12343  mertenslem1  12356  mertenslem2  12357  mertens  12358  ruclem10  12533  divalglem9  12616  divalgmod  12621  bitsfzolem  12641  bitsfzo  12642  bitsmod  12643  bitsfi  12644  bitsinv1lem  12648  sadcaddlem  12664  sadadd3  12668  sadaddlem  12673  sadadd  12674  sadasslem  12677  sadass  12678  sadeq  12679  bitsres  12680  bitsuz  12681  bitsshft  12682  smuval2  12689  smupvallem  12690  smupval  12695  smueqlem  12697  smumullem  12699  smumul  12700  gcdcllem1  12706  gcd0id  12718  gcdneg  12721  gcdabs2  12730  modgcd  12731  bezoutlem4  12736  dvdsgcdb  12739  gcdass  12740  mulgcd  12741  absmulgcd  12742  gcdeq  12747  dvdsmulgcd  12749  nn0seqcvgd  12756  algfx  12766  eucalginv  12770  eucalg  12773  sqnprm  12793  mulgcddvds  12799  rpmulgcd2  12800  qredeu  12802  divnumden  12835  coprimeprodsq  12878  iserodd  12904  pclem  12907  pcpre1  12911  pcpremul  12912  pcqcl  12925  pcdvdsb  12937  pcidlem  12940  pc2dvds  12947  pcprmpw2  12950  pcadd  12953  pcfac  12963  pcbc  12964  pockthlem  12968  prmreclem2  12980  prmreclem3  12981  mul4sqlem  13016  4sqlem11  13018  4sqlem12  13019  4sqlem14  13021  vdwapun  13037  lagsubg  14695  odmodnn0  14871  mndodconglem  14872  mndodcong  14873  odmulg2  14884  odmulg  14885  odmulgeq  14886  odbezout  14887  odinv  14890  odf1  14891  gexod  14913  gexdvds3  14917  sylow1lem1  14925  sylow1lem3  14927  pgpfi  14932  pgpssslw  14941  sylow2alem2  14945  sylow2blem3  14949  fislw  14952  sylow3lem4  14957  sylow3lem6  14959  efginvrel2  15052  efgredlemf  15066  efgredlemd  15069  efgredlemc  15070  efgredlem  15072  efgcpbllemb  15080  odadd1  15156  odadd2  15157  gexexlem  15160  gexex  15161  torsubg  15162  lt6abl  15197  gsummulg  15230  ablfacrplem  15316  ablfacrp  15317  ablfacrp2  15318  ablfac1b  15321  ablfac1c  15322  ablfac1eulem  15323  ablfac1eu  15324  pgpfac1lem2  15326  pgpfaclem1  15332  ablfaclem3  15338  psrbaglefi  16134  chrid  16497  znunit  16533  dyadss  18965  dyaddisjlem  18966  ply1divex  19538  ply1termlem  19601  plyeq0lem  19608  plyaddlem1  19611  plymullem1  19612  coeeulem  19622  coeidlem  19635  coeeq2  19640  coemulhi  19651  dvply1  19680  dvply2g  19681  plydivex  19693  elqaalem2  19716  aareccl  19722  aannenlem1  19724  aalioulem1  19728  taylplem1  19758  taylplem2  19759  taylpfval  19760  dvtaylp  19765  taylthlem2  19769  dvradcnv  19813  abelthlem7  19830  cxpeq  20113  birthdaylem2  20263  ftalem1  20326  basellem3  20336  isppw2  20369  isnsqf  20389  mule1  20402  ppinncl  20428  musum  20447  chtublem  20466  pclogsum  20470  vmasum  20471  dchrabs  20515  bcmax  20533  bposlem1  20539  bposlem6  20544  lgsval2lem  20561  lgsmod  20576  lgsdirprm  20584  lgsne0  20588  lgseisenlem1  20604  lgseisenlem2  20605  lgseisenlem3  20606  lgseisenlem4  20607  lgsquadlem1  20609  m1lgs  20617  2sqlem8  20627  chebbnd1lem1  20634  dchrisumlem1  20654  dchrisum0flblem1  20673  selberg2lem  20715  ostth2lem2  20799  ostth2lem3  20800  gxnn0mul  20960  subfacval3  23735  eupath2lem3  23918  eupath2  23919  bpolydiflem  24861  geomcau  26578  eldioph2lem1  26942  pellexlem5  27021  congrep  27163  bezoutr  27175  bezoutr1  27176  zabscl  27178  jm2.18  27184  jm2.19lem1  27185  jm2.19lem2  27186  jm2.19  27189  jm2.22  27191  jm2.23  27192  jm2.20nn  27193  jm2.25  27195  jm2.26a  27196  jm2.26lem3  27197  jm2.26  27198  jm2.27a  27201  jm2.27b  27202  jm2.27c  27203  jm3.1  27216  expdiophlem1  27217  hbtlem5  27435  psgnuni  27525  psgnghm  27540  wallispilem1  27917  wallispilem5  27921  stirlinglem3  27928  stirlinglem5  27930  stirlinglem7  27932  stirlinglem8  27933  stirlinglem10  27935  hashtpg  28217
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041
  Copyright terms: Public domain W3C validator