Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn1suc Structured version   Unicode version

Theorem nn1suc 10021
 Description: If a statement holds for 1 and also holds for a successor, it holds for all natural numbers. The first three hypotheses give us the substitution instances we need; the last two show that it holds for 1 and for a successor. (Contributed by NM, 11-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
nn1suc.1
nn1suc.3
nn1suc.4
nn1suc.5
nn1suc.6
Assertion
Ref Expression
nn1suc
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem nn1suc
StepHypRef Expression
1 nn1suc.5 . . . . 5
2 1ex 9086 . . . . . 6
3 nn1suc.1 . . . . . 6
42, 3sbcie 3195 . . . . 5
51, 4mpbir 201 . . . 4
6 1nn 10011 . . . . . . 7
7 eleq1 2496 . . . . . . 7
86, 7mpbiri 225 . . . . . 6
9 nn1suc.4 . . . . . . 7
109sbcieg 3193 . . . . . 6
118, 10syl 16 . . . . 5
12 dfsbcq 3163 . . . . 5
1311, 12bitr3d 247 . . . 4
145, 13mpbiri 225 . . 3
1514a1i 11 . 2
16 ovex 6106 . . . . . 6
17 nn1suc.3 . . . . . 6
1816, 17sbcie 3195 . . . . 5
19 oveq1 6088 . . . . . 6
20 dfsbcq 3163 . . . . . 6
2119, 20syl 16 . . . . 5
2218, 21syl5bbr 251 . . . 4
23 nn1suc.6 . . . 4
2422, 23vtoclga 3017 . . 3
25 nncn 10008 . . . . . 6
26 ax-1cn 9048 . . . . . 6
27 npcan 9314 . . . . . 6
2825, 26, 27sylancl 644 . . . . 5
29 dfsbcq 3163 . . . . 5
3028, 29syl 16 . . . 4
3130, 10bitrd 245 . . 3
3224, 31syl5ib 211 . 2
33 nn1m1nn 10020 . 2
3415, 32, 33mpjaod 371 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wceq 1652   wcel 1725  wsbc 3161  (class class class)co 6081  cc 8988  c1 8991   caddc 8993   cmin 9291  cn 10000 This theorem is referenced by:  opsqrlem6  23648 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-ltxr 9125  df-sub 9293  df-nn 10001
 Copyright terms: Public domain W3C validator