MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnabscl Structured version   Unicode version

Theorem nnabscl 12134
Description: The absolute value of a nonzero integer is a positive integer. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-May-2011.)
Assertion
Ref Expression
nnabscl  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  -> 
( abs `  N
)  e.  NN )

Proof of Theorem nnabscl
StepHypRef Expression
1 nn0abscl 12122 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( abs `  N )  e. 
NN0 )
21nn0zd 10378 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( abs `  N )  e.  ZZ )
32adantr 453 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  -> 
( abs `  N
)  e.  ZZ )
4 zcn 10292 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
5 absgt0 12133 . . . 4  |-  ( N  e.  CC  ->  ( N  =/=  0  <->  0  <  ( abs `  N ) ) )
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  =/=  0  <->  0  <  ( abs `  N ) ) )
76biimpa 472 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  -> 
0  <  ( abs `  N ) )
8 elnnz 10297 . 2  |-  ( ( abs `  N )  e.  NN  <->  ( ( abs `  N )  e.  ZZ  /\  0  < 
( abs `  N
) ) )
93, 7, 8sylanbrc 647 1  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  -> 
( abs `  N
)  e.  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    e. wcel 1726    =/= wne 2601   class class class wbr 4215   ` cfv 5457   CCcc 8993   0cc0 8995    < clt 9125   NNcn 10005   ZZcz 10287   abscabs 12044
This theorem is referenced by:  dvdsleabs  12901  divalglem1  12919  divalglem5  12922  divalglem7  12924  divalglem8  12925  divalglem9  12926  bezoutlem1  13043  gcdmultiplez  13056  dvdssq  13065  pc2dvds  13257  zlpirlem1  16773  aalioulem4  20257  lgscllem  21092  lgsneg  21108  lgsdir  21119  lgsdilem2  21120  lgsdi  21121  lgsne0  21122  lgsqr  21135  pellexlem6  26911  pellex  26912  dvdsabsmod0  27071  jm2.19  27078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-seq 11329  df-exp 11388  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046
  Copyright terms: Public domain W3C validator