Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnaass Structured version   Unicode version

Theorem nnaass 6867
 Description: Addition of natural numbers is associative. Theorem 4K(1) of [Enderton] p. 81. (Contributed by NM, 20-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnaass

Proof of Theorem nnaass
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6091 . . . . . 6
2 oveq2 6091 . . . . . . 7
32oveq2d 6099 . . . . . 6
41, 3eqeq12d 2452 . . . . 5
54imbi2d 309 . . . 4
6 oveq2 6091 . . . . . 6
7 oveq2 6091 . . . . . . 7
87oveq2d 6099 . . . . . 6
96, 8eqeq12d 2452 . . . . 5
10 oveq2 6091 . . . . . 6
11 oveq2 6091 . . . . . . 7
1211oveq2d 6099 . . . . . 6
1310, 12eqeq12d 2452 . . . . 5
14 oveq2 6091 . . . . . 6
15 oveq2 6091 . . . . . . 7
1615oveq2d 6099 . . . . . 6
1714, 16eqeq12d 2452 . . . . 5
18 nnacl 6856 . . . . . . 7
19 nna0 6849 . . . . . . 7
2018, 19syl 16 . . . . . 6
21 nna0 6849 . . . . . . . 8
2221oveq2d 6099 . . . . . . 7
2322adantl 454 . . . . . 6
2420, 23eqtr4d 2473 . . . . 5
25 suceq 4648 . . . . . . 7
26 nnasuc 6851 . . . . . . . . 9
2718, 26sylan 459 . . . . . . . 8
28 nnasuc 6851 . . . . . . . . . . . 12
2928oveq2d 6099 . . . . . . . . . . 11
3029adantl 454 . . . . . . . . . 10
31 nnacl 6856 . . . . . . . . . . 11
32 nnasuc 6851 . . . . . . . . . . 11
3331, 32sylan2 462 . . . . . . . . . 10
3430, 33eqtrd 2470 . . . . . . . . 9
3534anassrs 631 . . . . . . . 8
3627, 35eqeq12d 2452 . . . . . . 7
3725, 36syl5ibr 214 . . . . . 6
3837expcom 426 . . . . 5
399, 13, 17, 24, 38finds2 4875 . . . 4
405, 39vtoclga 3019 . . 3
4140com12 30 . 2
42413impia 1151 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  c0 3630   csuc 4585  com 4847  (class class class)co 6083   coa 6723 This theorem is referenced by:  nndi  6868  nnmsucr  6870  omopthlem1  6900  omopthlem2  6901  addasspi  8774 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-oadd 6730
 Copyright terms: Public domain W3C validator