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Theorem nn2ge 9771
Description: There exists a natural number greater than or equal to any two others. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
nn2ge  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  E. x  e.  NN  ( A  <_  x  /\  B  <_  x ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem nn2ge
StepHypRef Expression
1 nnre 9753 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
21adantr 451 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
3 nnre 9753 . . 3  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR )
43adantl 452 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  B  e.  RR )
5 leid 8916 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  B  <_  B )
65biantrud 493 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  <_  B  /\  B  <_  B ) ) )
76biimpa 470 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  <_  B )  -> 
( A  <_  B  /\  B  <_  B ) )
83, 7sylan 457 . . . 4  |-  ( ( B  e.  NN  /\  A  <_  B )  -> 
( A  <_  B  /\  B  <_  B ) )
9 breq2 4027 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  ( A  <_  x  <->  A  <_  B ) )
10 breq2 4027 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  ( B  <_  x  <->  B  <_  B ) )
119, 10anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  (
( A  <_  x  /\  B  <_  x )  <-> 
( A  <_  B  /\  B  <_  B ) ) )
1211rspcev 2884 . . . 4  |-  ( ( B  e.  NN  /\  ( A  <_  B  /\  B  <_  B ) )  ->  E. x  e.  NN  ( A  <_  x  /\  B  <_  x ) )
138, 12syldan 456 . . 3  |-  ( ( B  e.  NN  /\  A  <_  B )  ->  E. x  e.  NN  ( A  <_  x  /\  B  <_  x ) )
1413adantll 694 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  A  <_  B
)  ->  E. x  e.  NN  ( A  <_  x  /\  B  <_  x
) )
15 leid 8916 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  A  <_  A )
1615anim1i 551 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  <_  A )  -> 
( A  <_  A  /\  B  <_  A ) )
171, 16sylan 457 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  <_  A )  -> 
( A  <_  A  /\  B  <_  A ) )
18 breq2 4027 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  ( A  <_  x  <->  A  <_  A ) )
19 breq2 4027 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  ( B  <_  x  <->  B  <_  A ) )
2018, 19anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
( A  <_  x  /\  B  <_  x )  <-> 
( A  <_  A  /\  B  <_  A ) ) )
2120rspcev 2884 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( A  <_  A  /\  B  <_  A ) )  ->  E. x  e.  NN  ( A  <_  x  /\  B  <_  x ) )
2217, 21syldan 456 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  <_  A )  ->  E. x  e.  NN  ( A  <_  x  /\  B  <_  x ) )
2322adantlr 695 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  B  <_  A
)  ->  E. x  e.  NN  ( A  <_  x  /\  B  <_  x
) )
242, 4, 14, 23lecasei 8926 1  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  E. x  e.  NN  ( A  <_  x  /\  B  <_  x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544   class class class wbr 4023   RRcr 8736    <_ cle 8868   NNcn 9746
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-nn 9747
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