MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0zd Unicode version

Theorem nn0zd 10115
Description: A natural number is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nn0zd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
nn0zd  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )

Proof of Theorem nn0zd
StepHypRef Expression
1 nn0ssz 10044 . 2  |-  NN0  C_  ZZ
2 nn0zd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
31, 2sseldi 3178 1  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684   NN0cn0 9965   ZZcz 10024
This theorem is referenced by:  nnzd  10116  zmodfz  10991  expnegz  11136  expaddzlem  11145  expaddz  11146  expmulz  11148  faclbnd  11303  bcpasc  11333  hashf1  11395  fz1isolem  11399  ccatcl  11429  ccatval1  11431  ccatval3  11433  ccatass  11436  swrdccat1  11460  swrdccat2  11461  splfv2a  11471  splval2  11472  revcl  11479  revccat  11484  revrev  11485  revco  11489  ccatco  11490  nnabscl  11809  absrdbnd  11825  iseraltlem3  12156  fsum0diaglem  12239  binomlem  12287  binom1p  12289  incexc2  12297  climcndslem1  12308  geoser  12325  geolim2  12327  mertenslem1  12340  mertenslem2  12341  mertens  12342  ruclem10  12517  divalglem9  12600  divalgmod  12605  bitsfzolem  12625  bitsfzo  12626  bitsmod  12627  bitsfi  12628  bitsinv1lem  12632  sadcaddlem  12648  sadadd3  12652  sadaddlem  12657  sadadd  12658  sadasslem  12661  sadass  12662  sadeq  12663  bitsres  12664  bitsuz  12665  bitsshft  12666  smuval2  12673  smupvallem  12674  smupval  12679  smueqlem  12681  smumullem  12683  smumul  12684  gcdcllem1  12690  gcd0id  12702  gcdneg  12705  gcdabs2  12714  modgcd  12715  bezoutlem4  12720  dvdsgcdb  12723  gcdass  12724  mulgcd  12725  absmulgcd  12726  gcdeq  12731  dvdsmulgcd  12733  nn0seqcvgd  12740  algfx  12750  eucalginv  12754  eucalg  12757  sqnprm  12777  mulgcddvds  12783  rpmulgcd2  12784  qredeu  12786  divnumden  12819  coprimeprodsq  12862  iserodd  12888  pclem  12891  pcpre1  12895  pcpremul  12896  pcqcl  12909  pcdvdsb  12921  pcidlem  12924  pc2dvds  12931  pcprmpw2  12934  pcadd  12937  pcfac  12947  pcbc  12948  pockthlem  12952  prmreclem2  12964  prmreclem3  12965  mul4sqlem  13000  4sqlem11  13002  4sqlem12  13003  4sqlem14  13005  vdwapun  13021  lagsubg  14679  odmodnn0  14855  mndodconglem  14856  mndodcong  14857  odmulg2  14868  odmulg  14869  odmulgeq  14870  odbezout  14871  odinv  14874  odf1  14875  gexod  14897  gexdvds3  14901  sylow1lem1  14909  sylow1lem3  14911  pgpfi  14916  pgpssslw  14925  sylow2alem2  14929  sylow2blem3  14933  fislw  14936  sylow3lem4  14941  sylow3lem6  14943  efginvrel2  15036  efgredlemf  15050  efgredlemd  15053  efgredlemc  15054  efgredlem  15056  efgcpbllemb  15064  odadd1  15140  odadd2  15141  gexexlem  15144  gexex  15145  torsubg  15146  lt6abl  15181  gsummulg  15214  ablfacrplem  15300  ablfacrp  15301  ablfacrp2  15302  ablfac1b  15305  ablfac1c  15306  ablfac1eulem  15307  ablfac1eu  15308  pgpfac1lem2  15310  pgpfaclem1  15316  ablfaclem3  15322  psrbaglefi  16118  chrid  16481  znunit  16517  dyadss  18949  dyaddisjlem  18950  ply1divex  19522  ply1termlem  19585  plyeq0lem  19592  plyaddlem1  19595  plymullem1  19596  coeeulem  19606  coeidlem  19619  coeeq2  19624  coemulhi  19635  dvply1  19664  dvply2g  19665  plydivex  19677  elqaalem2  19700  aareccl  19706  aannenlem1  19708  aalioulem1  19712  taylplem1  19742  taylplem2  19743  taylpfval  19744  dvtaylp  19749  taylthlem2  19753  dvradcnv  19797  abelthlem7  19814  cxpeq  20097  birthdaylem2  20247  ftalem1  20310  basellem3  20320  isppw2  20353  isnsqf  20373  mule1  20386  ppinncl  20412  musum  20431  chtublem  20450  pclogsum  20454  vmasum  20455  dchrabs  20499  bcmax  20517  bposlem1  20523  bposlem6  20528  lgsval2lem  20545  lgsmod  20560  lgsdirprm  20568  lgsne0  20572  lgseisenlem1  20588  lgseisenlem2  20589  lgseisenlem3  20590  lgseisenlem4  20591  lgsquadlem1  20593  m1lgs  20601  2sqlem8  20611  chebbnd1lem1  20618  dchrisumlem1  20638  dchrisum0flblem1  20657  selberg2lem  20699  ostth2lem2  20783  ostth2lem3  20784  gxnn0mul  20944  subfacval3  23720  eupath2lem3  23903  eupath2  23904  bpolydiflem  24789  geomcau  26475  eldioph2lem1  26839  pellexlem5  26918  congrep  27060  bezoutr  27072  bezoutr1  27073  zabscl  27075  jm2.18  27081  jm2.19lem1  27082  jm2.19lem2  27083  jm2.19  27086  jm2.22  27088  jm2.23  27089  jm2.20nn  27090  jm2.25  27092  jm2.26a  27093  jm2.26lem3  27094  jm2.26  27095  jm2.27a  27098  jm2.27b  27099  jm2.27c  27100  jm3.1  27113  expdiophlem1  27114  hbtlem5  27332  psgnuni  27422  psgnghm  27437  wallispilem1  27814  wallispilem5  27818  stirlinglem3  27825  stirlinglem5  27827  stirlinglem7  27829  stirlinglem8  27830  stirlinglem10  27832
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025
  Copyright terms: Public domain W3C validator